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内蒙古呼和浩特市2019届高三（上）期中考试数学试卷（文科）一、选择题。1.已知集合A3，1，2，若ABB，则实数的取值集合是 A. B. C. ， D. ，1，【答案】C【解析】【分析】由ABB得BA，得a2或3【详解】ABB，BA，a2或3实数a的取值集合是2，3故选：C【点睛】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，属于基础题2.已知复数，其中，为虚数单位， 且，则 A. 25 B. 1 C. 3 D. 5【答案】A【解析】【分析】由商的模等于模的商求解b的值【详解】由z=bi4+3i，得|z|=|bi|4+3i|=5，即|b|5=5，得b25故选：A【点睛】本题考查复数模的求法，是基础题3.如果函数y=f(x)的图象如图，那么导函数y=f(x)的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由y=f（x）的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正负正负，故选A考点：导数的运用点评：主要是考查了导数的正负决定函数的单调性，属于基础题4.如果为锐角，sin=45，那么sin2的值等于 A. 2425 B. 1225 C. 1225 D. 2425【答案】A【解析】【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos的值，进而利用二倍角的正弦函数公式可求sin2的值【详解】为锐角，sin=45，cos=1-sin2=35，sin22sincos24535=2425故选：A【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题5.已知f(x)=ax2，g(x)=loga|x|(a0且a1)，若（5）g(5)0，则y=f(x)，y=g(x)在同一坐标系内的大致图象是( A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过计算f（5）g（5）0，可得0a1，则yax，ylogax均为减函数，结合yf（x）的图象是将yax的图象向右平移2个单位，而yg（x）的图象关于y轴对称，且在x（0，+）上单调递减可得解.【详解】因为f（5）g（5）0，得：a3loga50，又a0，所以a30，所以loga50，即0a1，yf（x）的图象是将yax的图象向右平移2个单位，且过点（2，1），单调递减，yg（x）的图象关于y轴对称，在x（0，+）上，函数单调递减，且过点（1，0）故选：B【点睛】本题考查了函数图象的平移及偶函数图象的对称性，属于简单题6.在等差数列an中，a1+a2=1，a2018+a2019=3，Sn是数列an的前n项和， 则S2019=( A. 4036 B. 4038 C. 2019 D. 2009【答案】C【解析】【分析】直接利用等差数列的性质及前n项和公式求出结果即可【详解】等差数列an中，a1+a21，a2018+a20193，所以：a1+a2019a2+a20182，所以：S2019=2019(a1+a2019)2=2019故选：C【点睛】本题考查了等差数列的性质及前n项和公式的应用，主要考查学生的转化能力，属于基础题.7.设e1，e2为单位向量， 且e1，e2的夹角为3，若a=e1+3e2，b=2e1，则向量在b方向上的投影为 A. 12 B. 52 C. 32 D. 2【答案】B【解析】【分析】由题意可求，e1e2，然后求出ab，进而求解向量a在b方向上的投影为ab|b|【详解】由题意可得，e1e2=|e1|e2|cos13=12，a=e1+3e2，b=2e1，ab=（e1+3e2）（2e1）=2e12+6e1e2=5，|b|2，则向量a在b方向上的投影为ab|b|=52故选：B【点睛】本题主要考查了向量数量积的性质及向量投影定义的简单应用，属于基础题8.