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预习课本P2125，思考并完成以下问题 1全称量词、全称命题的定义是什么？2存在量词、特称命题的定义是什么？3全称命题与特称命题的否定分别是什么命题？1全称量词与全称命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号_全称命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“xM，p(x)”2存在量词与特称命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示_特称命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“x0M，p(x0)”3全称命题与特称命题的否定知识点原命题命题的否定全称命题的否定p：xM，p(x)綈p：x0M，綈p(x0)特称命题的否定p：x0M，p(x0)綈p：xM，綈p(x)点睛(1)全称命题的否定全称命题的否定是一个特称命题，否定全称命题时关键是找出全称量词，明确命题所提供的性质(2)特称命题的否定特称命题的否定是一个全称命题，否定特称命题时关键是找出存在量词，明确命题所提供的性质1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略()(2)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题()(3)“三角形内角和是180”是全称命题()答案：(1)(2)(3)2命题“xR，|x|x20”的否定是()AxR，|x|x20BxR，|x|x20Cx0R，|x0|x0 Dx0R，|x0|x0答案：C3下列全称命题为真命题的是()A所有的质数是奇数BxR，x211C对每一个无理数x，x2也是无理数D所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5答案：B4命题p：x0R，x2x050恒成立；(2)当x为有理数时，x2x1也是有理数；(3)等式sin()sin sin 对有些角，成立；(4)方程3x2y10有整数解解：(1)对任意实数x，不等式x2x10成立(2)对任意有理数x，x2x1是有理数(3)存在角，使sin()sin sin 成立(4)存在一对整数x，y，使3x2y10成立.全称命题、特称命题的真假判断典例(1)下列命题中的假命题是()Ax0R，lg x00Bx0R，tan x01CxR，x20 DxR，ex0(2)下列命题中的真命题是()AR，函数f(x)sin(2x)都不是偶函数B0，0R，使cos(00)cos 0cos 0C向量a(2,1)，b(1,0)，则a在b方向上的投影为2D“|x|1”是“x1”的既不充分又不必要条件解析(1)对于A，x1时，lg x0；对于B，xk(kZ)时，tan x1；对于C，当x0时，x20，所以C中命题为假命题；对于D，ex0恒成立(2)对于A，当时，f(x)cos 2x，为偶函数，故A为假命题；对于B，令0，0，则cos(00)cos，cos 0cos 00，cos(00)cos 0cos 0成立，故B为真命题；对于C，向量a(2,1)，b(1,0)，则a在b方向上的投影为2，故C为假命题；对于D，|x|1，即1x1，故充分性成立，若x1，则|x|1不一定成立，所以“|x|1”为“x1”的充分不必要条件，故D为假命题答案(1)C(2)B全称命题与特称命题的真假判断的技巧(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题活学活用指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断真假(1)若a0，且a1，则对任意实数x，ax0.(2)对任意实数x1，x2，若x1x2，则tan x1tan x2.(3)存在两个相交平面垂直于同一条直线(4)x0R，使x10(a0，且a1)恒成立，命题(1)是真命题(2)是全称命题存在x10，x2，x10，命题(4)是假命题.全称命题与特称命题的否定典例(1)设命题p：nN，n22n，则綈p为()AnN，n22n BnN，n22nCnN，n22n DnN，n22n(2)(2016浙江高考)命题“xR，nN*，使得nx2”的否定形式是()AxR，nN*，使得nx2BxR，nN*，使得nx2CxR，nN*，使得nx2DxR，nN*，使得nx2解析(1)因为“xM，p(x)”的否定是“xM，綈p(x)”，所以命题“nN，n22n”的否定是“nN，n22n”，故选C.