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考前强化练8解答题综合练(A)1.已知ABC的内切圆面积为,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(2b-c)cos A=acos C.(1)求角A;(2)当ABAC的值最小时,求ABC的面积.2.(2018山西太原三模,理18)如图,在梯形ABCD中,ABCD,BCD=120,四边形ACFE为矩形,CF平面ABCD,AD=CD=BC=CF,点M是线段EF的中点.(1)求证:EF平面BCF;(2)求平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的余弦值.3.学校的校园活动中有这样一个项目.甲箱子中装有大小相同、质地均匀的4个白球,3个黑球.乙箱子中装有大小相同、质地均匀的3个白球,2个黑球.(1)从两个箱子中分别摸出1个球,如果它们都是白球则获胜,有人认为,这两个箱子里装的白球比黑球多,所以获胜的概率大于0.5,你认为呢?并说明理由.(2)如果从甲箱子中不放回地随机取出4个球,求取到的白球数的分布列和期望.(3)如果从甲箱子中随机取出2个球放入乙箱中,充分混合后,再从乙箱中取出2个球放回甲箱,求甲箱中白球个数没有减少的概率.4.已知动圆C与圆C1:(x-2)2+y2=1外切,又与直线l:x=-1相切.(1)求动圆C的圆心的轨迹方程E;(2)若动点M为直线l上任一点,过点P(1,0)的直线与曲线E相交于A,B两点,求证:kMA+kMB=2kMP.5.已知函数f(x)=ln(x+2a)-ax(a0)的最大值为M(a).(1)若关于a的方程M(a)=m的两个实数根为a1,a2,求证:4a1a22时,证明函数g(x)=|f(x)|+x在函数f(x)的最小零点x0处取得极小值.6.(2018山东临沂三模,22)已知直线l的参数方程为x=tcos,y=-2+tsin(t为参数,02),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=2,且l与C交于不同的两点P1,P2.(1)求的取值范围;(2)若=3,求线段P1P2中点P0的极坐标(0,03,c3,bc12,ABAC=bccos A=12bc6,+),当且仅当b=c时,ABAC的最小值为6,此时ABC的面积=12bcsin A=1212sin3=33.2.解 (1)在梯形ABCD中,ABCD,AD=BC,BCD=120,DAB=ABC=60,ADC=120,又AD=CD,DAC=30,CAB=30,ACB=90,即BCAC.CF平面ABCD,AC平面ABCD,ACCF,而CFBC=C,AC平面BCF,EFAC,EF平面BCF.(2)建立如图所示空间直角坐标系,设AD=CD=BC=CF=1,则C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,1,0),M32,0,1,AB=(-3,1,0),BM=32,-1,1,设n1=(x,y,z)为平面MAB的一个法向量,由n1AB=0,n1BM=0,得-3x+y=0,32x-y+z=0,取x=1,则n1=1,3,32,n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,cos =|n1n2|n1|n2|=11+3+34=21919.3.解 (1)我认为“获胜”的概率小于0.5.理由如下:记“获胜”为事件A,则P(A)=4735=1235-2a,a0,由f(x)0,得-2ax-2a+1a;由f(x)-2a+1a;f(x)的增区间为-2a,-2a+1a,减区间为-2a+1a,+,M(a)=f-2a+1a=2a2-1-ln a,不妨设a11,则4a1a2=2lntt-1t,令h(t)=t-1t-2ln t,则h(t)=1+1t2-2t=1-1t20,h(t)在(1,+)上单调递增,h(t)h(1)=0,则t-1t2ln t0,2lntt-1t1,即4a1a20(a2),M(a)在(2,+)递增,则M(a)M(2)=7-ln 20,-2ax0-2a+1a,且-2axx0时,f(x)0;x0x0,当-2ax-2a+1a时,g(x)=(a+1)x-ln(x+2a),-2axx0,ln(x+2a)-(a-1)x,x0x-2a+1a,于是-2axx0时,g(x)=a+1-1x+2aa+1-1x0+2a,若能证明x01a+1-2a,则证明(a+1)-1x0+2a2,H(a)8-19-130,H(a)在(2,+)内单调递增,H(a)H(2)=223-ln 20,1a+1-2a1a-2a,f(x)在-2a,1a+1-2a内单调递增,x0-2a,1a+1-2a,于是-2axx0时,g(x)=a+1-1x+2aa+1-11a+1-2a+2a=0,g(x)在(-2a,x0)递减,当x0x11a-2a+2a-(a-1)=10,g(x)在x0,-2a+1a递增,故x0是g(x)的极小值点.6.解 (1)曲线C的极坐标方程为=2,曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2,将x=tcos,y=-2+tsin代入x2+y2=2,得t2-4tsin +2=0,由=16sin2-80,得|sin |22,又02,的取值范围为4,3454,74.(2)当=3时,直线l的参数方程为x=12t,y=-2+32t,消去参数t,得直线l的普通方程为3x-y-2=0,设P0(0,0),则0=|-2|(3)2+1=1,把x=cos ,y=sin 代入l的普通方程,得l的极坐标方程为3cos -sin -2=0,当0=1时,得3cos 0-sin 0-2=0,即得sin0-3=-1.由02,得0-3=32,0=116,即P0的极坐标为1,116.7.解 (1)当a=1时,函数f(x)=|2x-1|-|x+3|,当x-3时,f(x)=1-2x+(x+3)=4-x,此时f(x)min=f(-3)=7.当-3xf12=-312-2=-72.当x12时,f(x)=2x-1-(x+3)=x-4,此时f(x)min=f12=12-4=-72,综上,f(x)的最小值为-72.(2)当x0,3时,f(x)4恒成立,可化为|2x-a|x+7,即-x-72x-ax+7恒成立,得x-7a3x+7恒成立,由x0,3,得3x+77,x-7-4,-4a7,即a的取值范围为-4,7.
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