内蒙古呼和浩特市2019届高三数学上学期期中调研考试试卷 文(含解析).doc

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内蒙古呼和浩特市2019届高三(上)期中考试数学试卷(文科)一、选择题。1.已知集合A3,1,2,若ABB,则实数的取值集合是 A. B. C. , D. ,1,【答案】C【解析】【分析】由ABB得BA,得a2或3【详解】ABB,BA,a2或3实数a的取值集合是2,3故选:C【点睛】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用,集合关系中的参数问题,属于基础题2.已知复数,其中,为虚数单位, 且,则 A. 25 B. 1 C. 3 D. 5【答案】A【解析】【分析】由商的模等于模的商求解b的值【详解】由z=bi4+3i,得|z|=|bi|4+3i|=5,即|b|5=5,得b25故选:A【点睛】本题考查复数模的求法,是基础题3.如果函数y=f(x)的图象如图,那么导函数y=f(x)的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析:由y=f(x)的图象得函数的单调性,从而得导函数的正负解:由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正负正负,故选A考点:导数的运用点评:主要是考查了导数的正负决定函数的单调性,属于基础题4.如果为锐角,sin=45,那么sin2的值等于 A. 2425 B. 1225 C. 1225 D. 2425【答案】A【解析】【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos的值,进而利用二倍角的正弦函数公式可求sin2的值【详解】为锐角,sin=45,cos=1-sin2=35,sin22sincos24535=2425故选:A【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用,属于基础题5.已知f(x)=ax2,g(x)=loga|x|(a0且a1),若(5)g(5)0,则y=f(x),y=g(x)在同一坐标系内的大致图象是( A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过计算f(5)g(5)0,可得0a1,则yax,ylogax均为减函数,结合yf(x)的图象是将yax的图象向右平移2个单位,而yg(x)的图象关于y轴对称,且在x(0,+)上单调递减可得解.【详解】因为f(5)g(5)0,得:a3loga50,又a0,所以a30,所以loga50,即0a1,yf(x)的图象是将yax的图象向右平移2个单位,且过点(2,1),单调递减,yg(x)的图象关于y轴对称,在x(0,+)上,函数单调递减,且过点(1,0)故选:B【点睛】本题考查了函数图象的平移及偶函数图象的对称性,属于简单题6.在等差数列an中,a1+a2=1,a2018+a2019=3,Sn是数列an的前n项和, 则S2019=( A. 4036 B. 4038 C. 2019 D. 2009【答案】C【解析】【分析】直接利用等差数列的性质及前n项和公式求出结果即可【详解】等差数列an中,a1+a21,a2018+a20193,所以:a1+a2019a2+a20182,所以:S2019=2019(a1+a2019)2=2019故选:C【点睛】本题考查了等差数列的性质及前n项和公式的应用,主要考查学生的转化能力,属于基础题.7.设e1,e2为单位向量, 且e1,e2的夹角为3,若a=e1+3e2,b=2e1,则向量在b方向上的投影为 A. 12 B. 52 C. 32 D. 2【答案】B【解析】【分析】由题意可求,e1e2,然后求出ab,进而求解向量a在b方向上的投影为ab|b|【详解】由题意可得,e1e2=|e1|e2|cos13=12,a=e1+3e2,b=2e1,ab=(e1+3e2)(2e1)=2e12+6e1e2=5,|b|2,则向量a在b方向上的投影为ab|b|=52故选:B【点睛】本题主要考查了向量数量积的性质及向量投影定义的简单应用,属于基础题8.