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第2讲小题考法圆锥曲线的性质一、主干知识要记牢圆锥曲线的定义、标准方程和性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF1|PF2|2a(2ab0)1(a0，b0)y22px(p0)图形几何性质轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率e (0e1)e1渐近线yx二、二级结论要用好1椭圆焦点三角形的3个规律设椭圆方程是1(ab0)，焦点F1(c,0)，F2(c，0)，点P是椭圆上一点且点P的坐标是(x0，y0)(1)三角形的三个边长是|PF1|aex0，|PF2|aex0，|F1F2|2c，e为椭圆的离心率(2)如果PF1F2中F1PF2，则这个三角形的面积SPF1F2c|y0|b2tan (3)椭圆的离心率e2双曲线焦点三角形的2个结论P(x0，y0)为双曲线1(a0，b0)上的点，PF1F2为焦点三角形(1)面积公式Sc|y0|r1r2sin (其中|PF1|r1，|PF2|r2，F1PF2)(2)焦半径若P在右支上，|PF1|ex0a，|PF2|ex0a；若P在左支上，|PF1|ex0a，|PF2|ex0a3抛物线y22px(p0)焦点弦AB的4个结论(1)xAxB；(2)yAyBp2；(3)|AB|(是直线AB的倾斜角)；(4)|AB|xAxBp4圆锥曲线的通径(1)椭圆通径长为；(2)双曲线通径长为；(3)抛物线通径长为2p5圆锥曲线中的最值(1)椭圆上两点间的最大距离为2a(长轴长)(2)双曲线上两点间的最小距离为2a(实轴长)(3)椭圆焦半径的取值范围为ac，ac，ac与ac分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离(4)抛物线上的点中顶点到抛物线准线的距离最短三、易错易混要明了1利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支2解决椭圆、双曲线、抛物线问题时，要注意其焦点的位置3直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式0的限制尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式0”；在解决交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“0”下进行考点一圆锥曲线的定义与标准方程求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，即指定类型，也就是确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2ax或x2ay(a0)，椭圆常设为mx2ny21(m0，n0)，双曲线常设为mx2ny21(mn0)1(2018邵阳模拟)设点P是双曲线y21上一点，A(0，2)，B(0,2)，|PA|PB|8，|PA|4，则|PB|(C)A2 BC3 D解析由于|PA|4, 所以|PB|4, 故|PA|PB|2a2，由于|PA|PB|8, 解得|PB|3, 故选C2(2018珠海模拟)已知双曲线M：1(a0，b0)，其焦点F(c,0)(c0)，右顶点A(a,0)到双曲线M的一条渐近线距离为，以点A为圆心，c为半径的圆在y轴所截弦长为8，则双曲线M的方程为(A)A1 B1Cx2y29 Dx2y216解析因为右顶点A(a，0)到双曲线M的一条渐近线距离为，所以.圆的方程为(xa)2y2c2，令x0得，yb，2b8.b4.又因为a2b2c2，c5，a3，故选A3(2018衡水中学押题卷)已知椭圆1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|PF2|2，则PF1F2的面积是_解析由椭圆的方程可知a2，c，且|PF1|PF2|2a4，又|PF1|PF2|2，所以|PF1|3，|PF2|1又|F1F2|2c2，所以有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即PF1F2为直角三角形，且PF2F1为直角，所以SPF1F2|F1F2|PF2|21考点二圆锥曲线的几何性质1椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得(2)用法：可得或的值；利用渐近线方程设所求双曲线的方程1(2018齐鲁名校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的上、下顶点分别为B1、B2，左顶点为A，左焦点为F，若直线AB1与直线B2F互相垂直，则椭圆的离心率为(C)A BC D解析依题意，直线AB1与直线B2F互相垂直，kAB1kB2F1，b2ac，a2c2ac，e2e10，e，故选C2(2018三湘教育联盟联考)已知P(，)为双曲线C：x21上一点，则点P到双曲线C的渐近线的距离为(B)A B或C D或解析由题意知，31解得b23，则双曲线C的渐近线方程为xy0，所以P(，)到xy0的距离为或，即或，故选B3(2018郴州二模)已知双曲线1的一个焦点在直线xy5上，则双曲线的渐近线方程为(B)Ayx ByxCyx Dyx解析根据题意，双曲线的方程为1，则其焦点在x轴上，直线xy5与x轴交点的坐标为(5,0)，则双曲线的焦点坐标为(5,0)，则有9m25，解可得，m16，则双曲线的方程为1，其渐近线方程为yx，故选B4(2018株洲二检)已知双曲线C：1的右焦点为F，其中一条渐近线与圆(xc)2y2a2(c2a2b2，c0)交于A，B两点，ABF为锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值范围是(D)AB(，)C(1，) D解析双曲线C：1的右焦点为F(c,0)，一条渐近线方程为bxay0，圆(xc)2y2a2(c2a2b2，c0)的圆心(c,0)，半径为a，渐近线与圆交于A，B两点，ABF为锐角三角形，可得：aa，可得a2b2a2，又c2a2b2，b2a2，可得c2a2可得e，由a2b2可得e.所以双曲线C的离心率的取值范围是.故选D考点三直线与圆锥曲线的位置关系及简单应用处理圆锥曲线与圆相结合问题的注意点(1)注意圆心、半径和平面几何知识的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等(2)注意圆与特殊线的位置关系，如圆的直径与椭圆长轴(短轴)，与双曲线的实轴(虚轴)的关系；圆与过定点的直线、双曲线的渐近线、抛物线的准线的位置关系等1(2018河南联考)已知直线ykxt与圆x2(y1)21相切且与抛物线C：x24y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是(A)A(，3)(0，) B(，2)(0，)C(3,0) D(2,0)解析因为直线与圆相切，所以1，即k2t22t.将直线方程代入抛物线方程并整理得x24kx4t0，于是16k216t16(t22t)16t0，解得t0或t3.故选A2经过椭圆y21的一个焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于A，B两点设O为坐标原点，则等于(B)A3 BC或3 D解析依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y0tan 45(x1)，即yx1，代入椭圆方程y21并整理得3x24x0，解得x0或x，所以两个交点坐标分别为(0，1)，同理，直线 l经过椭圆的左焦点时，也可得.故的值为3(2018湖北联考)抛物线y24x的焦点为F，直线yx与该抛物线交于O、A两点(O为坐标原点)，与抛物线的准线交于B点，直线AF与抛物线的另一交点为C，则cos ABC_解析A(4,4)，B(1，1)，AF：y(x1)，CABC，cos ABC4(2018唐山一模)已知P为抛物线y2x上异于原点O的点，PQx轴，垂足为Q，过PQ的中点作x轴的平行线交抛物线于点M，直线QM交y轴于点N，则_ _解析如图，设P(t2，t)，则Q(t2,0)，PQ中点H.M，直线MQ的方程为： y(xt2)，令x0，可得yN，则
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