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3.3.2简单的线性规划问题课后篇巩固探究A组1.已知某线性规划问题中的目标函数为z=3x-y,若将其看成直线方程,则z的几何意义是()A.该直线的截距B.该直线的纵截距C.该直线的纵截距的相反数D.该直线的横截距解析由z=3x-y,得y=3x-z,在该方程中-z表示直线的纵截距,因此z表示该直线的纵截距的相反数.答案C2. 目标函数z=x-y在2x-y+10,x-2y-10,x+y1的线性约束条件下,取得最大值的可行解为()A.(0,1)B.(-1,-1) C.(1,0)D.12,12解析可以验证这四个点均是可行解,当x=0,y=1时,z=-1;当x=-1,y=-1时,z=0;当x=1,y=0时,z=1;当x=,y=时,z=0.排除选项A,B,D,故选C.答案C3.若变量x,y满足约束条件x+y3,x-y-1,y1,目标函数为z=4x+2y,则有()A.z有最大值无最小值B.z有最小值无最大值C.z的最小值是8D.z的最大值是10解析由z=4x+2y,得y=-2x+.作出不等式组对应的平面区域,如图阴影部分所示.平移直线y=-2x,当直线y=-2x+经过点B(0,1)时,直线y=-2x+在y轴上的截距最小,此时z最小,且zmin=2.当直线y=-2x+经过点C(2,1)时,直线y=-2x+在y轴上的截距最大,此时z最大,且zmax=42+21=10.故选D.答案D4.若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件x+y-30,x-2y-30,xm,则实数m的最大值为()A.-1B.1C.D.2解析满足约束条件的平面区域如图中的阴影部分所示,由y=2x,x+y-3=0得交点P(1,2).当直线x=m经过点P时,m取到最大值1.答案B5.已知实数x,y满足约束条件x-y+40,x+y0,x3,则z=2x+y的最小值为.解析因为z=2x+y,所以y=-2x+z.不等式组满足的平面区域如图阴影部分所示.平移直线2x+y=0,由图形可求得z=2x+y的最小值是-2.答案-26.已知变量x,y满足2x-y0,x-3y+50,则z=x+y-2的最大值为.解析作出可行域,如图阴影部分所示.由图知,目标函数z=x+y-2在点A处取得最大值.易知A(1,2),故zmax=1+2-2=1.答案17.铁矿石A和B的含铁率a、冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表:ab/万吨c/百万元A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9万吨的铁,若要求CO2的排放量不超过2万吨,则购买铁矿石的最少费用为百万元.解析设需购买铁矿石A x万吨,铁矿石B y万吨,购买费用为z,则根据题意得到的约束条件为x0,y0,0.5x+0.7y1.9,x+0.5y2,目标函数为z=3x+6y.画出约束条件表示的可行域,如图阴影部分所示.当直线3x+6y=z经过点(1,2)时,z取最小值,且z最小值=31+62=15.答案158. 导学号04994076已知S为平面上以A(3,-1),B(-1,1),C(1,3)为顶点的三角形区域(含三角形内部及边界).若点(x,y)在区域S上移动.(1)求z=3x-2y的最值;(2)求z=y-x的最大值,并指出其最优解.解(1)z=3x-2y可化为y=x-z2=32x+b,故求z的最大值、最小值,相当于求直线y=x+b在y轴上的截距b的最小值、最大值,即b取最大值,z取最小值;反之亦然.如图,平移直线y=x,当y=x+b经过点B时,bmax=,此时zmin=-2b=-5;当y=x+b经过点A时,bmin=-112,此时zmax=-2b=11.故z=3x-2y的最大值为11,最小值为-5.(2)z=y-x可化为y=x+z,故求z的最大值,相当于求直线y=x+z在y轴上的截距z的最大值.如图,平行移动直线y=x,当直线y=x+z与直线BC重合时,zmax=2,此时线段BC上任一点的坐标都是最优解.9.甜柚和脐橙是赣州地区的两大水果特产,一农民有山地20亩,根据往年经验,若种脐橙,则每年每亩平均产量为1 000千克;若种甜柚,则每年每亩平均产量为1 500千克.已知脐橙成本每年每亩4 000元,甜柚成本较高,每年每亩12 000元,且脐橙每千克卖6元,甜柚每千克卖10元.现该农民有120 000元,那么两种水果的种植面积分别为多少,才能获得最大收益?解设该农民种x亩脐橙,y亩甜柚时,能获得利润z元.