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考点21 正弦定理和余弦定理的应用1ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a，c2，cos A，则b()A. B.C2 D3【答案】D【解析】由余弦定理，得4b222bcos A5，整理得3b28b30，解得b3或b(舍去)，故选D.2已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2Acos 2A0，a7，c6，则b()A10 B9C8 D5【答案】D3在凸平面四边形中，且，则的面积等于（ ）A B C D【答案】D【解析】在凸平面四边形中，得，在中，,在中，.由，得BD=7. 再由,得sin= ， .故选：D.4在中，所对的边分别为，已知，则（ ）A B C D【答案】A5已知M是ABC内的一点，且，若MBC，MCA和MAB的面积分别为1，则的最小值是（ ）A2 B8 C6 D3【答案】D【解析】，化为则，而=5+4=9，当且仅当，即时取等号，故的最小值是9，故选：D6在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a1，b，A30，B为锐角，那么角ABC为()A113 B123C132 D141【答案】B【解析】由正弦定理，得sin B.B为锐角，B60，则C90，故ABC123，选B.7在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(ab)(sin Asin B)(cb)sin C若a，则b2c2的取值范围是()A(3,6 B(3,5)C(5,6 D5,6【答案】C8在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cos A()A. B.C D【答案】C【解析】设ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得acsin c，则ac.在ABC中，由余弦定理可得b2a2c2acc2c23c2c2，则bc.由余弦定理，可得cos A，故选C.9在中，角、的对边分别是、，若，则的最小值为（ ）A B C D【答案】D10如图，在中，,为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为 ( )A B C D【答案】B11如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A同侧的河岸边选定一点C，测出AC的距离为100m，ACB30，CAB105后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A100m B100m C50m D25m【答案】C12已知在ABC中，sin Asin Bsin C357，那么这个三角形的最大内角的大小为 【答案】120【解析】由sin Asin Bsin C357知，三角形的三边之比abc357，最大的角为C.由余弦定理得cos C，C120.13在ABC中，A，ac，则 .【答案】1【解析】ac，sin Asin C，A，sin A，sin C，又C必为锐角，C，B，bc.1. 14在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c1，B45，cos A，则b .【答案】【解析】因为cos A，所以sin A，所以sin Csin180(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin Bcos 45sin 45.由正弦定理，得bsin 45.15已知在ABC中，B2A，ACB的平分线CD把三角形分成面积比为43的两部分，则cos A .【答案】16在中，内角，的对边分别为，已知.（1）求；（2）已知，的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）17在中，角，所对的边分别为，.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，由正弦定理得，又，得到，即.（2）由（1）知，且，所以，.18在ABC中，（1）求B的大小；（2）若ABC的面积为a2，求cosA的值【答案】（1）；（2）19在三角形ABC中，已知角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且.（I）求角A的大小；（）若a=2，D为BC的中点，AD=2，求ABC的面积.【答案】（1）（2）【解析】（I）由正弦定理及得，所以，所以，20如图，在中，角，所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若边上的中线的长为，且，求的长.【答案】（1） (2) 21已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a1,2cos Cc2b.(1)求A；(2)若b，求sin C.【答案】A；.【解析】(1)a1,2cos Cc2b，由余弦定理得2c2b，即b2c21bc.cos A.由于0A，A.(2)由b，及b2c21bc，得c21c，即4c22c30，c0.解得c.由正弦定理得，得sin Csin 60. 22ABC中，角A,BC所对边分别为.（1）求角C；（2）若ABC的面积为，求边c的值【答案】（1） （2）223ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知，（1）求sinA；（2）求边c的值【答案】（1）；（2）124已知的内角，的对边分别为，.且.（I）求；（）若的面积为，周长为，求.【答案】（1）（2）【解析】25如图，在ABC中，点D在AC边上，且（）求BD的长；（）求BCD的面积【答案】（）3 （）【解析】（）在中，因为， 所以 26中，是边上的点，.（1）求；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】（1）如图，因为，是的外角，所以，故，即，27在锐角中，则中线AD长的取值范围是_.【答案】【解析】设，对运用正弦定理，得到，解得，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组，解得，故，结合二次函数性质，得到，运用向量得到，所以，结合bc的范围，代入，得到的范围为28在中，角，所对的边分别为，已知，的面积为，则边_【答案】29在中，分别为角的对边，已知，且的面积为，则的值为_【答案】【解析】ABC中，由cos2Acos2B+sin2CsinBsinC，得1- sin2A -（1- sin2B）+sin2Csin2B+sin2Csin2AsinBsinC，b2+c2a2bc，由余弦定理得cosA，又A（0，），30数书九章中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.已知满足.且，则用以上给出的公式可求得的面积为_【答案】【解析】AB2BC2，由题意可得：c2a2，a，（sinAsinB）（sinA+sinB）sinAsinCsin2C，由正弦定理可得：（ab）（a+b）acc2，可得：a2+c2b2ac，Sac故答案为： 31三角形ABC中，AC=1，以B为直角顶点作等腰直角三角形BCD（A、D在BC两侧），当BAC变化时，线段AD的长度最大值为._.【答案】332的内角，的对边分别为，且，的面积为，则的最大值为_【答案】33如图，在矩形与扇形拼接而成的平面图形中，.点在上，在上，设，则当平面区域（阴影部份）的面积取到最大值时，_.【答案】【解析】在Rt， ，则AF=3tanx .，y=15- . . = 的根，因为. ，所以cosx ， 使得 .所以y=在时取得最大值.故答案为: .
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