2019-2020年高三数学 知识点精析精练13 不等式的解法.doc

2019-2020年高三数学 知识点精析精练13 不等式的解法【复习要点】解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题：(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法.(2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法.(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法.(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法.(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式.(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论.【例题】【例1】 解不等式：解：原不等式可化为：0，即(a1)x+(2a)(x2)0.当a1时，原不等式与(x)(x2)0同解.若2，即0a1时，原不等式无解；若2，即a0或a1，于是a1时原不等式的解为(，)(2，+).当a1时，若a0，解集为(，2)；若0a1，解集为(2，)综上所述：当a1时解集为(，)(2，+)；当0a1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a0时，解集为(，2).【例2】 设不等式x22ax+a+20的解集为M，如果M1，4，求实数a的取值范围.解：M1，4有n种情况：其一是M=，此时0；其二是M，此时0，分三种情况计算a的取值范围.设f(x)=x2 2ax+a+2，有=(2a)2(4a+2)=4(a2a2)(1)当0时，1a2，M=1，4(2)当=0时，a=1或2.当a=1时M=11，4；当a=2时，m=21，4.(3)当0时，a1或a2.设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1x2，那么M=x1，x2，M1，41x1x24即，解得：2a，M1，4时，a的取值范围是(1，).【例3】 解关于x的不等式：解：原不等式等价于 ，即.由于，所以，所以，上述不等式等价于 解答这个含参数的不等式组，必然需要分类讨论，此时，分类的标准的确定就成了解答的关键如何确定这一标准？（1）当时，不等式组等价于此时，由于，所以 从而 （2）当时，不等式组等价于所以 （3）当时，不等式组等价于此时，由于，所以，综上可知：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为【例4】 解关于的不等式：解：原不等式等价于，当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为【例5】 设函数，（1）当时，解不等式；（2）求的取值范围，使得函数在上为单调函数讲解：（1）时，可化为：，等价于： 或 解得 ，解得 所以，原不等式的解集为 （2）任取，且，则要使函数在上为单调函数，需且只需：恒成立，（或恒成立）因此，只要求出在条件“，且”之下的最大、最小值即可为了探求这个代数式的最值，我们可以考虑极端情况，如：，容易知道，此时；若考虑，则不难看出，此时，至此我们可以看出：要使得函数为单调函数，只需事实上，当时，由于恒成立，所以，所以，在条件“，且”之下，必有：所以，在区间上单调递减当时，由（1）可以看出：特例的情况下，存在由此可以猜想：函数在区间上不是单调函数为了说明这一点，只需找到，使得即可简便起见，不妨取，此时，可求得，也即：，所以，在区间上不是单调函数另解：，对，易知：当时，；当时，；所以当时，从而只须，必有，函数在上单调递减。【例6】 已知f(x)是定义在1，1上的奇函数，且f(1)=1，若m、n1，1，m+n0时0.(1)用定义证明f(x)在1，1上是增函数；(2)解不等式：f(x+)f()；(3)若f(x)t22at+1对所有x1，1，a1，1恒成立，求实数t的取值范围.解：(1)证明：任取x1x2，且x1，x21，1，则f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=(x1x2)1x1x21，x1+(x2)0，由已知0，又 x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x)在1，1上为增函数.(2)解：f(x)在1，1上为增函数， 解得：x|x1，xR(3)解：由(1)可知f(x)在1，1上为增函数，且f(1)=1，故对x1，1，恒有f(x)1，所以要f(x)t22at+1对所有x1，1，a1，1恒成立，即要t22at+11成立，故t22at0，记g(a)=t22at，对a1，1，g(a)0，只需g(a)在1，1上的最小值大于等于0，g(1)0，g(1)0，解得，t2或t=0或t2.t的取值范围是：t|t2或t=0或t2.【例7】 给出一个不等式（xR）。经验证：当c=1, 2, 3时，对于x取一切实数，不等式都成立。试问：当c取任何正数时，不等式对任何实数x是否都成立？若能成立，请给出证明；若不成立，请求出c的取值范围，使不等式对任何实数x都能成立。解：令f(x)=，设u=(u) 则f(x)= (u)f(x) 要使不等式成立，即f(x)0u0 只须u10u2c1 u2 x2+cx2c 故当c=时，原不等式不是对一切实数x都成立，即原不等式对一切实数x不都成立 要使原不等式对一切实数x都成立，即使x2c对一切实数都成立。x20 故c0c1(c0) c1时，原不等式对一切实数x都能成立。