(2)由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“xR，nN*，使得nx2”的否定形式为“xR，nN*，使得nx2”答案(1)C(2)D全称命题与特称命题的否定的思路(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定活学活用判断下列命题的真假，并写出它们的否定(1)三角形的内角和为180；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形解：(1)三角形的内角和为180，是全称命题，是真命题命题的否定：三角形的内角和不全为180，即存在一个三角形，其内角和不等于180.(2)每个二次函数的图象都开口向下，是全称命题，是假命题命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下(3)存在一个四边形不是平行四边形，是特称命题，是真命题命题的否定：所有的四边形都是平行四边形.利用全称命题与特称命题求参数典例若命题“x1，)，x22ax2a”是真命题，求实数a的取值范围解法一：由题意，x1，)，令f(x)x22ax2a恒成立，所以f(x)(xa)22a2a可转化为x1，)，f(x)mina恒成立，而x1，)，f(x)min由f(x)的最小值f(x)mina，知a3,1法二：x22ax2a，即x22ax2a0，令f(x)x22ax2a，所以全称命题转化为x1，)，f(x)0恒成立，所以0或即2a1或3a2.所以3a1.综上，所求实数a的取值范围是3,1利用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设活学活用1命题p：x00，使sina，若p是真命题，则实数a的取值范围为_解析：由0x，得x，所以sin1.而命题p：x00，使sin.答案：2已知命题p：x0R，使xmx010，命题q：xR，有x22xm0.若命题q(pq)为真，綈p为真，求实数m的取值范围解：由于綈p为真，所以p为假，则pq为假又q(pq)为真，故q为真，即p假、q真命题p为假，即关于x的方程x2mx10无实数解，则m240，解得2m2；命题q为真，则44m1.故实数m的取值范围是(1,2)层级一学业水平达标1已知命题p：x0，总有ex1，则綈p为()Ax00，使得ex01Bx00，使得ex01Cx0，总有ex1 Dx0，总有ex0，使得ex01.故选B.2下列四个命题中的真命题为()A若sin Asin B，则ABBxR，都有x210C若lg x20，则x1Dx0Z，使14x03解析：选BA中，若sin Asin B，不一定有AB，故A为假命题，B显然是真命题；C中，若lg x20，则x21，解得x1，故C为假命题；D中，解14x3得x，故不存在这样的xZ，故D为假命题3命题“x0R,2x0x0”的否定是()Ax0R,2x0或xx0BxR,2x或x2xCxR,2x且x2xDx0R,2x0且xx0解析：选C原命题为特称命题，其否定为全称命题，应选C.4以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A锐角三角形的内角是锐角或钝角B至少有一个实数x，使x20C两个无理数的和必是无理数D存在一个负数x，使2解析：选BA中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x0时，x20，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为()0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有0，所以D是假命题5命题p：xR，ax2ax10，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是()A(0,4 B0,4C(，04，) D(，0)(4，)解析：选D当a0时，不等式恒成立；当a0时，要使不等式恒成立，则有即解得0a4.综上，0a4，则命题p：0a4，所以綈p：a4.6下列命题中，是全称命题的是_；是特称命题的是_(填序号)正方形的四条边相等；有两个角相等的三角形是等腰三角形；正数的平方根不等于0；至少有一个正整数是偶数解析：可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；是特称命题答案：7命题“至少有一个正实数x满足方程x22(a1)x2a60”的否定是_解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定答案：所有正实数x都不满足方程x22(a1)x2a608已知命题“x0R,2x(a1)x00”是假命题，则实数a的取值范围是_解析：原命题等价于“xR,2x2(a1)x0”是真命题，即(a1)240，解得1a0)，函数f(x)sin的周期不大于4.