2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.2.2 抛物线的简单性质（二）训练案 北师大版选修2-1.doc

3.2.2 抛物线的简单性质A.基础达标1抛物线yax21与直线yx相切，则a等于()A. B. C. D1解析：选B.由消去y整理得ax2x10，由题意a0，(1)24a0.所以a.2已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y2x4与C交于A，B两点，则cosAFB()A. B.C D解析：选D.由得或令B(1，2)，A(4，4)，又F(1，0)，所以由两点间距离公式，得|BF|2，|AF|5，|AB|3，所以cosAFB.3A，B是抛物线x2y上任意两点(非原点)，当最小时，所在两条直线的斜率之积kOAkOB()A. BC. D解析：选B.由题意可设A(x1，x)，B(x2，x)，(x1，x)，(x2，x)，x1x2(x1x2)2(x1x2)2，当且仅当x1x2时取得最小值此时kOAkOBx1x2.4设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为()Ay24x或y28xBy22x或y28xCy24x或y216xDy22x或y216x解析：选C.设M(x0，y0)，A(0，2)，MF的中点为N.由y22px，F(，0)，所以N点的坐标为(，)由抛物线的定义知，x05，所以x05.所以y0 .所以|AN|，所以|AN|2.所以()2(2)2.即.所以 20.整理得p210p160.解得p2或p8.所以抛物线方程为y24x或y216x.5已知抛物线C的方程为x2y，过点A(0，1)和点B(t，3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是()A(，1)(1，)B(，)(，)C(，2)(2，)D(，)(，)解析：选D.当AB的斜率不存在时，x0，其与x2y有公共点，不满足要求；当AB的斜率存在时，可设AB所在直线的方程为ykx1，代入x2y，整理得2x2kx10，(k)2420，得k28，B(t，3)在ykx1上即3kt1，()2k22得t(，)(，)6过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则A1FB1等于_解析：如图，由抛物线定义知|AA1|AF|，|BB1|BF|，所以AA1FAFA1，又AA1FA1FO，所以AFA1A1FO，同理BFB1B1FO，于是AFA1BFB1A1FOB1FOA1FB1.故A1FB190.答案：907已知抛物线x24y的焦点为F，经过F的直线与抛物线相交于A，B两点，则以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是_解析：由题意知满足题意的AB所在直线的斜率存在，故AB所在的直线方程可写为ykx1，代入x24y，整理得x24kx40，x1x24k，由ykx1可得y1y2kx11kx214k22，|AB|y1y2p4k24，故所截弦长222，当k0时弦长取最小值答案：28已知定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y22x上移动，M为AB的中点，则M点到y轴的最短距离为_解析：如图所示，抛物线y22x的准线为l：x，过点A、B、M分别作AA、BB、MM垂直于l，垂足分别为A、B、M.由抛物线定义知|AA|FA|，|BB|FB|.又M为AB中点，由梯形中位线定理得|MM|(|AA|BB|)(|FA|FB|)|AB|3，则M到y轴的距离d1(当且仅当AB过抛物线的焦点时取“”)，所以dmin1，即M点到y轴的最短距离为1.答案：19已知抛物线y212x和点P(5，2)，直线l经过点P且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点(1)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程；(2)当直线l的斜率为1时，求OAB的面积解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A、B在抛物线上，所以y12x1，y12x2，两式相减，得(y1y2)(y1y2)12(x1x2)因为P为线段AB的中点，所以x1x2，又y1y24，所以k3，所以直线l的方程为y23(x5)，即3xy130.经验证适合题意(2)由题意知l的方程为y21(x5)即yx3.由得x218x90.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x218，x1x29.所以|AB|24.