2019届高考数学二轮复习 专题三 第1讲 空间几何体的表面积和体积（文）学案.docx

第1讲空间几何体的表面积和体积考向预测1三视图的识别和简单应用；2简单几何体的表面积与体积计算1空间几何体的三视图(1)几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正、高平齐、宽相等(2)由三视图还原几何体：一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体2空间几何体的两组常用公式(1)正柱体、正锥体、正台体的侧面积公式：S柱侧ch(c为底面周长，h为高)；S锥侧ch(c为底面周长，h为斜高/母线)；S台侧(cc)h(c，c分别为上下底面的周长，h为斜高/母线)；S球表4R2(R为球的半径)(2)柱体、锥体和球的体积公式：V柱体Sh(S为底面面积，h为高)；V锥体Sh(S为底面面积，h为高)；V球R3热点一空间几何体的三视图与直观图【例1】(1) (2018张家口期中)如图所示，在正方体中，为的中点，则图中阴影部分在平面上的正投影是（）ABCD(2)(2017泰安模拟)某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于()A4BCD5解析(1)由题意，点在平面上的投影是的中点，、在平面上的投影是它本身，所以在平面上的正投影是C中阴影部分，故选C. (2)根据几何体的三视图，知该几何体是底面为直角三角形，两侧面垂直于底面，高为5的三棱锥PABC(如图所示)棱锥最长的棱长PA答案(1)C(2)C探究提高1由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认二要熟悉常见几何体的三视图2由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置(3)确定几何体的直观图形状【训练1】 (1)(2017兰州模拟)如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥PBCD的正视图与侧视图的面积之和为()A1 B2C3 D4(2)(2016天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为()解析(1)设点P在平面A1ADD1的射影为P，在平面C1CDD1的射影为P，如图所示三棱锥PBCD的正视图与侧视图分别为PAD与PCD，因此所求面积SSPADSPCD12122(2)由几何体的正视图和俯视图可知该几何体的直观图如图，故其侧视图为图答案(1)B(2)B热点二几何体的表面积与体积【例2】(1)(2018上饶期末)如图所示为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）ABCD(2)(2017山东卷)由一个长方体和两个圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_解析(1)根据三视图可得该几何体是有一个圆柱挖去两个圆柱所得，作出几何体的直观图（如图），则该几何体的表面积为故选C(2)该几何体由一个长、宽、高分别为2，1，1的长方体和两个半径为1，高为1的圆柱体构成，所以V21121212答案(1)C(2)2探究提高1由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式2(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用3求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解【训练2】 (1) (2017枣庄模拟)如图，某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线，若该三棱锥的体积是，则它的表面积是_(2)(2016山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为()A BC D1解析(1)由题设及几何体的三视图知，该几何体是一个正方体截去4个三棱锥后剩余的内接正三棱锥BA1C1D(如图所示)设正方体的棱长为a，则几何体的体积是Va34a2aa3，a1，三棱锥的棱长为，因此该三棱锥的表面积为S4()22(2)由三视图知该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为，从而该几何体的体积为121答案(1)2;(2) C热点三多面体与球的切、接问题【例3】(2019广东一模)九章算术中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）ABCD解析如图所示，该几何体为四棱锥，底面为长方形.其中底面，.易知该几何体与变成为的长方体有相同的外接球，则该阳马的外接球的直径为.球体积为：.答案A.探究提高1与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题2若球面上四点P，A，B，C，PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题【训练3】(2017济南一中月考)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A36 B64C144 D256解析因为AOB的面积为定值，所以当OC垂直于平面AOB时，三棱锥OABC的体积取得最大值由R2R36，得R6从而球O的表面积S4R2144答案C1(2018全国I卷)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）ABCD2(2018全国I卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为ABCD3(2018全国III卷)设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（）ABCD4(2018全国II卷)已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45，若的面积为，则该圆锥的侧面积为_1(2018全国III卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A B C D2(2017浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A1B3C1D33(2016四川卷)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是_4(2017江苏卷)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_5(2015全国卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值1(2018郑州质检)如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为()ABCD2(2017衡阳联考)如图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为()A6 BC4D23(2017衡水中学调研)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为()ABC4D4体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_5(2017沈阳质检)在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，AA1A1CACABBC2，且点O为AC中点(1)证明：A1O平面ABC；(2)求三棱锥C1ABC的体积参考答案1【解题思路】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.【答案】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.2【解题思路】首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.【答案】根据题意，可得截面是边长为的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，所以其表面积为，故选B.点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.3【解题思路】作图，为与球的交点，点为三角形的重心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得；【答案】如图所示，点为三角形的重心，为中点，当平面时，三棱锥体积最大，此时，点为三角形的重心，中，有，故选B4【解题思路】先根据三角形面积公式求出母线长，再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求结果.【答案】因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为，所以，因为与圆锥底面所成角为，所以底面半径为，因此圆锥的侧面积为.点睛：本题考查线面角，圆锥的侧面积，三角形面积等知识点，考查学生空间想象与运算能力1【解题思路】观察图形可得【答案】：观擦图形图可知，俯视图为，故答案为A.2【解题思路】该几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，分别求其体积即可【答案】由三视图可知该几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，半圆锥的底面半径为1，高为3，三棱锥的底面积为211，高为3故该几何体体积为：V123131故选A3【解题思路】由正视图的底边长和腰长为2的等腰三角形确定俯视图形状【答案】由题可知，三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图可得如右俯视图，且三棱锥高为h1，则体积VSh1故填4【解题思路】由图确定球的半径与圆柱高和底面半径之间的关系，进而求其体积之比【答案】设球半径为R，则圆柱底面圆半径为R，母线长为2R又V1R22R2R3，V2R3，所以故填5【解题思路】(1)过EF往下作截面；(2)由正方形的边长关系确定底面的交点在棱上的位置，进而求棱柱的体积【答案】解(1)交线围成的正方形EHGF如图所示(2)如图，作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EB112，EMAA18因为四边形EHGF为正方形，所以EHEFBC10于是MH6，AH10，HB6故，因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为1【解题思路】由三视图知原图是一个底面为边长为3的正方形，高为的斜四棱柱，【答案】.2【解题思路】该几何体由一个圆锥和一个半球组合而成【答案】此几何体为一个组合体，上为一个圆锥，下为一个半球组合而成表面积为S224故选C3【解题思路】该几何体是一个四棱锥，球心在底面中心的正上方，确定球心的位置【答案】由三视图知该几何体为四棱锥，侧面PBC为侧视图，PE平面ABC，E，F分别是对应边的中点，底面ABCD是边长是2的正方形，如图所示设外接球的球心到平面ABCD的距离为h，则h2212(2h)2，h，R2几何体的外接球的表面积S4R2故选B4【解题思路】正方体的体对角线即为其外接球的直径【答案】设正方体的棱长为a，则a38，解得a2设球的半径为R，则2Ra，即R所以球的表面积S4R212故填125【解题思路】(1)面面垂直的性质定理；(2)顶点转换法，以A1为顶点【答案】(1)证明因为AA1A1C，且O为AC的中点，所以A1OAC，又平面AA1C1C平面ABC，平面AA1C1C平面ABCAC，且A1O平面AA1C1C，A1O平面ABC(2)解A1C1AC，A1C1平面ABC，AC平面ABC，A1C1平面ABC，即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离由(1)知A1O平面ABC且A1O，