75本征值与本征向量.ppt

一 内容分布7 5 1线性变换的本征值和本征向量的定义7 5 2本征值和本征向量的计算方法7 5 3与本征值和本征向量相关的几个问题二 教学目的1 理解本征值和本征向量的概念2 熟练掌握求线性变换 矩阵 的本征值和本征向量的方法三 重点难点线性变换 矩阵 的特征值和特征向量的求法 7 5本征值和本征向量 复习与引入 问题1 在向量空间V中 同一线性变换关于不同基的矩阵有什么关系 这种关系是如何刻划的 问题2 矩阵的这种相似关系对于我们研究线性变换有什么启发 问题3 线性变换关于向量空间V中某个基的矩阵为这种简单形式的矩阵 准对角矩阵或者甚至就是对角形 这与什么理论有关 你认为应该怎样选取这个基呢 即设dimV n L V 在什么条件下可找到V的一个基 使得 关于这个基的矩阵为对角形 要做到这一点 从上节最后的分析结果知道在于V能否分解为 的一维不变子空间的直和 我们将看到这不是总能办到的 因而只能从另外的方面讨论 显然 从解决的问题所满足的式子 给予我们一个重要启示 即研究线性变换 很重要的一点就是设法去寻找满足条件的数 和非零向量 这就是下面要介绍的线性变换的本征值和本征向量问题 值得一提的是 本征值 也叫特征值 本征向量 也叫特征向量 以后我们可以根据自己的喜好称呼它们 7 5 1特征值和特征向量的定义 定义1 设V是数域F上的向量空间 是V的一个线性变换 是F中的一个数 如果存在V中非零向量 使得 2 本征值和本征向量这两个概念是相互联系着的 它们的关系是 共生 有本征值必有本征向量 反过来 本征向量是相对于某一本征值而言的 Note 1 本征向量必须是一个非零向量 例题 P290 例1 2 3 略 4 在关系式中 尽管对于任意 都成立 但此时的却不是特征向量 因而要把它除外 3 的本征值必须属于数域F 讨论的范围 基础域 否则无意义 5 特征值 特征向量与一维不变子空间有密切联系 6 一个线性变换的本征值不唯一 且属于同一本征值的本征向量亦不唯一 例2 例1 7 同一个线性变换的不同本征值的本征向量不同 8 并不是每个线性变换都有特征值 例3 7 5 2寻求特征值和特征向量的方法 设 V F dimV n 是V的基 关于这个基的矩阵是 或 由于 所以齐次线性方程组 必有非零解 因而 由此可求特征值 对于行列式 我们给出 定义2 设 由此可求属于的特征向量 则行列式 由于同一个线性变换关于向量空间 中不同基的矩阵是相似的 我们自然要问 相似矩阵是否具有相同的特征值呢 定理7 5 1相似矩阵具有相同的特征多项式 因而具有相同的特征值 证明 令 是线性变换关于 中不同基的矩阵 则 存在可逆矩阵 使 从而 由于矩阵A是线性变换关于向量空间 中基的矩阵 因此 矩阵 的特征多项式就是线性变换的特征多项式 记为 即 于是又有 定理7 5 2设 是 的一个特征值的充要条件是是的特征多项式的一个根 小结 求线性变换的特征值和特征向量的方法 解 对于 有齐次线性方程组 由于 该齐次组的所有解为 因此 属于特征1的特征向量是 对于 有齐次线性方程组 由于 该齐次组的所有解为 因此 属于特征 1的特征向量是