则z=(1 0006-4 000)x+(1 50010-12 000)y=2 000x+3 000y,其中x,y满足条件x+y20,4 000x+12 000y120 000,x0,y0,即x+y20,x+3y30,x0,y0,作出可行域,如图中阴影部分所示.当直线y=-x+z3 000经过点A(15,5),即种15亩脐橙,5亩甜柚时,每年收益最大,为45 000元.B组1.若变量x,y满足约束条件x+y8,2y-x4,x0,y0,且z=5y-x的最大值为a,最小值为b,则a-b的值是()A.48B.30C.24D.16解析画出可行域,如图阴影部分所示.由图可知,当直线y=x5+z5经过点A时,z有最大值;经过点B时,z有最小值.联立方程组x+y=8,2y-x=4,解得x=4,y=4,即A(4,4).对x+y=8,令y=0,则x=8,即B(8,0),所以a=54-4=16,b=50-8=-8,则a-b=16-(-8)=24,故选C.答案C2.已知正数x,y满足2x-y0,x-3y+50,则z=22x+y的最大值为()A.8B.16C.32D.64解析设t=2x+y,可求得当直线t=2x+y经过2x-y=0与x-3y+5=0的交点(1,2)时,t取最大值4,故z=22x+y的最大值为16.答案B3.已知x,y满足约束条件x+y0,x-y+10,x+2y-20,若z=x-3y+m的最小值为4,则m=()A.6B.8C.10D.12解析作出满足约束条件的可行域,如图中的阴影部分所示.由z=x-3y+m,得y=x-z3+m3,则由图可知z=x-3y+m在点A(-2,2)处取得最小值,则有z=-2-32+m=4,所以m=12,故选D.答案D4.已知变量x,y满足约束条件y2,x+y1,x-y1,则z=3|x|+y的取值范围为()A.-1,5B.1,11C.5,11D.-7,11解析画出可行域,由可行域可知,当x0时,z=3x+y的取值范围是1,11;当x0时,z=-3x+y的取值范围是(1,5.综上,z=3|x|+y的取值范围为1,11.答案B5.若变量x,y满足约束条件2x-y0,x+2y0,3x+y-50,则z=x+的取值范围为.解析由题意知不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分(OAB及其内部),其中O(0,0),A(1,2),B(2,-1),因此当直线z=x+经过点A时,z取得最大值,即zmax=1+=2;当直线z=x+经过点O时,z取得最小值,即zmin=0. 所以z=x+的取值范围为0,2.答案0,26. 某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A,B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是元.解析设生产甲产品x桶,乙产品y桶,每天利润为z元,则x+2y12,2x+y12,x0,y0,z=300x+400y.作出可行域,如图中的阴影部分所示.作直线300x+400y=0,向右上平移,当直线经过点A时,z=300x+400y取最大值.由x+2y=12,2x+y=12得x=4,y=4,所以A(4,4),故zmax=3004+4004=2 800.答案2 8007.已知z=2y-2x+4,其中x,y满足条件0x1,0y2,2y-x1,求z的最大值和最小值.解作出不等式组0x1,0y2,2y-x1表示的平面区域,如图中的阴影部分所示.令2y-2x=t,则当直线2y-2x=t经过点A(0,2)时,zmax=22-20+4=8;当直线2y-2x=t经过点B(1,1)时,zmin=21-21+4=4.故z的最大值为8,最小值为4.8.导学号04994077某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对甲项目的投资不小于对乙项目投资的,且对每个项目的投资不能低于5万元.对甲项目每投资1万元可获得0.4万元的利润,对乙项目每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上一共可获得的最大利润是多少?解设投资甲项目x万元,投资乙项目y万元,可获得利润为z万元,则x+y60,x23y,x5,y5,目标函数为z=0.4x+0.6y.作出满足题意的可行域如图阴影部分所示.由z=0.4x+0.6y,得y=-x+z.由3x-2y=0,x+y=60,得A(24,36).由图知,当直线y=-x+z经过点A时, z取得最大值,即z取得最大值.故zmax=0.424+0.636=31.2(万元),即一共可获得的最大利润为31.2万元.
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