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专题能力提升练 七 三角恒等变换与解三角形(45分钟80分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.3cos 15-4sin215cos 15=()A.12B.22C.1D.2【解析】选D.3cos 15-4sin215cos 15=3cos 15-2sin 152sin 15cos 15=3cos 15-2sin 15sin 30=3cos 15-sin 15=2cos(15+30)=2.2.(2018永州二模)已知ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若csinB+bsinC =2a,则ABC是()A.等边三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形【解析】选C.因为csinB+bsinC=2a,所以由正弦定理可得,sinCsinB+sinBsinC=2sin A2sinCsinBsinBsinC=2,所以sin A=1,当sinCsinB=sinBsinC时,“=”成立,所以A=2,b=c,所以ABC是等腰直角三角形.3.(2018全国卷)在ABC中,cos C2=55,BC=1,AC=5,则AB=()A.42B.30C.29D.25【解析】选A.cos C=2cos2C2-1=2552-1=-35,在ABC中,由余弦定理AB2=CA2+CB2-2CACBcos C,得AB2=25+1-215-35=32,所以AB=42.4.若向量a=tan67.5,1cos157.5,向量b=(1,sin 22.5),则ab=()A.2B.-2C.2D.-2【解析】选A.由题得ab=tan 67.5+sin22.5cos157.5=tan 67.5+sin22.5-cos22.5=tan 67.5-tan 22.5=tan 67.5-1tan67.5=tan267.5-1tan67.5=2tan267.5-12tan67.5=2-1tan135=2.【加固训练】(2018会宁一中一模)已知x为锐角,a-cosxsinx=3,则a的取值范围为()A.-2,2B.(1,3)C.(1,2D.(1,2)【解析】选C.由a-cosxsinx=3,可得:a=3sin x+cos x=2sinx+6,又x0,2,所以x+66,23,所以a的取值范围为(1,2.5.在锐角ABC中,A=2B,则ABAC的取值范围是()A.(-1,3)B.(1,3)C.(2,3)D.(1,2)【解析】选D.ABAC=sinCsinB=sin(-3B)sinB=sin3BsinB=3-4sin2B.因为ABC是锐角三角形,所以0B2,02B2,0-(2B+B)2,得6B4sin2B14,12.所以ABAC=3-4sin2B(1,2).6.(2018全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为a2+b2-c24,则C=()A.2B.3C.4D.6【解析】选C.由题意SABC=12absin C=a2+b2-c24,即sin C=a2+b2-c22ab,由余弦定理可知sin C=cos C,即tan C=1,又C(0,),所以C=4.【加固训练】(2018濮阳一模) 已知ABC中,sin A,sin B,sin C成等比数列,则sin2BsinB+cosB的取值范围是()A.-,22B.0,22C.(-1,2D.0,3-32【解析】选B.由已知可知sin2B=sin Asin C,即b2=ac,cos B=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac2ac-ac2ac=12,即0B3,sin B+cos B=2sinB+4(1,2,原式=2sinBcosBsinB+cosB=(sinB+cosB)2-1sinB+cosB,设t=sin B+cos B,即原式=t2-1t=t-1t(11)米,AC=t(t0)米,依题设AB=AC-0.5=(t-0.5)米,在ABC中,由余弦定理得: AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 60,即(t-0.5)2=t2+x2-tx,化简并整理得:t=x2-0.25x-1(x1),即t=x-1+0.75x-1+2,因为x1,故t=x-1+0.75x-1+22+3,当且仅当x=1+32时取等号,此时取最小值2+3.答案:2+3三、解答题(每小题10分,共40分)9.(2018全国卷)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB.(2)若DC=22,求BC.【解析】(1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsinADB.由题设知,5sin45=2sinADB,所以sinADB=25.由题意知,ADB90,所以cosADB=1-225=235.(2)由题意及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25.所以BC=5.10.如图,在ABC中,AB=2,cos B=13,点D在线段BC上.(1)若ADC=34,求AD的长.