对函数f(x)=ax2+bx+c(a0,b、cR)作x=h(t)的代换, 使得代换前后f(x)的值域总不改变的代换是( A. h(t)=2t B. h(t)=t21C. h(t)=lgt D. h(t)=tant,0t0,则p:x0R,x02+x0+10D. “x23x+2=0”是“x=1”的充分不必要条件个【答案】D【解析】【分析】由复合命题的真值表即可判断A;由原命题的逆否命题的真假,可判断B;由全称命题的否定为特称命题,可判断C;由二次方程的解法,结合充分必要条件的定义可判断D【详解】若命题p为真命题,命题q为假命题,则q为真命题,命题“p(q)”为真命题,故A正确;命题“若x+y5,则x2或y3”的逆否命题为“若x2且y3,则x+y5”为真命题,可得原命题为真命题,故B正确;命题p:xR,x2+x+10,则p:x0R,x02+x0+10,故C正确;“x1”可推得“x23x+20”,反之不成立,“x23x+20”是“x1”的必要不充分条件,故D错误故选:D【点睛】本题考查复合命题的真假、四种命题的关系和命题的否定、充分必要条件的判断,考查判断能力和推理能力,属于基础题11.函数f(x)=2sin(x+)(0,|2),若xR,使f(x+2)f(x)=4成立, 则的最小值是 A. 2 B. C. 4 D. 34【答案】A【解析】【分析】化简等式可得sin(x+2+)sin(x+)2,由正弦函数的性质求得(k1k2)-2,k1,k2Z,结合范围0求得的最小值【详解】函数f(x)2sin(x+)(0,|2),xR,使f(x+2)f(x)4成立,即xR,使2sin(x+2)+2sin(x+)4成立,即sin(x+2+)sin(x+)2,xR,使x+2+2k1+2,x+2k2+32,kZ,解得:k1k2-2,k1,k2Z,又0,的最小值是2故选:A【点睛】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用,属于中档题12.已知方程lnx+1=2ax有且只有两个解x1,x2(x1x2),则以下判断正确的是 A. x112ax21 B. 1x1x212aC. x11x212a D. x1112ax2【答案】D【解析】【分析】由题意知函数f(x)lnx2ax+1的图象与x轴有两个交点,设f(x)lnx2ax+1,由导数的运算得:a0且f(x)在区间(0,12a)为增函数,在区间(12a,+)为减函数,由图象知f(x)maxf(12a)ln2a0,结合f(1)12a0,得到选项.【详解】设f(x)lnx2ax+1,则f(x)=1x-2a,当a0时,f(x)0,f(x)在(0,+)为增函数,显然不满足题意当a0时,由0x12a时,f(x)0,由x12a时,f(x)0,得f(x)在区间(0,12a)为增函数,在区间(12a,+)为减函数,即f(x)maxf(12a)ln2a,由方程lnx+12ax有且只有两个解x1,x2(x1x2),即f(x)lnx2ax+1的图象与x轴有两个交点,即-ln2a0x112ax2,即x112ax2且02a1,又f(1)12a0,由零点定理可得,x1112a结合得:x1112ax2,故选:D【点睛】本题考查了方程与函数的相互转化,利用导数研究函数的图象及极值,属于中档题.二、填空题.把正确答案填在答题卡的相应位置.13.已知函数f(x)=x3x,则曲线y=f(x)点(2,(2)处的切线方程为_【答案】y=74x3【解析】【分析】求得f(x)的导数,可得切线的斜率和切点,由点斜式方程可得所求切线方程【详解】函数f(x)x-3x的导数为f(x)1+3x2,可得曲线在x2处切线的斜率为k1+34=74,又f(2)2-32=12,可得曲线在x2处切线方程为y-12=74(x2),化为y=74x3故答案为:y=74x3【点睛】本题考查导数的运用:求切线的方程,考查直线方程的运用,属于基础题14.已知数列an满足a1=1,an+1=2n+an,则数列an的通项公式an=_【答案】2n1【解析】【分析】分别求出a221+a1,a322+a2,an2n1+an1,累加即可【详解】a11,an+12n+an,a221+a1,a322+a2,a423+a3,an2n1+an1,等式两边分别累加得:ana1+21+22+2n12n1,故答案为:2n1【点睛】本题考查了求数列的通项公式问题,考查等比数列的性质以及转化思想,属于基础题15.