2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.2.2 抛物线的简单性质(二)训练案 北师大版选修2-1.doc

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3.2.2 抛物线的简单性质A.基础达标1抛物线yax21与直线yx相切,则a等于()A. B. C. D1解析:选B.由消去y整理得ax2x10,由题意a0,(1)24a0.所以a.2已知抛物线C:y24x的焦点为F,直线y2x4与C交于A,B两点,则cosAFB()A. B.C D解析:选D.由得或令B(1,2),A(4,4),又F(1,0),所以由两点间距离公式,得|BF|2,|AF|5,|AB|3,所以cosAFB.3A,B是抛物线x2y上任意两点(非原点),当最小时,所在两条直线的斜率之积kOAkOB()A. BC. D解析:选B.由题意可设A(x1,x),B(x2,x),(x1,x),(x2,x),x1x2(x1x2)2(x1x2)2,当且仅当x1x2时取得最小值此时kOAkOBx1x2.4设抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()Ay24x或y28xBy22x或y28xCy24x或y216xDy22x或y216x解析:选C.设M(x0,y0),A(0,2),MF的中点为N.由y22px,F(,0),所以N点的坐标为(,)由抛物线的定义知,x05,所以x05.所以y0 .所以|AN|,所以|AN|2.所以()2(2)2.即.所以 20.整理得p210p160.解得p2或p8.所以抛物线方程为y24x或y216x.5已知抛物线C的方程为x2y,过点A(0,1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是()A(,1)(1,)B(,)(,)C(,2)(2,)D(,)(,)解析:选D.当AB的斜率不存在时,x0,其与x2y有公共点,不满足要求;当AB的斜率存在时,可设AB所在直线的方程为ykx1,代入x2y,整理得2x2kx10,(k)2420,得k28,B(t,3)在ykx1上即3kt1,()2k22得t(,)(,)6过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,若A、B在准线上的射影为A1、B1,则A1FB1等于_解析:如图,由抛物线定义知|AA1|AF|,|BB1|BF|,所以AA1FAFA1,又AA1FA1FO,所以AFA1A1FO,同理BFB1B1FO,于是AFA1BFB1A1FOB1FOA1FB1.故A1FB190.答案:907已知抛物线x24y的焦点为F,经过F的直线与抛物线相交于A,B两点,则以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是_解析:由题意知满足题意的AB所在直线的斜率存在,故AB所在的直线方程可写为ykx1,代入x24y,整理得x24kx40,x1x24k,由ykx1可得y1y2kx11kx214k22,|AB|y1y2p4k24,故所截弦长222,当k0时弦长取最小值答案:28已知定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y22x上移动,M为AB的中点,则M点到y轴的最短距离为_解析:如图所示,抛物线y22x的准线为l:x,过点A、B、M分别作AA、BB、MM垂直于l,垂足分别为A、B、M.由抛物线定义知|AA|FA|,|BB|FB|.又M为AB中点,由梯形中位线定理得|MM|(|AA|BB|)(|FA|FB|)|AB|3,则M到y轴的距离d1(当且仅当AB过抛物线的焦点时取“”),所以dmin1,即M点到y轴的最短距离为1.答案:19已知抛物线y212x和点P(5,2),直线l经过点P且与抛物线交于A、B两点,O为坐标原点(1)当点P恰好为线段AB的中点时,求l的方程;(2)当直线l的斜率为1时,求OAB的面积解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),因为A、B在抛物线上,所以y12x1,y12x2,两式相减,得(y1y2)(y1y2)12(x1x2)因为P为线段AB的中点,所以x1x2,又y1y24,所以k3,所以直线l的方程为y23(x5),即3xy130.经验证适合题意(2)由题意知l的方程为y21(x5)即yx3.由得x218x90.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x218,x1x29.所以|AB|24.