【不等式的解法练习1】1不等式的解集是 （ D ） （A） （B） （C） （D）2当时，不等式恒成立，则 的取值范围是（ B ） （A） （B）（1，2） （C） （D）（0，1）3不等式成立的一个充分但不必要条件是 （ B ） （A） （B） （C） （D）4三个数的大小关系是 （ B ） （A） （B） （C） （D）5若全集是( B )ABCD6下列命题中，正确的是( C )A若B若C若D若7若是任意实数，且，则( D )ABCD8设，则下列四数中最大的是( A )ABCD9不等式恒成立，则的取值范围为( D )ABCD10不等式的解集是( B )ABCD11当 成立的充要条件是( C )ABCD12已知，那么的最小值是( B )A6BCD13不等式组的解集是( D )ABCD 14不等式的解集是( C )ABCD15的大小顺序是16若，则的取值范围是。17不等式的解集是18关于的不等式的解集是空集，那么的取值区间是0，419. 解不等式：解： a+a=(a2+)ax，变形原不等式，得 a (1) 当0 a 1时，a，则a2 ax a-2，-2 x 1时，a，则a-2 ax a2，-2x2 (3) 当a=1时，a，无解。 综上，当a1时，-2 x 2，当a=1时无解。20对于x，关于x的不等式0,a+x1,lg(a+x)0 有lg2axlg(a+x),2axa+x (2a-1)x时，x，由1x2时x2，a (2)a=时，有0x 1x2时不等式总成立 (3)0a，由1x2时x总成立，得a1，综合0a，得0a 综上，0a21、已知函数（1）求函数的定义域；（2）判断的单调性，并用函数单调性的定义予以证明解：（1）由或，故的定义域为（2）任取令，则=，故又函数在上是减函数，所以有，即，即在上是增函数22解不等式解：由且，得，原不等式等价于 而；整理，为所求。【不等式的解法练习2】一、选择题1设函数f(x)=，已知f(a)1，则a的取值范围是( )A.(，2)(，+)B.(，)C.(，2)(，1)D.(2，)(1，+)二、填空题2已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)0的解集是(a2，b)，g(x)0的解集是(，)，则f(x)g(x)0的解集是_.3已知关于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，则a的取值范围是_.三、解答题4已知适合不等式|x24x+p|+|x3|5的x的最大值为3.(1)求p的值；(2)若f(x)=，解关于x的不等式f-1(x)(kR+)5设f(x)=ax2+bx+c，若f(1)=，问是否存在a、b、cR，使得不等式：x2+f(x)2x2+2x+对一切实数x都成立，证明你的结论.6已知函数f(x)=x2+px+q，对于任意R，有f(sin)0，且f(sin+2)2.(1)求p、q之间的关系式；(2)求p的取值范围；(3)如果f(sin+2)的最大值是14，求p的值.并求此时f(sin)的最小值.7解不等式loga(1)18设函数f(x)=ax满足条件：当x(，0)时，f(x)1；当x(0，1时，不等式f(3mx1)f(1+mxx2)f(m+2)恒成立，求实数m的取值范围.不等式的解法练习2参考答案一、1.解析：由f(x)及f(a)1可得： 或 或 解得a2，解得a1，解得xa的取值范围是(，2)(，1）答案：C二、2.解析：由已知ba2f(x)，g(x)均为奇函数，f(x)0的解集是(b，a2)，g(x)0的解集是().由f(x)g(x)0可得： x(a2，)(，a2)答案：(a2，)(，a2)3.解析：原方程可化为cos2x2cosxa1=0，令t=cosx，得t22ta1=0，原问题转化为方程t22ta1=0在1，1上至少有一个实根.令f(t)=t22ta1，对称轴t=1，画图象分析可得解得a2，2.答案：2，2三、4.解：(1)适合不等式|x24x+p|+|x3|5的x的最大值为3，x30，|x3|=3x.若|x24x+p|=x2+4xp，则原不等式为x23x+p+20，其解集不可能为x|x3的子集，|x24x+p|=x24x+p.原不等式为x24x+p+3x0，即x25x+p20，令x25x+p2=(x3)(xm)，可得m=2，p=8.(2)f(x)=，f-1(x)=log8 (1x1，有log8log8，log8(1x)log8k，1xk，x1k.1x1，kR+，当0k2时，原不等式解集为x|1kx1；当k2时，原不等式的解集为x|1x1.5.解：由f(1)=得a+b+c=，令x2+=2x2+2x+xx=1，由f(x)2x2+2x+推得f(1).由f(x)x2+推得f(1)，f(1)=，ab+c=，故2(a+c)=5，a+c=且b=1，f(x)=ax2+x+(a).依题意：ax2+x+(a)x2+对一切xR成立，a1且=14(a1)(2a)0，得(2a3)20，f(x)=x2+x+1易验证：x2+x+12x2+2x+对xR都成立.存在实数a=，b=1，c=1，使得不等式：x2+f(x)2x2+2x+对一切xR都成立.6.解：(1)1sin1，1sin+23，即当x1，1时，f(x)0，当x1，3时，f(x)0，当x=1时f(x)=0.1+p+q=0，q=(1+p)(2)f(x)=x2+px(1+p)，当sin=1时f(1)0，1p1p0，p0(3)注意到f(x)在1，3上递增，x=3时f(x)有最大值.即9+3p+q=14，9+3p1p=14，p=3.此时，f(x)=x2+3x4，即求x1，1时f(x)的最小值.又f(x)=(x+)2，显然此函数在1，1上递增.当x=1时f(x)有最小值f(1)=134=6.7.解：(1)当a1时，原不等式等价于不等式组由此得1a.因为1a0，所以x0，x0.(2)当0a1时，原不等式等价于不等式组： 由 得x1或x0，由得0 x，1x.综上，当a1时，不等式的解集是x|x0，当0a1时，不等式的解集为x|1x.8.解：由已知得0a1，由f(3mx1)f(1+mxx2)f(m+2)，x(0，1恒成立.在x(0，1恒成立.整理，当x(0，1)时，恒成立，即当x(0，1时，恒成立，且x=1时，恒成立，在x(0，1上为增函数，m恒成立m0.又，在x(0，1上是减函数，1.m恒成立m1当x(0，1)时，恒成立m(1，0)当x=1时，即是m0、两式求交集m(1，0）,使x(0，1时，f(3mx1)f(1+mxx2)f(m+2)恒成立，m的取值范围是(1，0)