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课堂达标(二十八) 等比数列及其前n项和A基础巩固练1(2018湖南省常德市一模)已知各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，且S314，a38，则a6等于()A16B32C64D128解析S314，a38， 解得a12，q2，a6a1q523264，故选：C.答案C2(2018衡水模拟)已知正数组成的等比数列an，若a1a20100，那么a7a14的最小值为()A20B25 C50D不存在解析(a7a14)2aa2a7a144a7a144a1a20400.a7a1420.答案A3(2018河北三市第二次联考)古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思为：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为()A7 B8C9 D10解析设该女子第一天织布x尺，则5，得x，前n天所织布的尺数为(2n1)由(2n1)30，得2n187，则n的最小值为8.答案B4(2018成都模拟)已知an是等比数列，a22，a5，则a1a2a2a3anan1等于()A16(14n) B16(12n)C.(14n) D.(12n)解析a22，a5，a14，q.a1a2a2a3anan1(14n)答案C5已知Sn是等比数列an的前n项和，若存在mN*，满足9，则数列an的公比为()A2 B2C3 D3解析设公比为q，若q1，则2，与题中条件矛盾，故q1.qm19，qm8.qm8，m3，q38，q2.答案B6(2018郑州一模)已知数列an满足a1a2a3an2n2(nN*)，且对任意nN*都有t，则实数t的取值范围为()A. B.C. D.解析数列an满足a1a2a3an2n2，n1时，a12，当n2时，a1a2a3an12(n1)2，可得：an22n1，数列为等比数列，首项为，公比为，因为对任意nN*都有n0，m，nN*)，则mn的值是_解析aa2a11(a14d)2(a1d)(a110d)，(d0)整理得a12d，a112(SmSn)，可得a110d2，化简得(m2n2)3(mn)12，即(mn)(mn3)12，因为mn0，m，nN*，所以m5，n4，所以mn9，故填：9.答案910数列an满足：a12a2nan4，nN*.(1)求a3的值；(2)求数列an的前n项和Tn.解(1)令n1a11；令n2a12a22a2；令n3a12a23a34a3.(2)当n2时，a12a23a3(n1)an14，a12a23a3(n1)an1nan4.，得nan，an，又当n1时，a11也适合an，an(nN*)，易证数列an是等比数列，首项a11，公比q.数列an的前n项和Tn2.B能力提升练1设an是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai1的矩形的面积(i1,2，)，则An为等比数列的充要条件是()Aan是等比数列Ba1，a3，a2n1，或a2，a4，a2n，是等比数列Ca1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列Da1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相同解析Aiaiai1，若An为等比数列，则为常数，即，.a1，a3，a5，a2n1，和a2，a4，a2n，成等比数列，且公比相等反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q，则q，从而An为等比数列答案D2若a，b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于()A6B7 C8D9解析由题意知：abp，abq，p0，q0，a0，b0.在a，b，2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b，2；b，a，2；2，a，b；2，b，a；成等比数列的情况有a，2，b；b，2，a.或解得或p5，q4，pq9，故选D.答案D3(2018衡水中学第六次调研)各项均为正数的数列an首项为，且满足aanan1n(n1)a0，公差不为零的等差数列bn的前项和为Sn，S515，且b1，b3，b9成等比数列设cn，求数列cn的前项和Tn_.解析(1)aanan1n(n1)a(annan1)(an(n1)an1)0，因为an各项均为正数，则annan10，an(n1)an10即an(n1)an1则an1nan2，an2(n1)an3，a23a1上面n1个式子相乘得an(n1)！，设bn的公差d,5b110d15，(b12d)2b1(b18d)，解之得b11，d1，bnn，cn.答案14(2017课标)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推求满足如下条件的最小整数N：N100且该数列的前N项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是()A440 B330C220 D110解析由题意得，数列如下：1，1,2，1,2,4，1,2,4，2k1则该数列的前12k项和为S1(12)(122k)2k1k2要使100，有k14，此时k22k1，所以k2是之后的等比数列1,2，2k1的部分和，即k2122t12t1，所以k2t314，则t5，此时k25329，对应满足的最小条件为N5440，故选A.答案A5(2018太原二模)已知各项均为正数的数列an满足aaaanan1，且a2a42a34，其中nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足bn(nN*)，若存在正整数m，n(1mn)，使得b1，bm，bn成等比数列，求m，n的值解(1)因为aaaanan1，即(an1an)(2anan1)0，又an0，所以有2anan10，即2anan1，所以数列 an是公比为2的等比数列，由a2a42a34，得2a18a18a14，解得a12，所以，数列an的通项公式为an2n(nN*)(2)bn，若b1，bm，bn成等比数列，则2，即3m2n(2m24m1)0，所以2m24m10，解得1m1，又mN*，且m1，所以m2，此时n12.C尖子生专练已知数列an中，a11，anan1n，记T2n为an的前2n项的和，bna2na2n1，nN*.(1)判断数列bn是否为等比数列，并求出bn；(2)求T2n.解(1)anan1n，an1an2n1，即an2an.bna2na2n1，a11，a1a2，a2b1a1a2.bn是首项为，公比为的等比数列bnn1.(2)由(1)可知，an2an，a1，a3，a5，是以a11为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，是以a2为首项，以为公比的等比数列，T2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)3.
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