对函数f(x)=ax2+bx+c(a0，b、cR)作x=h(t)的代换， 使得代换前后f(x)的值域总不改变的代换是( A. h(t)=2t B. h(t)=t21C. h(t)=lgt D. h(t)=tant，0t0，则p:x0R，x02+x0+10D. “x23x+2=0”是“x=1”的充分不必要条件个【答案】D【解析】【分析】由复合命题的真值表即可判断A；由原命题的逆否命题的真假，可判断B；由全称命题的否定为特称命题，可判断C；由二次方程的解法，结合充分必要条件的定义可判断D【详解】若命题p为真命题，命题q为假命题，则q为真命题，命题“p（q）”为真命题，故A正确；命题“若x+y5，则x2或y3”的逆否命题为“若x2且y3，则x+y5”为真命题，可得原命题为真命题，故B正确；命题p：xR，x2+x+10，则p：x0R，x02+x0+10，故C正确；“x1”可推得“x23x+20”，反之不成立，“x23x+20”是“x1”的必要不充分条件，故D错误故选：D【点睛】本题考查复合命题的真假、四种命题的关系和命题的否定、充分必要条件的判断，考查判断能力和推理能力，属于基础题11.函数f(x)=2sin(x+)(0，|2)，若xR，使f(x+2)f(x)=4成立， 则的最小值是 A. 2 B. C. 4 D. 34【答案】A【解析】【分析】化简等式可得sin（x+2+）sin（x+）2，由正弦函数的性质求得（k1k2）-2，k1，k2Z，结合范围0求得的最小值【详解】函数f（x）2sin（x+）（0，|2），xR，使f（x+2）f（x）4成立，即xR，使2sin（x+2）+2sin（x+）4成立，即sin（x+2+）sin（x+）2，xR，使x+2+2k1+2，x+2k2+32，kZ，解得：k1k2-2，k1，k2Z，又0，的最小值是2故选：A【点睛】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用，属于中档题12.已知方程lnx+1=2ax有且只有两个解x1，x2(x1x2)，则以下判断正确的是 A. x112ax21 B. 1x1x212aC. x11x212a D. x1112ax2【答案】D【解析】【分析】由题意知函数f（x）lnx2ax+1的图象与x轴有两个交点，设f（x）lnx2ax+1，由导数的运算得：a0且f（x）在区间（0，12a）为增函数，在区间（12a，+）为减函数，由图象知f（x）maxf（12a）ln2a0，结合f（1）12a0，得到选项.【详解】设f（x）lnx2ax+1，则f（x）=1x-2a，当a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）为增函数，显然不满足题意当a0时，由0x12a时，f（x）0，由x12a时，f（x）0，得f（x）在区间（0，12a）为增函数，在区间（12a，+）为减函数，即f（x）maxf（12a）ln2a，由方程lnx+12ax有且只有两个解x1，x2（x1x2），即f（x）lnx2ax+1的图象与x轴有两个交点，即-ln2a0x112ax2，即x112ax2且02a1，又f（1）12a0，由零点定理可得，x1112a结合得：x1112ax2，故选：D【点睛】本题考查了方程与函数的相互转化，利用导数研究函数的图象及极值，属于中档题.二、填空题.把正确答案填在答题卡的相应位置.13.已知函数f(x)=x3x，则曲线y=f(x)点(2，（2）处的切线方程为_【答案】y=74x3【解析】【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线方程【详解】函数f（x）x-3x的导数为f（x）1+3x2，可得曲线在x2处切线的斜率为k1+34=74，又f（2）2-32=12，可得曲线在x2处切线方程为y-12=74（x2），化为y=74x3故答案为：y=74x3【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，属于基础题14.已知数列an满足a1=1，an+1=2n+an，则数列an的通项公式an=_【答案】2n1【解析】【分析】分别求出a221+a1，a322+a2，an2n1+an1，累加即可【详解】a11，an+12n+an，a221+a1，a322+a2，a423+a3，an2n1+an1，等式两边分别累加得：ana1+21+22+2n12n1，故答案为：2n1【点睛】本题考查了求数列的通项公式问题，考查等比数列的性质以及转化思想，属于基础题15.