已知|a|=|b|=2,ab=0,若向量满足|cba|=1,则|c|的取值范围为_【答案】1,3【解析】【分析】由题意可设a=(2,0),b=(0,2),c=(x,y),然后由已知,结合向量数量积的坐标表示可求c的坐标满足的方程,结合圆的性质可求【详解】由|a|b|=2,ab=0,可设a=(2,0),b=(0,2),c=(x,y),c-b-a=(x-2,y-2),向量c满足|c-b-a|1,(x-2)2+(y-2)2=1,而|c|=x2+y2的几何意义是圆(x-2)2+(y-2)2=1上一点到原点的距离,(x-2)2+(y-2)2=1的圆心C(2,2)到原点(0,0)的距离2,根据圆的性质可知,21|c|2+1,即1|c|3,故答案为:1,3【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示,考查了圆的性质,属于综合题16.已知函数f(x)与f(x1)都是定义在R上的奇函数, 当0x1时,f(x)=log2x,则f(94)+f(4)的值为_【答案】2【解析】【分析】根据题意,由f(x1)是定义在R上的奇函数可得f(x)f(2x),结合函数为奇函数,分析可得f(x)f(x2),则函数是周期为2的周期函数,据此可得f(-94)f(-14)f(14),结合函数的解析式可得f(-94)的值,结合函数的奇偶性与周期性可得f(0)的值,相加即可得答案【详解】根据题意,f(x1)是定义在R上的奇函数,则f(x)的图象关于点(1,0)对称,则有f(x)f(2x),又由f(x)也R上的为奇函数,则f(x)f(x),且f(0)0;则有f(2x)f(x),即f(x)f(x2),则函数是周期为2的周期函数,则f(-94)f(-14)f(14),又由f(14)log2(14)2,则f(-94)2,f(4)f(0)0,故f(-94)+f(4)2+02;故答案为:2【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用,涉及函数的对称性的判定,属于难题.三、解答题(解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。)17.已知数列an是等差数列,且a8=1,S16=24() 求数列an的通项公式an;()若数列bn是递增的等比数列且b1+b4=9,b2b3=8,求(a1+b1)+(a3+b3)+(a5+b5)+(a2n1+b2n1)【答案】()an=n7 ()n27n+4n13【解析】【分析】()由已知可得a1+7d=12a1+15d=3,即可求出数列an的通项公式an;()由已知可得b1+b4=9b1b4=b2b3=8 可得bn2n1,再分组求和即可【详解】()有已知得:a1+7d=12a2+15d=3 a1=-6,d=1 ,an=-6+n-11=n-7.()由已知得:b1+b4=9b1b4=8 ,又bn是递增的等比数列,故解得:b1=1,b4=8,q=2,bn=2n-1,(a1+b1)+(a3+b3)+(a5+b5)+(a2n-1+b2n-1)=a1+a3+a2n-1+b1+b3+b2n-1 =-6-4-2+2n-8+1+4+16+4n-1=n-6+2n-82+1-4n1-4=n2-7n+4n-13.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题18.在四边形ABCD中,AD/BC,AB=3,A=120,BD=3(1)求AD的长;(2)若BCD=105,求四边形ABCD的面积【答案】(1)3 (2) 12394【解析】【分析】(1)由余弦定理得能求出AD的长(2)由正弦定理得BCsin45=DCsin30=3sin105,从而BC33-3,DC=36-322,过A作AEBD,交BD于E,过C作CFBD,交BD于F,则可求AE=32,CF=33-32,四边形ABCD的面积:SSABD+SBDC=12BD(AE+CF),由此能求出结果【详解】(1)在四边形ABCD中,ADBC,AB=3,A120,BD3由余弦定理得:cos120=3+AD2-923AD,解得AD=3(舍去AD23),AD的长为3(2)ADBC,AB=3,A120,BD3,AD=3,BCD105,DBC30,BDC45,BCsin45=DCsin30=3sin105,解得BC33-3,DC=36-322,如图,过A作AEBD,交BD于E,过C作CFBD,交BD于F,则AE=12AB=32,CF=12BC=33-32,四边形ABCD的面积:SSABD+SBDC=12BD(AE+CF)=123(32+33-32) =123-94【点睛】本题考查三角形的边长的求法,考查四边形的面积的求法,考查余弦定理、正弦定理、三角形性质等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题19.