(1)写出綈p；(2)当綈p是假命题时，求实数b的最大值解：(1)綈p：a0(0，b(bR且b0)，函数f(x)sin的周期大于4.(2)因为綈p是假命题，所以p是真命题，所以a(0，b，4恒成立，解得a2，所以b2，所以实数b的最大值是2.层级二应试能力达标1已知f(x)3sin xx，命题p：x，f(x)0，则()Ap是假命题，綈p：x，f(x)0Bp是假命题，綈p：x0，f(x0)0Cp是真命题，綈p：x，f(x)0Dp是真命题，綈p：x0，f(x0)0解析：选D由正弦函数的图象，知x，sin xx，又3，当x时，3sin xx，即x，f(x)0恒成立，p是真命题又全称命题的否定是特称命题，綈p：x0，f(x0)0.2已知命题p：xR,2x22x0.给出下列结论：命题p是真命题；命题q是假命题；命题(綈p)q是真命题；命题p(綈q)是假命题其中正确的是()A BC D解析：选C对于命题p，因为函数ysin x的值域为1,1，所以命题p为假命题；对于命题q，因为函数yx2x的图象开口向上，最小值在x处取得，且f0，所以命题q为真命题由命题p为假命题和命题q为真命题可得：命题(綈p)q是真命题，命题p(綈q)是假命题故正确4命题“nN*，f(n)N*且f(n)n”的否定形式是()AnN*，f(n)N*且f(n)nBnN*，f(n)N*或f(n)nCn0N*，f(n0)N*且f(n0)n0Dn0N*，f(n0)N*或f(n0)n0解析：选D写全称命题的否定时，要把量词改为，并且否定结论，注意把“且”改为“或”5有下列四个命题：xR,2x23x40；x1，1,0,2x10；x0N，xx0；x0N*，x0为29的约数其中真命题有_个解析：易知正确当x1时，2x10，y(3c)x在R上为减函数，命题q：xR，x22c30.若pq为真命题，则实数c的取值范围为_解析：由于pq为真命题，所以p，q都是真命题，所以解得2c0成立”为真，试求参数a的取值范围解：法一：由题意知，x22ax2a0在1,2上有解，令f(x)x22ax2a，则只需f(1)0或f(2)0，即12a2a0，或44a2a0.整理得a3或a2.即a3.故参数a的取值范围为(3，)法二：綈p：x1,2，x22ax2a0无解，令f(x)x22ax2a，则即解得a3.故命题p中，a3.即参数a的取值范围为(3，)8已知f(t)log2t，t，8，若命题“对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2mx42m4x恒成立”为真命题，求实数x的取值范围解：易知f(t).由题意，令g(m)(x2)mx24x4(x2)m(x2)2，则g(m)0对m恒成立所以即解得x2或x0，yR，则“xy”是“x|y|”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：选C由xy推不出x|y|，由x|y|能推出xy，所以“xy”是“x|y|”的必要不充分条件3已知命题若ab，则，若2x0，则(x2)(x3)0，则下列说法正确的是()A的逆命题为真B的逆命题为真C的逆否命题为真 D的逆否命题为真解析：选D的逆命题为b，若a2，b3，则不成立故A错；的逆命题为若(x2)(x3)0，则2x0是假命题，故B错；为假命题，其逆否命题也为假命题，故C错；为真命题，其逆否命题也为真命题，D正确4已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是()A命题綈p是真命题B命题p是特称命题C命题p是全称命题D命题p既不是全称命题也不是特称命题解析：选C命题p：实数的平方是非负数，是全称命题，且是真命题，故綈p是假命题5下列命题中，真命题是()A命题“若|a|b，则ab”B命题“若“ab，则|a|b|”的逆命题C命题“当x2时，x25x60”的否命题D命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”解析：选D原命题可以改写成“若角的终边相同，则它们的同名三角函数值相等”，是真命题，故选D.6已知命题p：若实数x，y满足x3y30，则x，y互为相反数；命题q：若ab0，则0，则()Ap是真命题，綈p：x0(0，)，f(x0)0Bp是真命题，綈p：x0(0，)，f(x0)0Cp是假命题，綈p：x0(0，)，f(x0)0时，f(x)f(0)0，所以p为真命题，綈p：x0(0，)，f(x0)0，故选B.8下列关于函数f(x)x2与函数g(x)2x的描述，正确的是()Aa0R，当xa0时，总有f(x)g(x)BxR，f(x)g(x)Cx4时，由图象知f(x)g(x)，其余三命题均错误9已知p：xk，q：1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是()A1，) B(2，)C1，) D(，1)解析：选B1x2.