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3.1变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念3.1.3导数的几何意义【选题明细表】知识点、方法题号函数的平均变化率1,2,6函数的导数3,7导数的几何意义4,9,12,13导数在物理中的应用5综合问题8,10,11【基础巩固】1.设函数y=f(x),当自变量由x0变到x0+x时,函数值的改变量y为(D)(A)f(x0+x)(B)f(x0)+x(C)f(x0)x(D)f(x0+x)-f(x0)解析:函数值的改变量为f(x0+x)-f(x0),所以y=f(x0+x)-f(x0).故选D.2.已知一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在时间3,3+ts内的平均速度是(A)(A)(5+t)(m/s) (B)5+(t)2(m/s)(C)5(t)2+t(m/s) (D)5(t)2(m/s)解析:因为s=1-(3+t)+(3+t)2-(1-3+32)=(t)2+5t,所以物体在时间3,3+ts内的平均速度是=t+5.故选A.3.(2018延安高二月考)函数f(x)在x0处可导,则(B)(A)与x0,h都有关(B)仅与x0有关,而与h无关(C)仅与h有关,而与x0无关(D)与x0,h均无关解析:因为f(x0)=,所以f(x0)仅与x0有关,与h无关.故选B.4.(2018徐州高二检测)曲线f(x)=3x+x2在点(1,f(1)处的切线方程为(A)(A)y=5x-1(B)y=-5x+1(C)y=x+1 (D)y=-x-1解析:k=5.f(1)=4.由点斜式得y-4=5(x-1),即y=5x-1.故选A.5.(2018长春高二检测)一质点运动的方程为s=5-3t2,若该质点在t=1到t=1+t这段时间内的平均速度为-3t-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是(D)(A)-3 (B)3 (C)6 (D)-6解析:当t趋近于0时,-3t-6趋近于-6,即t=1时该质点的瞬时速度是-6.故选D.6.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是.解析:=-1.答案:-17.已知f(x0)=,f(3)=2,f(3)=-2,则的值是.解析:=-3+=-3f(3)+=-3f(3)+2=8.答案:88.已知直线l1为曲线y=x2+x-2在(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1l2.(1)求直线l2的方程.(2)求由直线l1,l2和x轴围成的三角形的面积.解:(1)y=(2x+x+1)=2x+1.yx=1=21+1=3,所以直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3.设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2),则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2.因为l1l2,则有2b+1=-,b=-.所以直线l2的方程为y=-x-.(2)解方程组得所以直线l1和l2的交点坐标为(,-).l1,l2与x轴交点的坐标分别为(1,0),(-,0).所以所求三角形的面积S=-=.【能力提升】9.(2018杭州高二检测)设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围是0,则点P横坐标的取值范围为(A)(A)-1,-(B)-1,0(C)0,1 (D),1解析:设点P(x0,y0),则f(x0)=(2x0+2+x)=2x0+2.结合导数的几何意义可知02x0+21,解得-1x0-.故选A.10.已知函数f(x)=x2+2bx的图象在点A(0,f(0)处的切线l与直线x+y+3=0垂直,若数列的前n项和为Sn,则S2 018的值为(A)(A)(B)(C)(D)解析:由题意可得A(0,0),函数f(x)=x2+2bx的图象在点A(0,0)处的切线l的斜率k=2b,由l与直线x+y+3=0垂直,可得2b(-1)=-1,所以b=.因为f(n)=n2+2bn=n2+n=n(n+1),所以=-,故数列的前n项和为Sn=(1-)+(-)+(-)+(-)=1-,所以S2 018=1-=.故选A.11.(2018甘肃质检)若点P是抛物线y=x2上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为.解析:由题意可得,当点P到直线y=x-2的距离最小时,点P为抛物线y=x2的一条切线的切点,且该切线平行于直线y=x-2,设P(x0,),由导数的几何意义知y=2x0=1,得x0=,所以P(,),故点P到直线y=x-2的最小距离d=.答案:12.已知曲线C:y=x3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程;(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?解:(1)将x=1代入曲线C的方程得y=1,所以切点为P(1,1).因为y=3x2+3xx+(x)2=3x2,所以y=3.所以过P点的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.(2)由可得(x-1)(x2+x-2)=(x-1)2(x+2)=0,解得x1=1,x2=-2.从而求得公共点为(1,1)或(-2,-8).说明切线与曲线C的公共点除了切点P外,还有另外的点(-2,-8).【探究创新】13.(2018银川高二月考)设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,则a的值为.解析:设曲线y=f(x)与斜率最小的切线相切于点(x0,y0),因为y=f(x0+x)-f(x0)=(x0+x)3+a(x0+x)2-9(x0+x)-1- (+a-9x0-1)=(3+2ax0-9)x+(3x0+a)(x)2+(x)3,所以=3+2ax0-9+(3x0+a)x+(x)2.当x无限趋近于零时,无限趋近于3+2ax0-9.即f(x0)=3+2ax0-9.所以f(x0)=3(x0+)2-9-.当x0=-时,f(x0)取最小值-9-.因为斜率最小的切线与12x+y=6平行,所以该切线斜率为-12.所以-9-=-12.解得a=3.又a0,所以a=-3.答案:-3
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