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课时分层作业(六)函数的极值与导数(建议用时：40分钟)基础达标练一、选择题1函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f(x)在(a，b)内的图象如图1310所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有()图1310A1个B2个C3个D4个B依题意，记函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当axx1时，f(x)0；当x1xx2时，f(x)0；当x2xx4时，f(x)0；当x4xb时，f(x)0.因此，函数f(x)分别在xx1，xx4处取得极大值，选B.2函数yx33x29x(2x2)有() 【导学号：31062053】A极大值5，极小值27B极大值5，极小值11C极大值5，无极小值D极小值27，无极大值C由y3x26x90，得x1或x3.当x1或x3时，y0；由1x3时，y0.当x1时，函数有极大值5；3(2,2)，故无极小值3已知a是函数f(x)x312x的极小值点，则a()A4B2C4D2Df(x)x312x，f(x)3x212，令f(x)0，则x12，x22.当x(，2)，(2，)时，f(x)0，则f(x)单调递增；当x(2,2)时，f(x)0，则f(x)单调递减，f(x)的极小值点为a2.4当x1时，三次函数有极大值4，当x3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是()Ayx36x29xByx36x29xCyx36x29xDyx36x29xB三次函数过原点，故可设为yx3bx2cx，y3x22bxc.又x1,3是y0的两个根，即yx36x29x，又y3x212x93(x1)(x3)当x1时，f(x)极大值4 ，当x3时，f(x)极小值0，满足条件，故选B.5函数f(x)x33bx3b在(0,1)内有且只有一个极小值，则() 【导学号：31062054】A0b1Bb0DbAf(x)3x23b，要使f(x)在(0,1)内有极小值，则即解得0b1.二、填空题6已知曲线f(x)x3ax2bx1在点(1，f(1)处的切线斜率为3，且x是yf(x)的极值点，则ab_.解析f(x)3x22axb，即解得a2，b4，ab242.答案27设aR，若函数yexax(xR)有大于零的极值点，则a的取值范围为_. 【导学号：31062055】解析yexax，yexa，令yexa0，则exa，即xln(a)，又x0，a1，即a1.答案(，1)8若直线ya与函数f(x)x33x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是_解析令f(x)3x230，得x1，则极大值为f(1)2，极小值为f(1)2.如图，观察得2a2时恰有三个不同的公共点答案(2,2)三、解答题9已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1处取得极值，且f(1)1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由. 【导学号：31062056】解f(x)3ax2 2bxc，(1)法一：x1是函数的极值点，x1是方程3ax22bxc0的两根由根与系数的关系知又f(1)1，abc1，由解得a，b0，c.法二：由f(1)f(1)0，得3a2bc0，3a2bc0，又f(1)1，abc1，由解得a，b0，c.(2)f(x)x3x，f(x)x2(x1)(x1)当x1或x1时f(x)0，当1x1时，f(x)0.函数f(x)在(，1)和(1，)上是增函数，在(1,1)上是减函数当x1时，函数取得极大值，x1为极大值点；当x1时，函数取得极小值，x1为极小值点10设f(x)aln xx1，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值解(1)因为f(x)aln xx1，故f(x).由于曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f(1)0，从而a0，解得a1.(2)由(1)知f(x)ln xx1(x0)，f(x).令f(x)0，解得x11，x2因x2不在定义域内，舍去当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x(1，)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数故f(x)在x1处取得极小值，且f(1)3.能力提升练1已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极大值10，则的值为()AB2C2或D不存在Af(x)3x22axb且f(x)在x1处取得极大值10，f(1)32ab0，f(1)1aba27a10，a28a120，a2，b1或a6，b9.当a2，b1时，f(x)3x24x1(3x1)(x1)当x1时，f(x)0，当x1时，f(x)0，f(x)在x1处取得极小值，与题意不符当a6，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)；当x1时，f(x)0，当1x3时，f(x)0，f(x)在x1处取得极大值，符合题意；.2设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图1311所示，则下列结论中一定成立的是()图1311A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D由图可知，当x2时，f(x)0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.由此可以得到函数在x2处取得极大值，在x2处取得极小值3函数yxex在其极值点处的切线方程为_解析由题知yexxex，令y0，解得x1，代入函数解析式可得极值点的坐标为，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故方程为y.答案y4若函数f(x)x3x2ax4在区间(1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为_. 【导学号：31062057】解析f(x)3x22xa，函数f(x)在区间(1,1)上恰有一个极值点，即f(x)0在(1,1)内恰有一个根又函数f(x)3x22xa的对称轴为x.应满足1a5.答案1,5)5设a为实数，函数f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点？解(1)f(x)3x22x1.令f(x)0，则x或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值是fa，极小值是f(1)a1.(2)函数f(x)x3x2xa(x1)2(x1)a1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)0，x取足够小的负数时，有f(x)0，所以曲线yf(x)与x轴至少有一个交点由(1)知f(x)极大值fa，f(x)极小值f(1)a1.曲线yf(x)与x轴仅有一个交点，f(x)极大值0或f(x)极小值0，即a0或a10，a或a1，当a(1，)时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点
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