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三 反证法与放缩法1反证法(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立(2)反证法证明不等式的一般步骤： 假设命题不成立；依据假设推理论证；推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立2放缩法(1)放缩法证明的定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的(2)放缩法的理论依据有：不等式的传递性；等量加不等量为不等量；同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较利用反证法证明问题例1已知f(x)x2pxq.求证：(1)f(1)f(3)2f(2)2；(2)|f(1)|，f|(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.思路点拨“至少有一个”的反面是“一个也没有”证明(1)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则|f(1)|2|f(2)|f(3)|1,4b(1c)1,4c(1d)1，4d(1a)1，则有a(1b)，b(1c)，c(1d)，d(1a).，.又，.将上面各式相加得22，矛盾4a(1b)，4b(1c)，4c(1d)，4d(1a)这四个数不可能都大于1.3已知函数yf(x)在R上是增函数，且f(a)f(b)f(b)f(a)，求证：ab.证明：假设ab.当ab时，ab则有f(a)f(b)，f(a)f(b)，于是f(a)f(b)f(b)f(a)与已知矛盾当ab时，af(b)，f(b)f(a)，于是有f(a)f(b)f(b)f(a)与已知矛盾故假设不成立故a(xyz)思路点拨解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明证明 x.同理可得 y，z，由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加得：(xyz)(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的4已知a，b是正实数，且ab1，求证：.证明：因为，所以原不等式得证5已知nN，求证：2.证明：因为，所以n2n，又因为n2n6，a，b，c均小于0，a2，b2，c2，abc6，这与假设矛盾，则选C.5M与1的大小关系为_解析：M1，即M1.共210项答案：M1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数证明：假设a，b，c，d都是非负数由abcd1，知a，b，c，d0,1从而ac，bd.acbd1.即acbd1.与已知acbd1矛盾，a，b，c，d中至少有一个是负数9求证：2.证明：因为，所以1122.10已知， 且sin()2sin .求证，则sin cos cos sin 2sin ，所以cos sin (2cos )sin ，即.因为，且，所以sin sin .从而1，即cos 2cos ，即cos cos 2，这是不可能的，所以不成立由可知假设不成立，故原结论成立
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