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小题对点练(七)立体几何(建议用时：40分钟)一、选择题1(2017全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()AA1EDC1BA1EBDCA1EBC1 DA1EACC建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，(0,1,1)，(1，1,0)，(1,0,1)，(1,1,0)，0，0，0，0，A1EBC1.故选C.2已知a，b为异面直线，下列结论不正确的是( )A必存在平面使得a，bB必存在平面使得a，b与所成角相等C必存在平面使得a，bD必存在平面使得a，b与的距离相等C由a，b为异面直线知，在A项中，在空间中任取一点O，过点O分别作a，b的平行线，则由过点O的a，b的平行线确定一个平面，使得a，b，故A项正确；B项中，平移b至b与a相交，因而确定一个平面，在上作a，b夹角的平分线，明显可以做出两条过角平分线且与平面垂直的平面使得a，b与该平面所成角相等，角平分线有两条，所以有两个平面都可以，故B项正确；在C项中，当a，b不垂直时，不存在平面使得a，b，故C项错误；在D项中，过异面直线a，b的公垂线的中点作与公垂线垂直的平面，则平面使得a，b与的距离相等，故D项正确故选C.3一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是，(1,1,0)，(1,0,1)，画该四面体三视图中的正视图时，以yOz平面为投影面，则得到的正视图可以为( )AB CDA由图可得，选A.4如图3是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )图3A2B4C. D.A由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示，其中，底面为直角三角形，AD2，AF，高为AB2.该几何体的体积为V222，故选A.5若一个圆锥的轴截面是正三角形，则此圆锥侧面展开图扇形的圆心角大小为()A60B90C120D180D设圆锥的底面半径为r，母线长为R，由该圆锥的轴截面是正三角形，得2rR，2r，解得n180.6(2016全国卷)如图4所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()图4A1836B5418C90D81B由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(333633)25418.故选B.7我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d，人们还用过一些类似的近似公式，根据3.141 59判断，下列近似公式中最精确的一个是( )AdBdCdDdD根据球的体积公式VR3，得d，设选项中的常数为，则，选项A代入得3.1，选项B代入得3，选项C代入得3.2，选项D代入得3.142 857，D选项更接近的真实值，故选D.8在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A. B. C. D2C过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，则该几何体的体积为VV圆柱V圆锥AB2BCCE2DE122121，故选C.9.如图5，在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中点，则AD与平面ABC所成角的大小是()图5A30B45C60D90A取BC的中点E，连接AE，DE，则DE平面ABC，DAE为AD与平面ABC所成的角，设三棱柱的棱长为1，则AE，DE，tanDAE，DAE30.故选A.10在三棱锥SABC中，SBBC，SAAC，SBBC，SAAC，ABSC，且三棱锥SABC的体积为，则该三棱锥的外接球的表面积为()A4B16 C36D72B设SC的中点为D，连接BD，AD(图略)，设BCa，则BDADa，ABa，因为SBBC，所以BDSC，同理ADSC，所以SC平面ABD，所以VSABCVSABDVCABDa2，所以a2.因为DADBDCDS2，所以点D就是三棱锥外接球的球心，所以三棱锥外接球的半径为2，所以外接球的表面积为42216.故选B.11如图6，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论正确的是( )图6APBADB平面PAB平面PBCC直线BC平面PAED直线PD与平面ABC所成的角为45D若PBAD，则ADAB，但AD与AB成60角，A项错误；平面PAB与平面ABD垂直，所以平面PAB一定不与平面PBC垂直，B项错误；BC与AE是相交直线，所以BC一定不与平面PAE平行，C项错误；直线PD与平面ABC所成角为PDA，在RtPAD中，ADPA，所以PDA45，D项正确12.