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2.1.2演绎推理学习目标1.了解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系知识点一演绎推理思考分析下面几个推理，找出它们的共同点(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被2整除，(21001)是奇数，所以(21001)不能被2整除答案问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论梳理演绎推理的含义及特点含义由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法特点(1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中；(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系；(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化知识点二三段论思考所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？答案分为三段梳理三段论一般模式常用格式大前提提供了一个一般性的原理M是P小前提指出了一个特殊对象S是M结论揭示了一般原理与特殊对象的内在联系S是P1“三段论”就是演绎推理()2演绎推理的结论一定是正确的()3演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理()4在演绎推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般性原理对特殊情况作出的判断()类型一演绎推理与三段论例1将下列演绎推理写成三段论的形式(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，A，B是等腰三角形的两底角，则AB；(3)通项公式为an2n3的数列an为等差数列解(1)平行四边形的对角线互相平分，(大前提)菱形是平行四边形，(小前提)菱形的对角线互相平分(结论)(2)等腰三角形的两底角相等，(大前提)A，B是等腰三角形的两底角，(小前提)AB.(结论)(3)在数列an中，如果当n2时，anan1为常数，则an为等差数列，(大前提)当通项公式为an2n3时，若n2，则anan12n32(n1)32(常数)，(小前提)通项公式为an2n3的数列an为等差数列(结论)反思与感悟用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提跟踪训练1将下面的演绎推理写成三段论的形式：(1)所有椭圆的离心率e的取值范围为(0,1)，曲线C：y21是椭圆，所以曲线C的离心率e的取值范围为(0,1)(2)等比数列的公比都不为零，数列2n(nN*)是等比数列，所以数列2n的公比不为零解(1)大前提：所有椭圆的离心率e的取值范围为(0,1)小前提：曲线C：y21是椭圆结论：曲线C的离心率e的取值范围为(0,1)(2)大前提：等比数列的公比都不为零小前提：数列2n(nN*)是等比数列结论：数列2n的公比不为零类型二演绎推理的应用命题角度1证明几何问题例2如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，BFDA，DEBA，求证：EDAF，写出三段论形式的演绎推理证明因为同位角相等，两直线平行，(大前提)BFD与A是同位角，且BFDA，(小前提)所以FDAE.(结论)因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DEBA，且FDAE，(小前提)所以四边形AFDE为平行四边形(结论)因为平行四边形的对边相等，(大前提)ED和AF为平行四边形AFDE的对边，(小前提)所以EDAF.(结论)反思与感悟(1)用“三段论”证明命题的格式(大前提)(小前提)(结论)(2)用“三段论”证明命题的步骤理清证明命题的一般思路找出每一个结论得出的原因把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来跟踪训练2已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF平面BCD.证明因为三角形的中位线平行于底边，(大前提)点E，F分别是AB，AD的中点，(小前提)所以EFBD.(结论)若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，(大前提)EF平面BCD，BD平面BCD，EFBD，(小前提)所以EF平面BCD.(结论)命题角度2证明代数问题例3设函数f(x)，其中a为实数，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围解若函数对任意实数恒有意义，则函数的定义域为R，(大前提)f(x)的定义域为R，(小前提)x2axa0恒成立(结论)a24a0，0a4.即当a(0,4)时，f(x)的定义域为R.引申探究若本例的条件不变，求f(x)的单调增区间解f(x)，由f(x)0，得x0或x2a.0a4，当0a0，在(，0)和(2a，)上，f(x)0.f(x)的单调增区间为(，0)，(2a，)当a2时，f(x)0恒成立，f(x)的单调增区间为(，)当2a4时，2a0，f(x)的单调增区间为(，2a)，(0，)综上所述，当0a2时，f(x)的单调增区间为(，0)，(2a，)；当a2时，f(x)的单调增区间为(，)；当2a1)，证明：函数f(x)在(1，)上为增函数证明方法一(定义法)任取x1，x2(1，)，且x10，且a1，所以1，而1x10，x210，所以f(x2)f(x1)0，所以f(x)在(1，)上为增函数方法二(导数法)f(x)axax1.所以f(x)axlna.因为x1，所以(x1)20，所以0.又因为a1，所以lna0，ax0，所以axlna0，所以f(x)0.所以f(x)ax在(1，)上是增函数.1下面几种推理过程是演绎推理的是_(填序号)两条直线平行，同旁内角互补，如果A与B是两条平行直线的同旁内角，则AB180；某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人；在数列an中，a11，an(n2)，由此归纳出an的通项公式答案解析是演绎推理，是归纳推理2在求函数y的定义域时，第一步推理中大前提是当有意义时，a0；小前提是有意义；结论是_考点“三段论”及其应用题点三段论的结构答案y的定义域是4，)解析由大前提知log2x20，解得x4.3推理：“菱形的对角线互相垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线互相垂直”中的小前提是_(填序号)答案4把“函数yx2x1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：_；小前提：_；结论：_.