已知|a|=|b|=2，ab=0，若向量满足|cba|=1，则|c|的取值范围为_【答案】1,3【解析】【分析】由题意可设a=（2，0），b=（0，2），c=（x，y），然后由已知，结合向量数量积的坐标表示可求c的坐标满足的方程，结合圆的性质可求【详解】由|a|b|=2，ab=0，可设a=（2，0），b=（0，2），c=（x，y），c-b-a=（x-2，y-2），向量c满足|c-b-a|1，(x-2)2+(y-2)2=1，而|c|=x2+y2的几何意义是圆(x-2)2+(y-2)2=1上一点到原点的距离，(x-2)2+(y-2)2=1的圆心C（2，2）到原点（0，0）的距离2，根据圆的性质可知，21|c|2+1，即1|c|3，故答案为：1，3【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示，考查了圆的性质，属于综合题16.已知函数f(x)与f(x1)都是定义在R上的奇函数， 当0x1时，f(x)=log2x，则f(94)+f（4）的值为_【答案】2【解析】【分析】根据题意，由f（x1）是定义在R上的奇函数可得f（x）f（2x），结合函数为奇函数，分析可得f（x）f（x2），则函数是周期为2的周期函数，据此可得f（-94）f（-14）f（14），结合函数的解析式可得f（-94）的值，结合函数的奇偶性与周期性可得f（0）的值，相加即可得答案【详解】根据题意，f（x1）是定义在R上的奇函数，则f（x）的图象关于点（1，0）对称，则有f（x）f（2x），又由f（x）也R上的为奇函数，则f（x）f（x），且f（0）0；则有f（2x）f（x），即f（x）f（x2），则函数是周期为2的周期函数，则f（-94）f（-14）f（14），又由f（14）log2（14）2，则f（-94）2，f（4）f（0）0，故f（-94）+f（4）2+02；故答案为：2【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的对称性的判定，属于难题.三、解答题（解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。）17.已知数列an是等差数列，且a8=1，S16=24（） 求数列an的通项公式an；（）若数列bn是递增的等比数列且b1+b4=9，b2b3=8，求(a1+b1)+(a3+b3)+(a5+b5)+(a2n1+b2n1)【答案】（）an=n7 （）n27n+4n13【解析】【分析】（）由已知可得a1+7d=12a1+15d=3，即可求出数列an的通项公式an；（）由已知可得b1+b4=9b1b4=b2b3=8 可得bn2n1，再分组求和即可【详解】（）有已知得：a1+7d=12a2+15d=3 a1=-6,d=1 ，an=-6+n-11=n-7.（）由已知得：b1+b4=9b1b4=8 ,又bn是递增的等比数列，故解得：b1=1,b4=8,q=2,bn=2n-1,(a1+b1)+(a3+b3)+(a5+b5)+(a2n-1+b2n-1)=a1+a3+a2n-1+b1+b3+b2n-1 =-6-4-2+2n-8+1+4+16+4n-1=n-6+2n-82+1-4n1-4=n2-7n+4n-13.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.在四边形ABCD中，AD/BC，AB=3，A=120，BD=3（1）求AD的长；（2）若BCD=105，求四边形ABCD的面积【答案】（1）3 (2) 12394【解析】【分析】（1）由余弦定理得能求出AD的长（2）由正弦定理得BCsin45=DCsin30=3sin105，从而BC33-3，DC=36-322，过A作AEBD，交BD于E，过C作CFBD，交BD于F，则可求AE=32，CF=33-32，四边形ABCD的面积：SSABD+SBDC=12BD(AE+CF)，由此能求出结果【详解】（1）在四边形ABCD中，ADBC，AB=3，A120，BD3由余弦定理得：cos120=3+AD2-923AD，解得AD=3（舍去AD23），AD的长为3（2）ADBC，AB=3，A120，BD3，AD=3，BCD105，DBC30，BDC45，BCsin45=DCsin30=3sin105，解得BC33-3，DC=36-322，如图，过A作AEBD，交BD于E，过C作CFBD，交BD于F，则AE=12AB=32，CF=12BC=33-32，四边形ABCD的面积：SSABD+SBDC=12BD(AE+CF)=123(32+33-32) =123-94【点睛】本题考查三角形的边长的求法，考查四边形的面积的求法，考查余弦定理、正弦定理、三角形性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题19.