方向向量与法向量

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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.2.1,立体几何中的向量方法,方向向量,与,法向量,l,A,P,直线的方向向量,直线的向量式方程,换句话说,直线上的非零向量,叫做,直线的,方向向量,一、方向向量与法向量,1,直线的方向向量,直线的方向向量是指和这条直线,的向量,平行或共线,例,1:,已知长方体,ABCDABCD,的棱长,AB=2,AD=4,AA=3.,建系如图,求下列直线的一个方向向量,:(1)AA;(2)BC;(3)AC;(4)DB.,A,B,C,D,A,B,C,D,解,:A(4,0,3),B(4,2,3),C(0,2,3),x,y,z,2,4,3,D(0,0,3),A(4,0,0),B(4,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0).,例,2:,已知所有棱长为 的正三棱锥,A-BCD,试建立空间直角坐标系,确定各棱所在直线的方向向量,.,A,B,C,D,E,F,x,y,z,(O),解,:,建系如图,则,B(0,0,0),、,B,E,F,x,y,z,(O),2,、平面的法向量,A,l,P,平面,的向量式方程,换句话说,与平面垂直的,非零向量,叫做平面,的,法,向量,2,平面的法向量,直线,l,,取直线,l,的,a,,则,a,叫做平面,的法向量,.,方向向量,o,x,y,z,A,B,C,O1,A1,B1,C1,例,1.,如图所示,正方体的棱长为,1,直线OA的一个方向向量坐标为_,平面,OABC,的一个法向量坐标为,_,平面,AB,1,C,的一个法向量坐标为,_,(-1,-1,1),(0,0,1),(1,0,0),如何刻画平面的方向?,二、平面的法向量:,例,3,:长方体中,求下列平面的一个法向量:,(,1,)平面,ABCD;(2),平面,ACCA;,(3),平面,ACD.,x,y,z,A,B,C,D,A,B,C,D,2,3,4,x,y,z,A,B,C,D,A,B,C,D,2,3,4,x,y,z,A,B,C,D,A,B,C,D,2,3,4,求平面向量的法向量,因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置,所以我们可以利用直线的,方向向量,与平面的,法向量,表示空间直线、平面间的,平行、垂直、夹角、距离,等位置关系,.,用向量方法解决立体问题,二、立体几何中的向量方法,证明平行与垂直,m,l,(一),.,平行关系:,(二)、垂直关系:,l,m,l,A,B,C,四、平行关系:,五、垂直关系:,例,1,四棱锥,P-ABCD,中,底面,ABCD,是正方,形,PD,底面,ABCD,,,PD=DC=6,E,是,PB,的,中点,,DF:FB=CG:GP=1:2,.,求证:,AE/FG.,A,B,C,D,P,G,X,Y,Z,F,E,A(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE/FG,证:如图所示,建立,空间直角坐标系,.,/,几何法呢?,例,3,四棱锥,P-ABCD,中,底面,ABCD,是正,方形,,PD,底面,ABCD,,,PD=DC,E,是,PC,的,中点,,(1),求证:,PA/,平面,EDB.,A,B,C,D,P,E,X,Y,Z,G,法,1,几何法,A,B,C,D,P,E,X,Y,Z,G,法,2,:如图所示建立空间直角坐标系,点,D,为坐标原点,设,DC=1,(1),证明:连结,AC,AC,交,BD,于点,G,连结,EG,A,B,C,D,P,E,X,Y,Z,法,3,:如图所示建立空间直角坐标系,点,D,为坐标原点,设,DC=1,(1),证明:,设平面,EDB,的法向量为,X,Y,Z,A,B,C,D,P,E,法,4,:如图所示建立空间直角坐标系,点,D,为坐标原点,设,DC=1,(1),证明:,解得,x,A,1,x,D,1,B,1,A,D,B,C,C,1,y,z,E,F,是,BB,1,,,CD,中点,求证:,D,1,F,例,2,正方体,中,,E,、,F,分别,平面,ADE.,证明:设正方体棱长为,1,,为单位正交 基底,建立如图所示坐标系,D,-,xyz,,,所以,A,1,x,D,1,B,1,A,D,B,C,C,1,y,z,E,F,E,是,AA,1,中点,,例,3,正方体,平面,C,1,BD.,证明:,E,求证:,平面,EBD,设正方体棱长为,2,建立如图所示坐标系,平面,C,1,BD的一个法向量是,E(0,0,1),D(0,2,0),B(2,0,0),设平面,EBD的一个法向量是,平面,C,1,BD.,平面,EBD,x,y,z,期中,22,如,图,四棱锥,S,ABCD,的底面是正方形,每条,侧棱的长都是底面边长的 倍,,P,为侧棱,SD,上的点,(2),若,SD,平面,PAC,,求二面角,P,AC,D,的大小;,(3),在,(2),的条件下,侧棱,SC,上是否存在一点,E,,,使得,BE,平面,PAC,.,若存在,求,SE,EC,的值,x,y,z,E,课后作业,E,A,B,C,D,F,
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