又点O到直线xy30的距离d，所以SOAB|AB|d2418.10如图，设抛物线C：x24y的焦点为F，P(x0，y0)为抛物线上的任一点(其中x00)，过P点的切线交y轴于Q点(1)若P(2，1)，求证：|FP|FQ|；(2)已知M(0，y0)，过M点且斜率为的直线与抛物线C交于A、B两点，若(1)，求的值解：(1)证明：由抛物线定义知|PF|y012，设过P点的切线方程为y1k(x2)，由得x24kx8k40，令16k24(8k4)0得k1，可得PQ所在直线方程为yx1，所以得Q点坐标为(0，1)，所以|QF|2，即|PF|QF|.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M点坐标为(0，y0)，所以AB方程为yxy0，由得x22x0x4y00.所以x1x22x0，x1x24y0x，由得：(x1，y0y1)(x2，y2y0)，所以x1x2，由知得(1)2x4x，由x00可得x20，所以(1)24，又1，解得32.B.能力提升1已知抛物线y22px(p0)与圆(xa)2y2r2(a0)有且只有一个公共点，则()Arap BrapCrap Drap解析：选B.当r0)与抛物线y22px(p0)要么没有交点，要么交于两点或四点，与题意不符；当ra时，易知圆与抛物线有两个交点，与题意不符；当ra时，圆与抛物线交于原点，要使圆与抛物线有且只有一个公共点，必须使方程(xa)22pxr2(x0)有且仅有一个解x0，可得ap.故选B.2如图，已知抛物线的方程为x22py(p0)，过点A(0，1)作直线l与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为(0，1)，连接BP，BQ，设QB，BP的延长线与x轴分别相交于M，N两点如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为3，则MBN的大小等于()A. B.C. D.解析：选D.由题意设P(x1，)，Q(x2，)(x1x2)，设PQ所在直线方程为ykx1代入x22py，整理得：x22kpx2p0，则kQB，kPB，可得kQBkPB0，又因为kQBkPB3，所以kQB，kPB，即BNM，BMN，所以MBNBNMBMN.3设抛物线y24x的焦点为F，过点M(2，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线交于点C，|BF|，则_.解析：因为|BF|，所以B的横坐标为，不妨设B的坐标为(，)，所以AB的方程为y(x2)，代入y24x，得2x217x80，解得x或8，故点A的横坐标为8.故A到准线的距离为819.答案：4抛物线y22px(p0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足AFB120，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为_解析：由余弦定理，得|AB|2|AF|2|BF|22|AF|BF|cos 120|AF|2|BF|2|AF|BF|，过A，B作AA，BB垂直于准线，则|MN|(|AA|BB|)(|FA|FB|)，所以，当且仅当|AF|BF|时，等号成立答案：5已知抛物线C：y22px(p0)经过点P(2，4)，直线l：yx2交C于A、B两点，与x轴相交于点F.(1)求抛物线方程及其准线方程；(2)已知点M(2，5)，直线MA、MF、MB的斜率分别为k1、k2、k3，求证：k1、k2、k3成等差数列解：(1)因为抛物线C：y22px(p0)经过点P(2，4)，所以422p2，所以p4，所以抛物线的方程是y28x，所以抛物线准线方程是x2.(2)因为直线l：yx2与x轴相交于点F，所以F(2，0)因为M(2，5)，所以k2.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由方程组得3x220x120.法一：x1x2，x1x24.所以k1，k3，所以k1k3，所以k1k32k2，所以k1、k2、k3成等差数列法二：即A(6，4)、B(，)，所以k1，k3，所以k1k3，所以k1k32k2，所以k1、k2、k3成等差数列6(选做题)已知抛物线E的顶点在原点，焦点为F(2，0)，(1)求抛物线方程；(2)过点T(t，0)作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N分别为线段AB，CD的中点，求TMN的面积最小值解：(1)由题意知，p4，故所求抛物线方程为y28x.(2)根据题意得AB，CD的斜率存在，故设直线AB：xmyt，直线CD：xyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，由得y28my8t0.所以4m4m2tM(4m2t，4m)，同理可得N(t，)，所以|TN|，|TM|4|m|，所以STMN|TM|TN|8(|m|)16.当且仅当|m|1时，面积取到最小值16.