2018年秋高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 第2课时 正弦定理（2）学案 新人教A版必修5.doc

第2课时正弦定理(2)学习目标：1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题(重点).2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题(难点)自 主 预 习探 新 知1正弦定理及其变形(1)定理内容：2R(R为外接圆半径)(2)正弦定理的常见变形：sin Asin Bsin Cabc；2R；a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；sin A，sin B，sin C.思考：在ABC中，已知acos Bbcos A你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?提示：可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acos B2Rsin Bcos A，移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos Bcos Asin B0.2对三角形解的个数的判断已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a，b和A解三角形为例说明图形关系式解的个数A为锐角absin A；ab一解bsin Aab两解absin_A无解思考：在ABC中，a9，b10，A60，判断三角形解的个数提示sin Bsin A，而1，所以当B为锐角时，满足sin B的角有60B90，故对应的钝角B有90B120，也满足ABa，所以BA，故B60或120.(3)当bsin Aab时，ABC有两解2在ABC中，sin Asin C，则ABC是() 【导学号：91432015】A直角三角形B等腰三角形C锐角三角形 D钝角三角形B由正弦定理可得sin Asin C，即ac，所以ABC为等腰三角形3在ABC中，下列式子与的值相等的是()A. B.C. D.C由正弦定理可得，故选C.4在ABC中，A30，a3，b2，则这个三角形有() 【导学号：91432016】A一解 B两解C无解 D无法确定A由ba和大边对大角可知三角形的解的个数为一解合 作 探 究攻 重 难三角形解的个数的判断已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答(1)a10，b20，A80；(2)a2，b6，A30. 【导学号：91432017】解(1)a10，b20，ab，A8020sin 6010，absin A，本题无解(2)a2，b6，ab，A30bsin A，bsin Aab，三角形有两解由正弦定理得sin B，又B(0，180)，B160，B2120.当B160时，C190，c14；当B2120时，C230，c22.B160时，C190，c14；B2120时，C230，c22.规律方法已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值.或者根据该正弦值(不等于1时)在0180范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求. 跟踪训练1ABC中，ax，b2，B45.若该三角形有两解，则x的取值范围是_2x2由asin Bba，得x2x，2x，AC，BC；ABABsin Acos B，cos Asin B. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，mnsin 2C.(1)求C的大小；(2)若c2，A，求ABC的面积. 【导学号：91432019】思路探究：(1)由mnsin 2C，利用三角恒等变换求出C的大小；(2)由正弦定理可得b的大小利用三角形的面积公式求解解(1)由题意，mnsin Acos Bsin Bcos Asin 2C，即sin(AB)sin 2C，sin C2sin Ccos C.由0C0.所以cos C.C.(2)由C，A，得BAC.由正弦定理，即，解得b2.所以ABC的面积Sbcsin A22sin .母题探究：(变条件，结论)将例题中的条件“m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，mnsin 2C”换为“若ac2b,2cos 2B8cos B50”求角B的大小并判断ABC的形状解2cos 2B8cos B50，2(2cos2B1)8cos B50.4cos2B8cos B30，即(2cos B1)(2cos B3)0.解得cos B或cos B(舍去)0B，B.ac2b.由正弦定理，得sin Asin C2sin B2sin .sin Asin，sin Asin cos Acos sin A.化简得sin Acos A，sin1.0A，A，A.A，C.ABC是等边三角形规律方法借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式.当 堂 达 标固 双 基1满足a4，b3和A45的ABC的个数为()A0B1C2 D无数多B因为A453b，所以ABC的个数为1.2在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a4，b3，C60，则ABC的面积为() 【导学号：91432020】A3 B3C6 D6B由Sabsin C43得S3，故选B.3在ABC中，A，ac，则_.1由得sin C，又0C，所以C，B(AC).所以1.4在ABC中，若b5，B，tan A2，则sin A_，a_. 【导学号：91432021】2由tan A2，得sin A2cos A，由sin2Acos2A1，得sin A，b5，B，由正弦定理，得a2.5在ABC中，若abc135，求的值解由条件得，sin Asin C.同理可得sin Bsin C.