某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件,为了估计以后每月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量,y与月份x的关系,模拟函数可以选用二次函数或函数y=abx+c(a、b、为常数)已知四月份该产品的产量为1.37万件,请问用以上哪个函数作模拟函数较好?说明理由【答案】见解析【解析】【分析】先设二次函数为ypx2+qx+r由已知得出关于a,b,c的方程组,从而求得其解析式,得出x4时的函数值;又对函数yabx+c由已知得出a,b,c的方程,得出其函数式,最后求得x4时的函数值,最后根据四月份的实际产量决定选择哪一个函数式较好【详解】设二次函数为y=px2+qx+r由已知得p+q+r=14p+2q+r=1.29p+3q+r=1.3,解之得p=-0.06q=0.35r=0.7,所以y=-5x2+0.35x+0.7 ,当x=4时,y1=-0.0542+0.354+0.7=1.3 ,又对函数y=abx+c由已知得ab+c=1ab2+c=1.2ab3+c=1.3 ,解之得a=-0.8b=0.5c=1.4,y=-0.812x+1.4 ,当x=4时,y=-0.8124+1.4=1.35 .根据四月份的实际产量为1.37万元,而y2-1.37=0.020.07=y1-1.37,所以函数y=-4512x+75作模拟函数较好.【点睛】考查了根据实际问题选择函数类型,考查了求函数的解析式及比较优劣等问题,考查了建模思想,属于中等题型20.已知函数f(x)=2cosxsin(x-3)+32() 求曲线y=f(x)相邻两个对称中心之间的距离;() 若函数f(x)在0,m上单调递增, 求m的最大值 【答案】()2()512【解析】【分析】()将f(x)化简得f(x)sin(2x-3),其相邻两个对称中心之间的距离是半个周期,即可得解;()因为x0,m,所以2x-3-3,2m-3,再根据-3,2m-3-2,2列式可得m的范围,进而得解.【详解】()f(x)2cosx(12sinx-32cosx)+32sinxcosx-3cos2x+32=12sin2x-31+cos2x2+32sin(2x-3),所以函数f(x)的最小正周期T=22=所以曲线yf(x)的相邻两个对称中心之间的距离为T2,即2()由()可知f(x)sin(2x-3),当x0,m时,2x-3-3,2m-3,因为ysinx在-2,2上单调递增,且f(x)在0,m上单调递增,所以2x-3-3,2m-3-2,2,即m02m-32,解得0m512,故m的最大值为512【点睛】本题考查了三角函数中的恒等变换及辅助角的应用,考查了正弦型函数的性质及最值问题,属于中档题21.已知函数f(x)=a(x1)2+(x2)ex()当a=1时,求函数f(x)在x2,2上的最大值;()讨论函数f(x)的零点的个数【答案】()f(x)max94e-2.()见解析【解析】【分析】()a1时,f(x)(x1)2+(x2)ex,可得f(x)(x1)(ex+2),利用导数研究函数的单调性即可得出最值()令a(x1)2+(x2)ex0,则a(x1)2(2x)ex,讨论f(x)a(x1)2+(x2)ex的零点个数,即转化为讨论函数ya(x1)2与函数g(x)(2x)ex的图象交点个数画出函数g(x)(2x)ex的图象大致如图对a分类讨论即可得出a0时,f(x)a(x1)2+(x2)ex有两个零点,当a0时,对a分类讨论研究f(x)的图象的变化趋势得出结论.【详解】()a1时,f(x)(x1)2+(x2)ex,可得f(x)2(x1)+(x1)ex(x1)(ex+2),由f(x)0,可得x1;由f(x)0,可得x1,即有f(x)在(,1)递减;在(1,+)递增,所以f(x)在2,1单调递减,在1,2上单调递增,所以f(x)minf(1)e,又f(2)94e-2f(2)1所以f(x)max94e-2.()讨论f(x)a(x1)2+(x2)ex的零点个数,令a(x1)2+(x2)ex0,则a(x1)2(2x)ex,转化为讨论函数ya(x1)2与g(x)(2x)ex的图象交点个数,由g(x)(2x)ex,可得g(x)(1x)ex由单调性可得:g(x)图象大致如右图:所以当a=0时,ya(x1)2=0与g(x)(2x)ex图象只有一个交点,a0时,ya(x1)2与函数g(x)(2x)ex有两个交点,当a0时,f(x)2a(x1)+(x1)ex(x1)(ex+2a),当a=-e2时,f(x)0恒成立,f(x)在(,+)递增,又f(1)=-e0,此时f(x)a(x1)2+(x2)ex有一个零点.