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3.1.3概率的基本性质【选题明细表】 知识点、方法题号事件关系的判断1,2,4,9互斥、对立事件的概率3,5,6,7,10概率的应用8,11,121.(2017山西太原期末)一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(D)(A)至多有一次中靶(B)两次都中靶(C)只有一次中靶(D)两次都不中靶2.下列四个命题:(1)对立事件一定是互斥事件;(2)A,B为两个事件,则P(AB)=P(A)+P(B);(3)若A,B,C三事件两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;(4)事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件.其中假命题的个数是(D)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:(1)对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件(2)只有当A,B互斥时,才有P(AB)=P(A)+P(B)(3)虽然A,B,C三个事件两两互斥,但其并事件不一定是必然事件(4)只有当A,B互斥,且满足P(A)+P(B)=1时,A,B才是对立事件故选D.3.已知P(A)=0.1,P(B)=0.2,则P(AB)等于(D)(A)0.3(B)0.2(C)0.1(D)不确定解析:由于不能确定A与B互斥,则P(AB)的值不能确定.故选D.4.给出以下三个命题:(1)将一枚硬币抛掷两次,记事件A:“两次都出现正面”,事件B:“两次都出现反面”,则事件A与事件B是对立事件;(2)在命题(1)中,事件A与事件B是互斥事件;(3)在10件产品中有3件是次品,从中任取3件,记事件A:“所取3件中最多有2件是次品”,事件B:“所取3件中至少有2件是次品”,则事件A与事件B是互斥事件.其中命题正确的个数是(B)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:命题(1)不正确,命题(2)正确,命题(3)不正确.对于(1)(2),因为抛掷两次硬币,除事件A,B外,还有“第一次出现正面,第二次出现反面”和“第一次出现反面,第二次出现正面”两种事件,所以事件A和事件B不是对立事件,但它们不会同时发生,所以是互斥事件;对于(3),若所取的3件产品中恰有2件次品,则事件A和事件B同时发生,所以事件A和事件B不是互斥事件.故选B.5.从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛,所选3人中至少有1名女生的概率为45,那么所选3人中都是男生的概率为(A)(A)15(B)25(C)14(D)23解析:设A=3人中至少有1名女生,B=3人都为男生,则A,B为对立事件,所以P(B)=1-P(A)=15.6.如果事件A和B是互斥事件,且事件AB的概率是0.8,事件A的概率是事件B的概率的3倍,则事件B的对立事件的概率为.解析:根据题意有P(AB)=P(A)+P(B)=4P(B)=0.8,所以P(B)=0.2,则事件B的对立事件的概率为1-0.2=0.8.答案:0.87.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为37,乙夺得冠军的概率为14,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.解析:由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以由互斥事件概率的加法公式得,中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37+14=1928.答案:19288.一个盒子中有10个完全相同的球,分别标有号码1,2,3,10.从中任取一球,求下列事件的概率.(1)A=球的标号数不大于3;(2)B=球的标号数是3的倍数;(3)C=球的标号数是质数.解:(1)球的标号数不大于3包括三种情况,即球的标号数分别为1,2,3,易知P(A)=P(球的标号为1)P(球的标号为2)P(球的标号为3)=110+110+110=310.(2)球的标号数是3的倍数包括三种情况,即球的标号数分别为3,6,9,易求P(B)=110+110+110=310.(3)球的标号数是质数包括四种情况,即球的标号数分别是2,3,5,7,易知P(C)=110+110+110+110=410=25.9.如果事件A,B互斥,记A,B分别为事件A,B的对立事件,那么(B)(A)AB是必然事件(B)AB是必然事件(C)A与B一定互斥(D)A与B一定不互斥解析:用Venn图解决此类问题较为直观,如图所示,AB是必然事件,故选B.10.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图 所示.现随机选取一个成员,他属于至少2个小组的概率是,他属于不超过2个小组的概率是.解析:“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况,故他属于至少两个小组的概率为P=11+10+7+86+7+8+8+10+10+11=35.“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”,其对立事件是“3个小组”.故他属于不超过2个小组的概率是P=1-86+7+8+8+10+10+11=1315.答案:35131511.某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)解:(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的随机样本,顾客购物一次的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为115+1.530+225+2.520+310100=1.9(分钟).(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A1,A2,A3分别表示事件“一位顾客一次购物的结算时间为1分钟”“一位顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“一位顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率得P(A1)=15100=320,P(A2)=30100=310,P(A3)=25100=14.因为A=A1A2A3,且A1,A2,A3彼此互斥,所以P(A)=P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=320+310+14=710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.12.小明家楼下有一个小超市,他在观察小超市的顾客流量时,发现某一时刻有n个人在小超市内的概率为P(n),且P(n)与时刻t无关,统计得到P(n)=(12)nP(0),1n5,0,n6,求在某一时刻,这个小超市里一个人也没有的概率P(0)的值.解:根据题意知,在某一时刻这个小超市内最多只有5个人.0个人,1个人,2个人,3个人,4个人,5个人在小超市内是互斥事件,所以P(0)+P(1)+P(5)=1,即P(0)1+(12)1+(12)5=1,得P(0)=3263.
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