又p是q的充分不必要条件，则k2，故选B.10下列判断正确的是()A命题“负数的平方是正数”不是全称命题B命题“xN*，x3x2”的否定是“x0N*，x0的一个必要不充分条件是()Ax0 Bx4C|x1|1 D|x2|3解析：选C由f(x)x24x0，得x4.由|x1|1，得x2.由|x2|3，得x5，所以只有C是必要不充分条件故选C.12有下列命题：“若xy0，则x0且y0”的否命题；“矩形的对角线相等”的否命题；“若m1，则mx22(m1)xm30的解集是R”的逆命题；“若a7是无理数，则a是无理数”的逆否命题其中正确的是()A BC D解析：选C的逆命题为“若x0且y0，则xy0”为真，故否命题为真；的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；的逆命题为，若mx22(m1)xm30的解集为R，则m1.当m0时，解集不是R，应有 即m1.是真命题；原命题为真，逆否命题也为真二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中的横线上)13命题“若aA，则bB”的逆否命题是_解析：逆否命题既否定其条件又否定其结论，然后交换其顺序答案：若bB，则aA14命题p：若a，bR，则ab0是a0的充分条件，命题q：函数y的定义域是3，)，则“pq”“pq”“綈p”中是真命题的为_解析：p为假命题，q为真命题，故pq为真命题，綈p为真命题答案：pq，綈p15已知p：4xa0，若綈p是綈q的充分条件，则实数a的取值范围是_解析：p：a4xa4，q：2xb，则0时，ababba，所以四种命题都是正确的当abb，则必有a0b，故0，所以原命题是假命题；若，则必有0，故a0b，所以原命题的逆命题也是假命题由命题的等价性，可知四种命题都是假命题，故填ab0.答案：ab0，x2；(4)x0Z，log2x02.解：(1)命题中隐含了全称量词“所有的”，因此命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，且为真命题(3)命题中含有全称量词“”，是全称命题，且为假命题(4)命题中含有存在量词“”，是特称命题，且为真命题18(本小题满分12分)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假(1)能被6整除的数一定是偶数；(2)当|b2|0时，a1，b2；(3)已知x，y为正整数，当yx2时，y1，x1.解：(1)若一个数能被6整除，则这个数为偶数，是真命题(2)若|b2|0，则a1且b2，真命题(3)已知x，y为正整数，若yx2，则y1且x1，假命题19(本小题满分12分)已知c0，设命题p：ycx为减函数，命题q：函数f(x)x在x上恒成立若pq为真命题，pq为假命题，求c的取值范围解：由pq真，pq假，知p与q为一真一假，对p，q进行分类讨论即可若p真，由ycx为减函数，得0c1.当x时，由不等式x2(x1时取等号)知，f(x)x在上的最小值为2.若q真，则.若p真q假，则0c1，c，所以0，所以c1.综上可得，c1，)20(本小题满分12分)已知kR且k1，直线l1：yx1和l2：yxk.(1)求直线l1l2的充要条件；(2)当x1,2时，直线l1恒在x轴上方，求k的取值范围解：(1)由题意得解得k2.当k2时，l1：yx1，l2：yx2，此时l1l2.直线l1l2的充要条件为k2.(2)设f(x)x1.由题意，得即解得1k2.k的取值范围是(1,2)21(本小题满分12分)已知“xx|1x1，使等式x2xm0成立”是真命题(1)求实数m的取值集合M；(2)设不等式(xa)(xa2)0的解集为N，若xN是xM的必要条件，求实数a的取值范围解：(1)由题意，知mx2x2.由1x2a，即a1时，N(2a，a)，则解得a.当a2a，即a1时，N(a,2a)，则解得a.当a2a，即a1时，N，不满足MN.综上可得a.22(本小题满分12分)已知命题：“xx|1x1，都有不等式x2xm0成立”是真命题(1)求实数m的取值集合B；(2)设不等式(x3a)(xa2)0的解集为A，若xA是xB的充分不必要条件，求实数a的取值范围解：(1)命题：“xx|1x1，都有不等式x2xm0成立”是真命题，得x2xm(x2x)max，得m2，即Bm|m2(2)不等式(x3a)(xa2)2a，即a1时，解集Ax|2ax3a，若xA是xB的充分不必要条件，则AB，2a2，此时a(1，)；当3a2a，即a1时，解集A，若xA是xB的充分不必要条件，则AB成立；当3a2a，即a1时，解集Ax|3ax2a，若xA是xB的充分不必要条件，则AB成立，3a2，此时a.综上可得a.
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