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1.4导数在实际生活中的应用学习目标重点难点1学会解决利润最大，用料最省，效率最高等优化问题2学会利用导数解决生活中简单实际问题，并体会导数在解决实际问题中的作用3提高将实际问题转化为数学问题的能力.重点：用导数解决实际生活中的最优化问题难点：将实际问题转化为数学问题.导数在实际生活中的应用导数在实际生活中有着广泛的应用例如，用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的_问题，从而可用_来解决预习交流1做一做：有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为_ m2.预习交流2做一做：做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为_预习交流3用导数求解生活中的优化问题时应注意哪些问题？在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点答案：预习导引最值导数预习交流1：提示：设矩形长为x m，则宽为(8x) m，矩形面积Sx(8x)(8x0)，令S82x0，得x4.此时S最大4216(m2)预习交流2：提示：设半径为r，则高h，S2rhr22rr2r2，令S2r0，得r3，当r3时，用料最省预习交流3：提示：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去(2)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间(3)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f(x)0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值一、面积、体积最大问题如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S.(1)求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值思路分析：表示面积时，首先要建立适当的平面直角坐标系，借助椭圆的方程，可表示出等腰梯形的高用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积1求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题，解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数，然后利用导数的方法来解2必要时，可选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方程，有利于解决问题二、费用最省问题如图所示，设铁路AB=50，B，C之间距离为10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A至C最省？思路分析：可从AB上任取一点M，设MB=x，将总费用表示为变量x的函数，转化为函数的最值求解某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？1求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考虑，不符合实际意义的理论值应舍去；2在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f(x)0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值；3在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的取值范围，即函数的定义域三、利润最大问题某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5 000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加已知年利润(每辆车的出厂价每辆车的投入成本)年销售量(1)若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？(2)若年销售量关于x的函数为y3 240，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润是多少？思路分析：根据题意建立目标函数关系式，利用导数求解某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的关系为P24 200x2，且生产x吨的成本为R50 000200x元问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润收入成本)利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤：第一步，分析实际问题中各个量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)第二步，求函数的导数f(x)，解方程f(x)0.第三步，比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值1若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为_2一个箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)x2(0x60)，则当箱子的容积最大时，x的值为_3将8分成两个非负数之和，使这两个数中一个数的立方与另一个数的平方之和最小，则这个最小值等于_4以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为_5某商品每件成本9元，销售价30元，每星期卖出432件如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低量x(单位：元，0x30)的平方成正比已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.知识精华技能要领答案：活动与探究1：解：(1)依题意，以AB的中点O为原点建立平面直角坐标系(如图所示)，则点C的横坐标为x，点C的纵坐标为y，满足方程(y0)，解得y2(0xr)S(2x2r)22(xr)，其定义域为x|0xr(2)记f(x)4(xr)2(r2x2),0xr，则f(x)8(xr)2(r2x)令f(x)0，得xr.因为当0xr时，f(x)0；当rxr时，f(x)0，所以f是f(x)的最大值因此，当xr时，S也取得最大值，最大值为r2，即梯形面积S的最大值为r2.迁移与应用：解：设容器底面短边的边长为x m，则另一边长为(x0.5) m，高为3.22x(m)由题意知x0，x0.50，且3.22x0，0x1.6.设容器的容积为V m3，则有Vx(x0.5)(3.22x)2x32.2x21.6x(0x1.6)V6x24.4x1.6.令V0，有15x211x40，解得x11，x2(舍去)当x(0,1)时，V(x)0，V(x)为增函数，x(1,1.6)时，V(x)0，V(x)为减函数V在x(0,1.6)时取极大值V(1)1.8，这个极大值就是V在x(0,1.6)时的最大值，即Vmax1.8.这时容器的高为1.2 m.当高为1.2 m时，容器的容积最大，最大值为1.8 m3.活动与探究2：解：设MBx，于是AM上的运费为2(50x)，MC上的运费为4，则由A到C的总运费为p(x)2(50x)4(0x50)p(x)2，令p(x)0，解得x1，x2(舍去)当x时，p(x)0；当x时，p(x)0，所以当x时，取得最小值即在离B点距离为的点M处筑公路至C时，货物运费最省迁移与应用：解：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)(56048x)56048x(x10，xN*),f(x)=48令f(x)=0,得x=15或x=15(舍去)，当x15时，f(x)0；当10x15时，f(x)0，因此当x=15时，f(x)取最小值f(15)=2000.故为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层.活动与探究3：解：(1)由题意得：上年度的年利润为(1310)5 00015 000(万元)；本年度每辆车的投入成本为10(1x)；本年度每辆车的出厂价为13(10.7x)；本年度年销售量为5 000(10.4x)，因此本年度的年利润为y13(10.7x)10(1x)5 000(10.4x)(30.9x)5 000(10.4x)1 800x21 500x15 000(0x1)，由1 800x21 500x15 00015 000，解得0x.所以当0x时，本年度的年利润比上年度有所增加(2)本年度的年利润为f(x)(30.9x)3 2403 240(0.9x34.8x24.5x5)，则f(x)3 240(2.7x29.6x4.5)972(9x5)(x3)，由f(x)0，解得x或x3(舍去)，当x时，f(x)0，f(x)是增函数；当x时，f(x)0，f(x)是减函数所以当x时，f(x)取极大值f20 000万元因为f(x)在(0,1)上只有一个极大值，所以它是最大值，所以当x时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元迁移与应用：解：每月生产x吨时的利润为f(x)x(50 000200x)x324 000x50 000(x0)由f(x)x224 0000，解得x1200，x2200(舍去)因为f(x)在0，)内只有一个点x200使f(x)0，故它就是最大值点，且最大值为f(200)200324 00020050 0003 150 000(元)答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元当堂检测12r2解析：如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为L，则R=rcos ，L=2rsin ，所以侧面积S=2rcos 2rsin =4r2sin cos .令S=4r2(cos2sin2)=0，解得，即当，也就是R=r时，侧面积S最大，且最大值为2r2.240解析：V(x)x330x2，V(x)x260x，令V(x)0，得x40(x0舍去)，且当0x40时V(x)0；当40x60时V(x)0，故V(x)在x40时取得最大值344解析：设其中一个数为x，则另一个数为8x，且0x8，则yx3(8x)2x3x216x64，y3x22x160，解得x2，且当0x2时，y0；当2x8时，y0，故当x2时，y取最小值44.425解析：设矩形垂直于直径的一边长为x，则另一边长为2，于是矩形面积S(x)2x，则S(x)，令S(x)0得x，因此当x时面积取最大值为S25.5解：(1)设商品降价x元时，多卖出的商品数为kx2，若记商品在一个星期的销售利润为f(x)，则由题意，得f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2)又由已知条件24k22，得k6.f(x)6x3126x2432x9 072，x0,30(2)由(1)，知f(x)18x2252x43218(x2)(x12)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0,2)2(2,12)12(12,30f(x)00f(x)极小值极大值故x12时，f(x)有极大值，x2时，f(x)有极小值又f(0)9 072，f(2)8 664，f(12)11 664，所以定价为301218元，能使一个星期的商品销售利润最大
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