又点O到直线xy30的距离d,所以SOAB|AB|d2418.10如图,设抛物线C:x24y的焦点为F,P(x0,y0)为抛物线上的任一点(其中x00),过P点的切线交y轴于Q点(1)若P(2,1),求证:|FP|FQ|;(2)已知M(0,y0),过M点且斜率为的直线与抛物线C交于A、B两点,若(1),求的值解:(1)证明:由抛物线定义知|PF|y012,设过P点的切线方程为y1k(x2),由得x24kx8k40,令16k24(8k4)0得k1,可得PQ所在直线方程为yx1,所以得Q点坐标为(0,1),所以|QF|2,即|PF|QF|.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),又M点坐标为(0,y0),所以AB方程为yxy0,由得x22x0x4y00.所以x1x22x0,x1x24y0x,由得:(x1,y0y1)(x2,y2y0),所以x1x2,由知得(1)2x4x,由x00可得x20,所以(1)24,又1,解得32.B.能力提升1已知抛物线y22px(p0)与圆(xa)2y2r2(a0)有且只有一个公共点,则()Arap BrapCrap Drap解析:选B.当r0)与抛物线y22px(p0)要么没有交点,要么交于两点或四点,与题意不符;当ra时,易知圆与抛物线有两个交点,与题意不符;当ra时,圆与抛物线交于原点,要使圆与抛物线有且只有一个公共点,必须使方程(xa)22pxr2(x0)有且仅有一个解x0,可得ap.故选B.2如图,已知抛物线的方程为x22py(p0),过点A(0,1)作直线l与抛物线相交于P,Q两点,点B的坐标为(0,1),连接BP,BQ,设QB,BP的延长线与x轴分别相交于M,N两点如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为3,则MBN的大小等于()A. B.C. D.解析:选D.由题意设P(x1,),Q(x2,)(x1x2),设PQ所在直线方程为ykx1代入x22py,整理得:x22kpx2p0,则kQB,kPB,可得kQBkPB0,又因为kQBkPB3,所以kQB,kPB,即BNM,BMN,所以MBNBNMBMN.3设抛物线y24x的焦点为F,过点M(2,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线交于点C,|BF|,则_.解析:因为|BF|,所以B的横坐标为,不妨设B的坐标为(,),所以AB的方程为y(x2),代入y24x,得2x217x80,解得x或8,故点A的横坐标为8.故A到准线的距离为819.答案:4抛物线y22px(p0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足AFB120,过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最大值为_解析:由余弦定理,得|AB|2|AF|2|BF|22|AF|BF|cos 120|AF|2|BF|2|AF|BF|,过A,B作AA,BB垂直于准线,则|MN|(|AA|BB|)(|FA|FB|),所以,当且仅当|AF|BF|时,等号成立答案:5已知抛物线C:y22px(p0)经过点P(2,4),直线l:yx2交C于A、B两点,与x轴相交于点F.(1)求抛物线方程及其准线方程;(2)已知点M(2,5),直线MA、MF、MB的斜率分别为k1、k2、k3,求证:k1、k2、k3成等差数列解:(1)因为抛物线C:y22px(p0)经过点P(2,4),所以422p2,所以p4,所以抛物线的方程是y28x,所以抛物线准线方程是x2.(2)因为直线l:yx2与x轴相交于点F,所以F(2,0)因为M(2,5),所以k2.设A(x1,y1)、B(x2,y2),由方程组得3x220x120.法一:x1x2,x1x24.所以k1,k3,所以k1k3,所以k1k32k2,所以k1、k2、k3成等差数列法二:即A(6,4)、B(,),所以k1,k3,所以k1k3,所以k1k32k2,所以k1、k2、k3成等差数列6(选做题)已知抛物线E的顶点在原点,焦点为F(2,0),(1)求抛物线方程;(2)过点T(t,0)作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A,B,C,D四点,且M,N分别为线段AB,CD的中点,求TMN的面积最小值解:(1)由题意知,p4,故所求抛物线方程为y28x.(2)根据题意得AB,CD的斜率存在,故设直线AB:xmyt,直线CD:xyt,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),由得y28my8t0.所以4m4m2tM(4m2t,4m),同理可得N(t,),所以|TN|,|TM|4|m|,所以STMN|TM|TN|8(|m|)16.当且仅当|m|1时,面积取到最小值16.
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