如图7所示，正方形ABCD的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则正四棱锥的侧面积取值范围为()图7A(1,2)B(1,2C(0,2D(0,2)D设三棱锥一个侧面为三角形APQ，APQx，则AHPQtan xPQ，PQ，AH，S4PQAH2PQAH2，x，S2，(当且仅当tan x1，即x时取等号)，而tan x0，故S0，S2时，三角形APQ是等腰直角三角形，顶角PAQ90，阴影部分不存在，折叠后A与O重合，构不成棱锥，S的范围为(0,2)，故选D.二、填空题13(2017天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_设正方体的棱长为a，则6a218，a.设球的半径为R，则由题意知2R3，R.故球的体积VR3.14.如图8，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的命题序号是_图8平面ABD平面ABC；平面ADC平面BDC；平面ABC平面BDC；平面ADC平面ABC.因为在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，所以BDCD，又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，CD平面BCD，所以CD平面ABD，又AB平面ABD，则CDAB，又ADAB，ADCDD，所以AB平面ADC，又AB平面ABC，所以平面ABC平面ADC.15(2018全国卷)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45.若SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为_40如图所示，设S在底面的射影为S，连接AS，SS.SAB的面积为SASBsinASBSA2SA25，SA280，SA4.SA与底面所成的角为45，SAS45，ASSAcos 4542.圆锥的侧面积为2440.16已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球，则此三棱柱的体积的最大值为_1如图，设球心为O，三棱柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，底面正三角形的边长为a，则AO1aa.由已知得O1O2底面，在RtOAO1中，由勾股定理得OO1，所以V三棱柱a22，令f(a)3a4a6(0a2)，则f(a)12a36a56a3(a22)，令f(a)0，解得a.因为当a(0，)时，f(a)0；当a(，2)时，f(a)0，所以函数f(a)在(0，)上单调递增，在(，2)上单调递减所以f(a)在a处取得极大值因为函数f(a)在区间(0,2)上有唯一的极值点，所以a也是最大值点所以(V三棱柱)max1.小题对点练立体几何【教师备选】(建议用时：40分钟)一、选择题1已知互相垂直的平面，交于直线l.若直线m，n满足m，n，则( )AmlBmnCnlDmnC由已知，l，l，又n，nl，C项正确故选C.2圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是()A. B. C. D.A由题意可知，圆柱的高为2，底面周长为2，故半径为，所以底面积为，所以体积为，故选A.3设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A若，m，则mB若m，n，则mnC若am，n，n，则mnD若，且m，点A，直线ABm，则ABCA项，若，m，则m或m；B项，若m，n，则m，n无交点，即平行或异面；C项，若m，n，n，过n作平面与，分别交于直线s，t，则sn，tn，所以st，再根据线面平行判定定理得s，因为m，s，所以sm，即mn；D项，若，且m，点A，直线ABm，当B在平面内时才有AB，综上选C.4中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x为( )A1.2B1.6 C1.8D2.4B该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4x,3,1的长方体，组合体的体积VV圆柱V长方体x(5.4x)3112.6(其中3)，解得x1.6.故选B.5某几何体的正视图和侧视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是ABC，如图(2)所示，其中OAOB2，OC，则该几何体的表面积为( )(1)(2)A3612B248C2412D368C由图(2)可知，该几何体的俯视图是一个底面边长为4，高为2的等腰三角形，即该三角形为等边三角形，在如图所示的长方体中，长、宽、高分别为4,2，6，三视图还原为几何体是图中的三棱锥PABC，且SPABSPBC4612, SABC424，PAC是腰长为，底面边长为4的等腰三角形，SPAC8.综上可知，该几何体的表面积为212482412.故选C.6某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示，若剩余几何体的体积为，则a的值为()A1B2 C2 D.B由三视图可知，该几何体为高为a，底面半径为的圆柱，挖去一个半径为的球而得的几何体剩余几何体的体积为aa3，解得a2.