某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量，y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y=abx+c(a、b、为常数）已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？说明理由【答案】见解析【解析】【分析】先设二次函数为ypx2+qx+r由已知得出关于a，b，c的方程组，从而求得其解析式，得出x4时的函数值；又对函数yabx+c由已知得出a，b，c的方程，得出其函数式，最后求得x4时的函数值，最后根据四月份的实际产量决定选择哪一个函数式较好【详解】设二次函数为y=px2+qx+r由已知得p+q+r=14p+2q+r=1.29p+3q+r=1.3，解之得p=-0.06q=0.35r=0.7，所以y=-5x2+0.35x+0.7 ，当x=4时，y1=-0.0542+0.354+0.7=1.3 ，又对函数y=abx+c由已知得ab+c=1ab2+c=1.2ab3+c=1.3 ，解之得a=-0.8b=0.5c=1.4，y=-0.812x+1.4 ，当x=4时，y=-0.8124+1.4=1.35 .根据四月份的实际产量为1.37万元，而y2-1.37=0.020.07=y1-1.37,所以函数y=-4512x+75作模拟函数较好.【点睛】考查了根据实际问题选择函数类型，考查了求函数的解析式及比较优劣等问题，考查了建模思想，属于中等题型20.已知函数f(x)=2cosxsin(x-3)+32（） 求曲线y=f(x)相邻两个对称中心之间的距离；（） 若函数f(x)在0，m上单调递增， 求m的最大值 【答案】（）2（）512【解析】【分析】（）将f（x）化简得f（x）sin（2x-3），其相邻两个对称中心之间的距离是半个周期，即可得解；（）因为x0，m，所以2x-3-3，2m-3，再根据-3，2m-3-2，2列式可得m的范围，进而得解.【详解】（）f（x）2cosx（12sinx-32cosx）+32sinxcosx-3cos2x+32=12sin2x-31+cos2x2+32sin（2x-3），所以函数f（x）的最小正周期T=22=所以曲线yf（x）的相邻两个对称中心之间的距离为T2，即2（）由（）可知f（x）sin（2x-3），当x0，m时，2x-3-3，2m-3，因为ysinx在-2，2上单调递增，且f（x）在0，m上单调递增，所以2x-3-3，2m-3-2，2，即m02m-32，解得0m512，故m的最大值为512【点睛】本题考查了三角函数中的恒等变换及辅助角的应用，考查了正弦型函数的性质及最值问题，属于中档题21.已知函数f(x)=a(x1)2+(x2)ex（）当a=1时，求函数f(x)在x2，2上的最大值；（）讨论函数f(x)的零点的个数【答案】（）f（x）max94e-2.（）见解析【解析】【分析】（）a1时，f（x）（x1）2+（x2）ex，可得f（x）（x1）（ex+2），利用导数研究函数的单调性即可得出最值（）令a（x1）2+（x2）ex0，则a（x1）2（2x）ex，讨论f（x）a（x1）2+（x2）ex的零点个数，即转化为讨论函数ya（x1）2与函数g（x）（2x）ex的图象交点个数画出函数g（x）（2x）ex的图象大致如图对a分类讨论即可得出a0时，f（x）a（x1）2+（x2）ex有两个零点，当a0时，对a分类讨论研究f(x)的图象的变化趋势得出结论.【详解】（）a1时，f（x）（x1）2+（x2）ex，可得f（x）2（x1）+（x1）ex（x1）（ex+2），由f（x）0，可得x1；由f（x）0，可得x1，即有f（x）在（，1）递减；在（1，+）递增，所以f（x）在2，1单调递减，在1，2上单调递增，所以f（x）minf（1）e，又f（2）94e-2f（2）1所以f（x）max94e-2.