(2)若BD=2DC,ACD的面积为423,求sinBADsinCAD的值.【解题指南】(1)首先利用同角三角函数间的基本关系求得sin B的值,然后利用正弦定理即可求得AD的长.(2)首先利用三角形面积间的关系求得SABC,然后利用三角形面积公式结合余弦定理即可求得sinBADsinCAD的值.【解析】(1)在三角形中,因为cos B=13,所以sin B=223,在ABD中,由正弦定理得ABsinADB=ADsinB,又AB=2,ADB=4,sin B=223.所以AD=83.(2)因为BD=2DC,所以SABD=2SADC,SABC=3SADC,又SADC=432,所以SABC=42,因为SABC=12ABBCsinABC,所以BC=6,因为SABD=12ABADsinBAD,SADC=12ACADsinCAD,SABD=2SADC,所以sinBADsinCAD=2ACAB,在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC.所以AC=42,所以sinBADsinCAD=2ACAB=42.11.已知函数f(x)=23sin xcos x+2cos2x-1(xR).(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间0,2上的最大值和最小值.(2)若f(x0)=65,x04,2,求cos 2x0的值.【解析】(1)f(x)=23sin xcos x+2cos2x-1=3(2sin xcos x)+(2cos2x-1)=3sin 2x+cos 2x=2sin2x+6,所以函数f(x)的最小正周期为;因为x0,2,所以2x+66,76,sin2x+6-12,1,所以函数f(x)=2sin2x+6在区间0,2上的最大值为2,最小值为-1.(2)由(1)可知f(x0)=2sin2x0+6,又因为f(x0)=65,所以sin2x0+6=35,由x04,2,得2x0+623,76,从而cos2x0+6=-1-sin22x0+6=-45,所以cos 2x0=cos2x0+6-6=cos2x0+6cos 6+sin2x0+6sin 6=3-431012.在ABC中,D是边BC上的点,AB=AD=7,cosBAD=17.(1)求sin B.(2)若AC=4,求ADC的面积.【解题指南】(1)直接利用余弦定理和正弦定理求出结果.(2)利用(1)的结论和余弦定理求出三角形的面积.【解析】(1)在ABD中,BD2=AB2+AD2-2ABADcosBAD=7+7-27717=12,得BD=23.由cosBAD=17,得sinBAD=437,在ABD中,由正弦定理得ADsinB=BDsinBAD,所以sin B=723437=277.(2)因为sin B=277,B是锐角,所以cos B=217,设BC=x,在ABC中,AB2+BC2-2ABBCcos B=AC2,即7+x2-2x7217=16,化简得:x2-23x-9=0,解得x=33或x=-3(舍去),则CD=BC-BD=33-23=3,由ADC和ADB互补,得sinADC=sinADB=sin B=277,所以ADC的面积S=12ADDCsinADC=1273277=3.【加固训练】(2018肇庆二模)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ABC的面积为acsin 2B.(1)求sin B的值.(2)若c=5,3sin2C=5sin2Bsin2A,且BC的中点为D,求ABD的周长.【解析】(1)由SABC=12acsin B=acsin 2B,得12sin B=2sin Bcos B,因为0B0,故cos B=14,又sin2B+cos2B=1,所以sin B=154.(2)由(1)和3sin2C=5sin2Bsin2A得16sin2C=25sin2A,由正弦定理得16c2=25a2,因为c=5,所以a=4,BD=12a=2,在ABD中,由余弦定理得:AD2=c2+BD2-2cBDcos B=52+22-25214=24,所以AD=26.所以ABD的周长为c+BD+AD=7+26.(建议用时:50分钟)1.(2018石家庄一模)南宋数学家秦九韶早在数书九章中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式:“以小斜幂并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减之,以四约之,为实,一为从隅,开方得积.”(即:S=14c2a2-c2+a2-b222,cba),并举例“问沙田一段,有三斜(边),其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,欲知为田几何?”则该三角形田面积为()A.82平方里B.83平方里C.84平方里D.85平方里【解析】选C.由题意可得:a=13,b=14,c=15代入:S=14c2a2-c2+a2-b222=14152132-152+132-14222=84,则该三角形田面积为84平方里.2.已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2sinA2-6=1,且a=2,则ABC的面积的最大值为()A.3B.33C.32D.23【解析】选B.sinA2-6=12,A2-6=6,A=23,由于a=2为定值,由余弦定理得4=b2+c2-2bccos 23,即4=b2+c2+bc.