故选B.7(2018唐山高三一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A54B9C65 D.A根据题意得到该几何体是一个三棱柱切下了一个三棱锥，剩下的部分的表面积由一个等腰三角形，两个直角梯形，一个等腰直角三角形，一个长方形构成，面积和为422354.8在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD1与平面ABCD所成角的大小为60，DC1与平面ABCD所成角的大小为30，那么异面直线AD1与DC1所成角的余弦值为()A. B. C. D.B由题得D1AD60，C1DC30，设AD1，则CC1，DC3，DC12，BC12，DB.在BDC1中，由余弦定理得cosBC1D.因为AD1BC1，所以异面直线AD1与DC1所成角的余弦值为.9一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是( )A96B16 C24D48D如图，设球的半径为R，由R3，得R2.所以正三棱柱的高h4.设其底面边长为a，则a2，所以a4，所以V(4)2448.10设三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，BCA90，BCCA2，若该棱柱的所有顶点都在体积为的球面上，则直线B1C与直线AC1所成角的余弦值为( )A B. C D.B由已知，若棱柱的所有顶点都在球面上，则同高的长方体8个顶点也在球面上，且外接球的直径为长方体的体对角线，由球体体积可得直径为4，由于长方体底面为边长为2的正方形，故侧面的对角线为2，由余弦定理可知，直线B1C与直线AC1所成角的余弦值为.11圆台的高为2，上底面直径AB2，下底面直径CD4，AB与CD不平行，则三棱锥ABCD体积的最大值是()A. B. C. D.B如图，设上、下底面的圆心分别为O1，O，因为VABCDVCAOBVDAOB，所以要使三棱锥ABCD的体积最大，则需CD平面AOB，所以三棱锥ABCD的体积最大为SABO(COOD)SABOCD224，故选B.12.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ADBC，ABBC，侧面PAB底面ABCD，若PAADABkBC(0k1)，则()A当k时，平面BPC平面PCDB当k时，平面APD平面PCDC对任意k(0,1)，直线PA与底面ABCD都不垂直D存在k(0,1)，使直线PD与直线AC垂直A取PB，PC的中点分别为M，N，连接MN，AM，DN(图略)由平面PAB平面ABCD，BCAB，可知BC平面PAB，BCAM.又M为PB中点，PAAB，AMPB，可得AM平面PBC，而ADBC且ADBC，同时MNBC且MNBC，ADMN且ADMN，则四边形ADNM为平行四边形，可得AMDN，则DN平面BPC.又DN平面PCD，平面BPC平面PCD.其余选项都错误，故选A.二、填空题13.(2018天津高考)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为_连接AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因为E，H分别为AD1，CD1的中点，所以EHAC，EHAC，因为F，G分别为B1A，B1C的中点，所以FGAC，FGAC，所以EHFG，EHFG，所以四边形EHGF为平行四边形，又EGHF，EHHG，所以四边形EHGF为正方形，又点M到平面EHGF的距离为，所以四棱锥MEFGH的体积为.14如图，在边长为2的正方形ABCD中，以B为圆心的圆与AB，BC分别交于点E，F，若tanCDF，则阴影部分绕直线BC旋转一周形成几何体的体积等于_6在RtDCF中，DC2，所以CFDCtanCDF21，所以BFBCCF211.正方形ABCD绕直线BC旋转一周形成圆柱，圆柱的底面半径R1AB2，高h1BC2，其体积V1Rh12228；RtDCF绕直线BC旋转一周形成一个圆锥，圆锥的底面半径R2DC2，高h2CF1，其体积V2Rh2221；扇形BEF是圆的，其绕直线BC旋转一周形成一个半球，球的半径为rBE1，故其体积V3r313.阴影部分绕直线BC旋转一周形成的几何体是一个圆柱挖掉上述的半球与圆锥，故其体积VV1V2V386.15已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于_设直线AB1与侧面ACC1A1所成角为，建立如图所示空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，则A(0，1,0)，B1(，0,2)，AB1(，1,2)，O(0,0,0)，B(，0,0)，所以BO(，0,0)为侧面ACC1A1的法向量，所以sin .16(2018东莞二调)已知几何体是平面截半径为4的球O所得较大部分，ABC是截面圆O的内接三角形，A90，点P是几何体上的一动点，且P在圆O上的投影在圆O的圆周上，OO1，则三棱锥PABC的体积的最大值为_10由对称性知点P到平面ABC的距离为2，设圆O的半径为r，则r，BC2，当点A到BC的距离为时，SABC取得最大值15，此时，三棱锥PABC的体积取得最大值，Vmax21510.
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