当a-e2时,f(x)0的两根为1,ln(-2a),当1ln(-2a)时,f(x)在(,1)递增;在(1,ln(-2a))上递减,在(ln(-2a),+)递增,又f(1)=-e0,又存在x1=2-a+a2+42,使x2+(a-2)x-a=0,x2+(a-2)x-ax=0,而x2+(a-2)x-ax=ax(x-1)+x2(x-2)0,此时f(x)a(x1)2+(x2)ex有一个零点.当1ln(-2a)时,f(x)在(, ln(-2a))递增;在(ln(-2a),1)上递减,在(1,+)递增,又f(ln(-2a)= a(ln(-2a)12-2a(ln(-2a)2=aln2(-2a)-4(ln(-2a)+50,又f(1)=-e0,所以此时f(x)a(x1)2+(x2)ex有一个零点.综上当a0时,f(x)a(x1)2+(x2)ex有两个零点a0时,f(x)a(x1)2+(x2)ex有一个零点.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、数形结合方法、分类讨论方法、方程与不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于难题22.在直角坐标系xOy中,以O为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C1的极坐标方程为sin=4,曲线C2的极坐标方程为22cos4sin+1=0,曲线C3的极坐标方程为=4(R)()求C1与C2的直角坐标方程;()若C2与C1的交于P点,C2与C3交于A、B两点,求PAB的面积【答案】()C1的普通方程为y=4,曲线C2的普通方程x12+y22=4()SPAB=372【解析】【分析】()由曲线C1的极坐标方程能求出曲线C1的普通方程,由曲线C2的极坐标方程能求出曲线C2的普通方程()由曲线C3的极坐标方程求出曲线C3的普通方程,联立C1与C2得x22x+10,解得点P坐标(1,4),从而点P到C3的距离d=322设A(1,1),B(2,2)将=4代入C2,得2-32+1=0,求出|AB|12|,由此能求出PAB的面积【详解】()曲线C1的极坐标方程为sin=4,根据题意,曲线C1的普通方程为y=4 曲线C2的极坐标方程为2-2cos-4sin+1=0,曲线C2的普通方程为x2+y2-2x-4y+1=0,即x-12+y-22=4 ()曲线C3的极坐标方程为=4R,曲线C3的普通方程为y=x 联立C1与C2:y=4x-12+y-12=4得x2-2x+1=0,解得x=1,点P的坐标1,4 点P到C3的距离d=1-42=322.设A1,1,B2,2将=4代入C2,得2-32+1=0则1+2=32,12=1,AB=1-2=1+22-412=14,SPAB=12ABd=1214322=372.【点睛】本题考查曲线的直角坐标方程的求法,考查三角形面积的求法,考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,是中档题23.选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|x4|+|x+5|()试求使等式f(x)=|2x+1|成立的x的取值范围;()若关于x的不等式f(x)a的解集不是空集, 求实数的取值范围 【答案】(),54,+()9,+【解析】【分析】()f(x)|x4|+|x+5|和f(x)|2x+1|,根据绝对值不等式,对|x4|+|x+5|放缩,注意等号成立的条件,()把关于x的不等式f(x)a的解集不是空集,转化为关于x的不等式f(x)a的解集非空,求函数f(x)的最小值【详解】()因为 当且仅当,即或时取等号. 故若成立,则x的取值范围是()因为所以若关于x的不等式的解集非空,则 即a的取值范围.【点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用及等号成立的条件,考查了转化思想,属于中档题
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