根据基本不等式得4=b2+c2+bc2bc+bc=3bc,即bc43,当且仅当b=c时,等号成立.S=12bcsin A124332=33.3.在ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,sin Acos B-(c-cos A)sin B=0,则边b=_.【解析】 由sin Acos B-(c-cos A)sin B=0,得sin Acos B+cos Asin B=csin B,所以sin C=csin B,即sinCc=sin B,由正弦定理sinBb=sinCc,故b=csinBsinC=1.答案:14.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,设ABC的面积为S,若3a2=2b2+c2,则Sb2+2c2的最大值为_.【解析】因为3a2=2b2+c2,所以3a2=3b2-b2+3c2-2c2,所以b2+2c2=3(b2+c2-a2)=6bccos A,所以Sb2+2c2=12bcsinA6bccosA=112tan A.由题得a2=2b2+c23,所以 cos A=b2+c2-a22bc=b2+c2-2b2+c232bc=b2+2c26bc22bc6bc=23,所以tan A=1cos2A-192-1=142,当且仅当b=2c时取等号.所以Sb2+2c2的最大值为1424.答案:1424【加固训练】(2018衡水中学模拟)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,(b2+c2-3)tan A=3bc,2cos2A+B2=(2-1)cos C,则ABC的面积等于_.【解析】条件(b2+c2-3)tan A=3bc即为(b2+c2-a2)tan A=3bc,由余弦定理得2bccos Atan A=3bc,所以得sin A=32,又A为锐角,所以A=3.又2cos2A+B2=1+cos(A+B)=1-cos C=(2-1)cos C,所以cos C=22,得C=4,故B=512.在ABC中,由正弦定理得asinA=csinC,所以c=asinCsinA=32232=2.故ABC的面积S=12acsin B=1232sin 512=3+34.答案:3+345.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(b-c)2=a2-32bc.(1)求sin A.(2)若a=2,且sin B,sin A,sin C成等差数列,求ABC的面积.【解析】(1)由(b-c)2=a2-32bc,得b2+c2-a2=12bc,即b2+c2-a22bc=14,由余弦定理得cos A=14,因为0A,所以sin A=154.(2)由sin B,sin A,sin C成等差数列,得sin B+sin C=2sin A,由正弦定理得b+c=2a=4,所以16=(b+c)2,所以16=b2+c2+2bc.由(1)得16=a2+52bc,所以16=4+52bc,解得bc=245,所以SABC=12bcsin A=12245154=3155.6.(2018太原一模)ABC的内角为A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acosCsinB =bsinB+ccosC.(1)求sin(A+B)+sin Acos A+cos(A-B)的最大值.(2)若b=2,当ABC的面积最大时,求ABC的周长.【解题指南】(1)先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系,再根据三角公式转化为二次函数求解.(2)根据余弦定理利用基本不等式求解.【解析】(1)由acosCsinB=bsinB+ccosC得:acosCsinB=bcosC+csinBsinBcosC,a=bcos C+csin B,即sin A=sin Bcos C+sin Csin B,所以cos B=sin B,B=4;由sin(A+B)+sin Acos A+cos(A-B)=2(sin A+cos A)+sin Acos A,令t=sin A+cos A,原式=12t2+2t-12,当且仅当A=4时,上式取最大值,最大值为52.(2)S=12acsin B=24ac,b2=a2+c2-2accos B,即2=a2+c2-2ac(2-2)ac,ac2+2,当且仅当a=c=2+2等号成立;Smax=2+12,周长L=a+b+c=22+2+2.7.(2018唐山二模) 如图,在平面四边形ABCD中,AB=23,AC=2,ADC=CAB=90,设DAC=.(1)若=60,求BD 的长度;(2)若ADB=30,求tan .【解题指南】(1)在ABD中,利用余弦定理直接求出BD.(2)在ABD中,写出正弦定理再化简即得解.【解析】(1)由题意可知,AD=1.在ABD中,DAB=150,AB=23,AD=1,由余弦定理可知,BD2=(23)2+12-2231-32=19,BD=19.(2)由题意可知,AD=2cos ,ABD=60-,在ABD中,由正弦定理可知,ADsinABD=ABsinADB,所以2cossin(60-)=43,所以tan =233.
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