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第1讲集合、复数与常用逻辑用语1.(2018全国卷,理2)已知集合A=(x,y)|x2+y23,xZ,yZ,则A中元素的个数为(A)(A)9(B)8(C)5(D)4解析:将满足x2+y23的整数x,y全部列举出来,即(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9个.故选A.2.(2018全国卷,理1)已知集合A=x|x-10,B=0,1,2,则AB等于(C)(A)0(B)1(C)1,2(D)0,1,2解析:因为A=x|x-10=x|x1,所以AB=1,2.故选C.3.(2018全国卷,理2)已知集合A=x|x2-x-20,则RA等于(B)(A)x|-1x2(B)x|-1x2(C)x|x2(D)x|x-1x|x2解析:因为A=x|x2-x-20,所以RA=x|x2-x-20=x|-1x2,故选B.4.(2018全国卷,理1)设z=1-i1+i+2i,则|z|等于(C)(A)0(B)12(C)1(D)2解析:因为z=1-i1+i+2i=(1-i)2(1+i)(1-i)+2i=-2i2+2i=i,所以|z|=1.故选C.5.(2018全国卷,理1)1+2i1-2i等于(D)(A)-45-35i(B)-45+35i(C)-35-45i(D)-35+45i解析:1+2i1-2i=(1+2i)2(1-2i)(1+2i)=1-4+4i1-(2i)2=-3+4i5=-35+45i.故选D.6.(2015全国卷,理3)设命题p:nN,n22n,则p为(C)(A)nN,n22n(B)nN,n22n(C)nN,n22n(D)nN,n2=2n解析:根据特称命题的否定为全称命题,知p:nN,n22n,故选C.1.考查角度(1)集合:考查集合的含义与基本运算,通常与不等式的解集、函数的定义域等问题进行综合.(2)复数:考查复数的概念、四则运算和几何意义,以考查四则运算为核心.(3)常用逻辑用语:考查命题、充分必要条件、逻辑联结词、量词等基本问题.2.题型及难易度选择题、填空题,难度较小.(对应学生用书第13页) 集合【例1】 (1)(2018广西三校联考)如果集合M=x|y=5x-20,集合N=x|y=log3x,则MN等于()(A)x|0x4(B)x|x4(C)x|00,N=x1x0,所以MN=x|x4.故选B.(2)因为A=x|3x2-4x+10=x13x1,B=x|y=4x-3=x|4x-30=xx34,所以AB=x13x1xx34=x34x1.故选B.(3)M=x|x2-x0=x|x1或x0,N=x1x1或x0,则M=N,故选C.(1)集合试题以集合的运算为核心,解题时首先求出涉及的集合,再根据集合运算的规则进行具体运算.(2)注意AB,AB,(UA)B,A(UB),U(AB)等的Venn图表示.热点训练1:(1)(2018湖南湘潭联考)设全集U=R,集合A=x|log2x2,B=x|(x-2)(x+1)0,则A(UB)等于()(A)(0,2)(B)2,4(C)(-,-1)(D)(-,4(2)(2018广州综合模拟)已知集合A=(x,y)|x2+y2=1,B=(x,y)|y=2x+1,则AB中元素的个数为()(A)3(B)2(C)1(D)0解析:(1)集合A=x|log2x2=x|0x4,B=x|(x-2)(x+1)0=x|x-1或x2,UB=x|-1x2.所以A(UB)=x|0x3”是“x2-5x+60”的充分不必要条件(C)“xR,x2-5x+60”的否定是“x0R,x02-5x0+6=0”(D)命题:“在锐角ABC中,sin Acos B”为真命题(2)(2018豫南九校质考二)命题p:x,yR,x2+y22,命题q:x,yR,|x|+|y|2,则p是q的()(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:(1)“锐角ABC中,sin Acos 3,所以D错误.故选D.(2)如图,不等式x2+y22,表示图中圆面O(不包括边界), 不等式|x|+|y|0时,a,b的夹角为锐角或者0,b2=ac时,如果b=0,a,c至少有一个为0时,a,b,c就不能成等比数列等.(2)要善于从集合的观点理解充分条件和必要条件,如果满足p的对象的集合是满足q的对象的集合的真子集,则p是q的充分不必要条件、q是p的必要不充分条件,如果满足p,q的对象的集合相等,则p,q互为充要条件,如果满足p,q的对象的集合互不包含,则p既不是q的充分条件也不是必要条件.