高数同济6.3定积分在物理学上的应用.ppt

第三节 一 变力沿直线所作的功 二 液体的侧压力 三 引力问题 四 转动惯量 补充 定积分在物理学上的应用 第六章 一 变力沿直线所作的功 设物体在连续变力F x 作用下沿x轴从x a移动到 力的方向与运动方向平行 求变力所做的功 在其上所作的功元 素为 因此变力F x 在区间 上所作的功为 例1 一个单 求电场力所作的功 解 当单位正电荷距离原点r时 由库仑定律电场力为 则功的元素为 所求功为 说明 位正电荷沿直线从距离点电荷a处移动到b处 a b 在一个带 q电荷所产生的电场作用下 P288 1 例2 体 求移动过程中气体压力所 解 由于气体的膨胀 把容器中的一个面积为S的活塞从 点a处移动到点b处 如图 作的功 建立坐标系如图 由波义耳 马略特定律知压强 p与体积V成反比 即 功元素为 故作用在活塞上的 所求功为 力为 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气 P288 2 例3 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 解 建立坐标系如图 在任一小区间 上的一薄层水的重力为 这薄层水吸出桶外所作的功 功元素 为 故所求功为 KJ 设水的密度为 KN 一蓄满水的圆柱形水桶高为5m 底圆半径为3m P289 3 面积为A的平板 二 液体侧压力 设液体密度为 深为h处的压强 当平板与水面平行时 当平板不与水面平行时 所受侧压力问题就需用积分解决 平板一侧所受的压力为 小窄条上各点的压强 例4 的液体 求桶的一个端面所受的侧压力 解 建立坐标系如图 所论半圆的 利用对称性 侧压力元素 端面所受侧压力为 方程为 一水平横放的半径为R的圆桶 内盛半桶密度为 P290 4 说明 当桶内充满液体时 小窄条上的压强为 侧压力元素 故端面所受侧压力为 奇函数 三 引力问题 质量分别为 的质点 相距r 二者间的引力 大小 方向 沿两质点的连线 若考虑物体对质点的引力 则需用积分解决 例5 设有一长度为l 线密度为 的均匀细直棒 其中垂线上距a单位处有一质量为m的质点M 该棒对质点的引力 解 建立坐标系如图 细棒上小段 对质点的引力大小为 故垂直分力元素为 在 试计算 P291 5 利用对称性 由对称性 棒对质点引力的水平分力 故棒对质点的引力大小为 棒对质点的引力的垂直分力为 说明 2 若考虑质点克服引力沿y轴从a处 1 当细棒很长时 可视l为无穷大 此时引力大小为 方向与细棒垂直且指向细棒 移到b a b 处时克服引力作的功 则有 引力大小为 注意正负号 3 当质点位于棒的左端点垂线上时 内容小结 1 先用微元分析法求出它的微分表达式dQ 一般微元的几何形状有 扇 片 壳等 2 然后用定积分来表示整体量Q 并计算之 1 用定积分求一个分布在某区间上的整体量Q的步骤 2 定积分的物理应用 变力作功 侧压力 引力 转动惯量等 条 段 环 带 99考研 思考与练习 提示 作x轴如图 1 为清除井底污泥 用缆绳将抓斗放入井底 泥后提出井口 缆绳每 在提升过程中污泥 以20N s的速度从抓斗缝隙中漏掉 现将抓起污泥的抓斗提升到井口 抓斗抓起的污泥重2000N 提升速度为3m s 问 克服重力需作多少焦耳 J 功 已知井深30m 抓斗自重400N 将抓起污泥的抓斗由 抓起污 x提升dx所作的功为 米重50N 提升抓斗中的污泥 井深30m 抓斗自重400N 缆绳每米重50N 抓斗抓起的污泥重2000N 提升速度为3m s 污泥以20N s的速度从抓斗缝隙中漏掉 克服缆绳重 抓斗升至x处所需时间 克服抓斗自重 2 设星形线 上每一点处线密 度的大小等于该点到原点距离的立方 提示 如图 在点O处有一单 位质点 求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力 同理 故星形线在第一象限的弧段对该质点的 引力大小为 作业 P2912 3 5 9 12 锐角 取多大时 薄板所受的压力P最大 备用题 斜边为定长的直角三角形薄板 垂直放置于 解 选取坐标系如图 设斜边长为l 水中 并使一直角边与水面相齐 则其方程为 问斜边与水面交成的 故得唯一驻点 故此唯一驻点 即为所求 由实际意义可知最大值存在 即 四 转动惯量 补充 质量为m的质点关于轴l的转动惯量为 的质点系 若考虑物体的转动惯量 则需用积分解决 关于轴l的转动惯量为