（）讨论f（x）a（x1）2+（x2）ex的零点个数，令a（x1）2+（x2）ex0，则a（x1）2（2x）ex,转化为讨论函数ya（x1）2与g（x）（2x）ex的图象交点个数，由g（x）（2x）ex，可得g（x）（1x）ex由单调性可得：g（x）图象大致如右图：所以当a=0时，ya（x1）2=0与g（x）（2x）ex图象只有一个交点，a0时，ya（x1）2与函数g（x）（2x）ex有两个交点，当a0时，f（x）2a（x1）+（x1）ex（x1）（ex+2a），当a=-e2时，f（x）0恒成立，f（x）在（，+）递增，又f（1）=-e0，此时f（x）a（x1）2+（x2）ex有一个零点.当a-e2时，f（x）0的两根为1，ln(-2a),当1ln(-2a)时，f（x）在（，1）递增；在（1，ln(-2a)）上递减，在（ln(-2a)，+）递增，又f（1）=-e0,又存在x1=2-a+a2+42,使x2+(a-2)x-a=0,x2+(a-2)x-ax=0,而x2+(a-2)x-ax=ax(x-1)+x2(x-2)0,此时f（x）a（x1）2+（x2）ex有一个零点.当1ln(-2a)时，f（x）在（， ln(-2a)）递增；在（ln(-2a),1）上递减，在（1，+）递增，又f(ln(-2a)= a(ln(-2a)12-2a(ln(-2a)2=aln2(-2a)-4(ln(-2a)+50,又f（1）=-e0,所以此时f（x）a（x1）2+（x2）ex有一个零点.综上当a0时，f（x）a（x1）2+（x2）ex有两个零点a0时，f（x）a（x1）2+（x2）ex有一个零点.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、数形结合方法、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题22.在直角坐标系xOy中，以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为sin=4，曲线C2的极坐标方程为22cos4sin+1=0，曲线C3的极坐标方程为=4(R)（）求C1与C2的直角坐标方程；（）若C2与C1的交于P点，C2与C3交于A、B两点，求PAB的面积【答案】（）C1的普通方程为y=4,曲线C2的普通方程x12+y22=4（）SPAB=372【解析】【分析】（）由曲线C1的极坐标方程能求出曲线C1的普通方程，由曲线C2的极坐标方程能求出曲线C2的普通方程（）由曲线C3的极坐标方程求出曲线C3的普通方程，联立C1与C2得x22x+10，解得点P坐标（1，4），从而点P到C3的距离d=322设A（1，1），B（2，2）将=4代入C2，得2-32+1=0，求出|AB|12|，由此能求出PAB的面积【详解】（）曲线C1的极坐标方程为sin=4，根据题意，曲线C1的普通方程为y=4 曲线C2的极坐标方程为2-2cos-4sin+1=0，曲线C2的普通方程为x2+y2-2x-4y+1=0，即x-12+y-22=4 （）曲线C3的极坐标方程为=4R，曲线C3的普通方程为y=x 联立C1与C2:y=4x-12+y-12=4得x2-2x+1=0，解得x=1,点P的坐标1,4 点P到C3的距离d=1-42=322.设A1,1,B2,2将=4代入C2，得2-32+1=0则1+2=32,12=1，AB=1-2=1+22-412=14,SPAB=12ABd=1214322=372.【点睛】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题23.选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x4|+|x+5|（）试求使等式f(x)=|2x+1|成立的x的取值范围；（）若关于x的不等式f(x)a的解集不是空集， 求实数的取值范围 【答案】（）,54,+（）9,+【解析】【分析】（）f（x）|x4|+|x+5|和f（x）|2x+1|，根据绝对值不等式，对|x4|+|x+5|放缩，注意等号成立的条件，（）把关于x的不等式f（x）a的解集不是空集，转化为关于x的不等式f（x）a的解集非空，求函数f（x）的最小值【详解】（）因为 当且仅当，即或时取等号. 故若成立，则x的取值范围是（）因为所以若关于x的不等式的解集非空，则 即a的取值范围.【点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用及等号成立的条件，考查了转化思想，属于中档题
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