考向2逻辑联结词与量词【例4】 (1)(2018湖南益阳联考)已知命题p:若复数z满足 (z-i)(-i)=5,则z=6i;命题q:复数1+i1+2i的虚部为-15i,则下面为真命题的是()(A)(p)(q)(B)(p)q(C)p(q)(D)pq(2)(2018湖南益阳4月调研)已知命题p:“a0,a4+a20”,则命题p为()(A)a0,a4+a20(B)a0,a4+a20(C)a00,a04+a020(D)a00,a04+a020解析:(1)因为(z-i)(-i)=5,所以z=5-i+i=6i,所以命题p为真,因为复数的虚部是实数,所以命题q为假.故选C.(2)由已知,命题p为全称命题,其否定需由特称命题来完成,并将其结论否定,即p:a00,a04+a021,则a21”的否命题是“若a1,则a21”(B)在ABC中,“AB”是“sin2Asin2B”的必要不充分条件(C)“若tan 3,则3”是真命题(D)x0(-,0),使得3x0b0,则ln a(n+2)2n-1”的否定是“nN*,3n(n+2)2n-1”(D)已知函数f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的,则命题“若f(a)f(b)0是f(x1)+f(x2)f(-x1)+f(-x2)的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:(1)A中的否命题应该是:“若a1,则a21”,故A不正确;选项B,在ABC中,ABab2Rsin A2Rsin Bsin Asin B,应该是充要条件,故B不正确;C中,“若tan 3,则3”的逆否命题“若=3,则tan =3”为真命题,故其原命题也为真,故C正确;D中,由指数函数y=34x的性质可知,x0(-,0),得34x01,即3x04x0,故D不正确.故选C.(2)函数f(x)=ln x是增函数,ab0,所以ln aln b,选项A错误;abab=0(1,m)(m,2m-1)=0m+m(2m-1)=0m=0,选项B错误;C项中命题的否定是nN*,3n(n+2)2n-1,选项C错误;D中命题的逆命题是已知函数f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的,若f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,则 f(a)f(b)0时,h(x)=x1+x=1-11+x是增函数,而h(0)=0,故h(x)在R内单调递增,所以f(x)=x1+|x|+ex是增函数,易知f(-x)是减函数,令g(x)=f(x)-f(-x),知g(x)是增函数,则x1+x20x1-x2g(x1)g(-x2)f(x1)-f(-x1)f(-x2)-f(x2)f(x1)+f(x2)f(-x1)+f(-x2).故选C. 【例1】 (1)(2018福建龙岩4月质检)已知集合A=x|x2-ax0,a0,B=0,1,2,3,若AB有3个真子集,则a的取值范围是()(A)(1,2(B)1,2)(C)(0,2(D)(0,1)(1,2(2)(2018呼和浩特一模)已知集合A=x|x2-6x0,B=xZ|2x0=x|0xa,B=0,1,2,3,由AB有3个真子集,可得AB有2个元素,所以1a2,即a的取值范围是1,2),故选B.(2)集合A=x|0x6,B=xZ|2x33=xZ|x5,则集合AB=0,1,2,3,4,5,其元素个数为6.故选A.(3)因为A=1,2,B=x|x2-(a+1)x+a=0,aR,由A=B,可得1,2是方程x2-(a+1)x+a=0的两根,由韦达定理可得1+2=a+1,12=a,即a=2,故选B.【例2】 (1)(2018广东高三下模拟二)若复数z1=1+i,z2=1-i,则下列结论错误的是()(A)z1z2是实数(B)z1z2是纯虚数(C)|z14|=2|z2|2(D)z12+z22=4i(2)(2018山东潍坊二模)设有下面四个命题p1:若复数z满足z=z,则zR;p2:若复数z1,z2满足|z1|=|z2|,则z1=z2或z1=-z2;p3:若复数z1=z2,则z1z2R;p4:若复数z1,z2,满足z1+z2R,则z1R,z2R.其中的真命题为()(A)p1,p3(B)p2,p4(C)p2,p3(D)p1,p4解析:(1)z1z2=(1+i)(1-i)=1-i2=2,是实数,故A正确,z1z2=1+i1-i=1+2i+i22=i,是纯虚数,故B正确;|z14|=|(1+i)4|=|(1+i)22|=|(2i)2|=4,2|z22|=2|(1-i)2|=2|-2i|=4,故C正确;z12+z22=(1+i)2+(1-i)2=2i-2i=0,所以D项不正确.故选D.(2)z=z,可知复数的虚部为0,所以有zR,从而得p1是真命题;由复数的模的意义,可知p2是假命题;由z1=z2,可知z1,z2互为共轭复数,所以p3是真命题;复数z1,z2满足z1+z2R,只能说明两个复数的虚部互为相反数,所以p4是假命题,故选A.
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