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第7章 立体几何 第6讲A组基础关1已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a，向量b，则与a，b不能构成空间基底的向量是()A.BCD或答案C解析根据题意得(ab)，所以，a，b共面故选C.2(2018黑龙江齐齐哈尔实验中学期中)设ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，则有()A.a2Ba2C.a2Da2答案C解析建系如图则(a,0,0)(a，a，a)a2，(a,0,0)(a，a,0)a2，(0，a,0)(0，a，a)a2，(a,0,0)(a，a,0)a2，故只有C正确3已知a(1,0,1)，b(x,1,2)，且ab3，则向量a与b的夹角为()A.BCD答案D解析因为ab(1,0,1)(x,1,2)x23，所以x1，所以|a|，|b|，所以cosa，b.又0a，b，所以a，b.4对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，有623，则()AO，A，B，C四点共面BP，A，B，C四点共面CO，P，B，C四点共面DO，P，A，B，C五点共面答案B解析解法一：因为623，所以，且1，所以A，B，C，P四点共面解法二：因为623，所以0()2()3()，所以230，所以，所以，共面，又三个向量有公共点P.所以P，A，B，C四点共面5在正方体ABCDA1B1C1D1中，给出以下向量表达式：()；()；()2；().其中能够化简为向量的是()ABCD答案A解析()；()；()22；().综上，符合题意故选A.6(2018舟山模拟)平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量，两两的夹角均为60，且|1，|2，|3，则|等于()A5B6C4D8答案A解析设a，b，c，则abc，|2a2b2c22ab2bc2ca25，因此|5.故选A.7在空间直角坐标系中，已知ABC的顶点坐标分别为A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，则边AC上的高BD()A5BC4D2答案A解析设，(0,4，3)，则(0,4，3)，(4，5,0)，(4,45，3)由0，得，所以，所以|5.故选A.8已知a(2,3,1)，b(4,2，x)，且ab，则|b|_.答案2解析因为ab，所以ab(2,3,1)(4,2，x)86x0，所以x2.所以|b|2.9(2018郑州模拟)如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且2，若xyz，则xyz_.答案解析设a，b，c.则()bca，aabc，又xyz，所以x，y，z，xyz.10如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是_答案0,1解析由题意，设，其中0,1，()()22()(1)21，因此的取值范围是0,1B组能力关1若a，b，c是空间的一个基底，且向量pxaybzc，则(x，y，z)叫向量p在基底a，b，c下的坐标，已知a，b，c是空间的一个基底，ab，ab，c是空间的另一个基底，一向量p在基底a，b，c下的坐标为(4,2,3)，则向量p在基底ab，ab，c下的坐标是()A(4,0,3)B(3,1,3)C(1,2,3)D(2,1,3)答案B解析设向量p在基底ab，ab，c下的坐标是(x，y，z)，则4a2b3cx(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc，因为a，b，c不共面，所以解得x3，y1，z3，所以向量p在基底ab，ab，c下的坐标为(3,1,3)2如图所示，在平行四边形ABCD中，ABACCD1，ACD90，把ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则BD的长为_答案2或解析AB与CD成60角，60或120.又ABACCD1，ACCD，ACAB，| ，|2或.BD的长为2或.3如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点设异面直线EM与AF所成的角为，则cos的最大值为_答案解析以A为坐标原点，射线AB，AD，AQ分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系设正方形ABCD和ADPQ的边长为2，则E(1,0,0)，F(2,1,0)，M(0，y,2)(0y2)所以(2,1,0)，(1，y,2)所以2y，|，|.所以cos.令2yt，则y2t，且t0,2所以cos.当t0时，cos0.当t0时，cos，由t(0,2，得，所以 .所以0cos，即cos的最大值为.4如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.(1)求证：A，E，C1，F四点共面；(2)若xyz，求xyz的值解(1)证明：因为()()，所以A，E，C1，F四点共面(2)因为()，所以x1，y1，z，所以xyz.
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