答案二次函数的图象是一条抛物线函数yx2x1是二次函数函数yx2x1的图象是一条抛物线5设m为实数，利用三段论证明方程x22mxm10有两个相异实根证明若一元二次方程ax2bxc0(a0)的判别式b24ac0，则方程有两个相异实根(大前提)方程x22mxm10的判别式(2m)24(m1)4m24m4(2m1)230，(小前提)所以方程x22mxm10有两个相异实根(结论)1应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略2合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理3合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.一、填空题1论语学路篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足”上述推理用的是_答案演绎推理解析这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次复式三段论，属演绎推理形式2“因为是无限不循环小数，所以是无理数”以上推理的大前提是_答案无限不循环小数是无理数3三段论式推理是演绎推理的主要形式，“函数f(x)2x5的图象是一条直线”这个推理所省略的大前提是_答案一次函数的图象是一条直线4有一个“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f(x0)0，那么xx0是函数f(x)的极值点因为函数f(x)x3在x0处的导数值f(0)0，所以x0是函数f(x)x3的极值点以上推理中_错误答案大前提解析可导函数在某点处的导数为0，不一定能得到此点为函数的极值点，因此大前提错误5“公差不为零的等差数列an的前n项和为关于n的没有常数项的二次函数bn的前n项和为Snn23n，所以bn为等差数列”上述推理中，下列说法正确的序号是_大前提错误；小前提错误；结论错误；都正确答案解析该推理过程中，大前提、小前提、结论都正确6“指数函数yax(a1)是增函数，yx(1)是指数函数，所以yx(1)是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的序号是_推理完全正确；大前提不正确；小前提不正确；推理形式不正确答案解析yx(1)是幂函数，而不是指数函数，小前提错误7以下推理过程省略的大前提为_因为a2b22ab，所以2(a2b2)a2b22ab.答案若pq，则pcqc8设是R的一个运算，A是R的非空子集若对于任意a，bA，有abA，则称A对运算封闭则下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是_(填序号)自然数集；整数集；有理数集；无理数集考点新定义题点新定义答案解析错，因为自然数集对减法、除法不封闭；错，因为整数集对除法不封闭；对，因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；错，因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭9有一段演绎推理：大前提：整数是自然数；小前提：3是整数；结论：3是自然数这个推理显然错误，则错误的原因是_错误(填“大前提”“小前提”“结论”)答案大前提10若不等式ax22ax20的解集为，则实数a的取值范围为_答案0,2解析不等式ax22ax20无解，不等式ax22ax20的解集为R.当a0时，20，显然成立，当a0时，由解得0a2.a的取值范围为0,211若f(ab)f(a)f(b)(a，bN*)，且f(1)2，则_.答案2018解析利用三段论f(ab)f(a)f(b)(a，bN*)，(大前提)令b1，则f(1)2，(小前提)2，(结论)原式2018.二、解答题12把下列演绎推理写成三段论的形式(1)三角函数都是周期函数，ytan是三角函数，因此ytan是周期函数；(2)因为ABC三边的长依次为3,4,5，所以ABC是直角三角形解(1)三角函数都是周期函数，(大前提)ytan是三角函数，(小前提)ytan是周期函数(结论)(2)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，(大前提)ABC三边的长依次为3,4,5，且324252，(小前提)ABC是直角三角形(结论)13证明函数f(x)x3x在R上是增函数，并指出证明过程中运用的“三段论”证明已知函数f(x)，对于任意x1，x2D，若x1x2，均有f(x1)f(x2)，则f(x)在区间D上是增函数(大前提)任取x1，x2(，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)(xx1)(xx2)xx(x1x2)(x1x2)(xxx1x21)(x1x2).x1x2，x1x20.又2x10，f(x1)f(x2)0, 即f(x1)f(x2)，(小前提)函数f(x)x3x在R上是增函数(结论)三、探究与拓展14如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，xn，都有f.若ysinx在区间(0，)上是凸函数，那么在ABC中，sinAsinBsinC的最大值是_答案解析sinAsinBsinC3sin3sin.15已知yf(x)在(0，)上有意义，单调递增且满足f(2)1，f(xy)f(x)f(y)(1)求证：f(x2)2f(x)；(2)求f(1)的值；(3)若f(x)f(x3)2，求x的取值范围考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在函数中的应用(1)证明因为f(xy)f(x)f(y)，所以f(x2)f(xx)f(x)f(x)2f(x)(2)解因为f(1)f(12)2f(1)，所以f(1)0.(3)解因为f(x)f(x3)f(x(x3)22f(2)f(4)，且函数f(x)在(0，)上单调递增，所以解得0x1.所以x的取值范围为(0,1
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