(通用版)2019版高考数学二轮复习 专题跟踪检测(十四)圆锥曲线的综合问题 理(重点生含解析).doc

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专题跟踪检测(十四) 圆锥曲线的综合问题1(2018武汉调研)已知抛物线C:x22py(p0)和定点M(0,1),设过点M的动直线交抛物线C于A,B两点,抛物线C在A,B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上,求p的值;(2)若ABN的面积的最小值为4,求抛物线C的方程解:设直线AB:ykx1,A(x1,y1),B(x2,y2),将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x22pkx2p0,则x1x22pk,x1x22p.(1)由x22py得y,则A,B处的切线斜率的乘积为,点N在以AB为直径的圆上,ANBN,1,p2.(2)易得直线AN:yy1(xx1),直线BN:yy2(xx2),联立结合式,解得即N(pk,1)所以|AB|x2x1|,点N到直线AB的距离d,则SABN|AB|d2,当k0时,取等号,ABN的面积的最小值为4,24,p2,故抛物线C的方程为x24y.2(2019届高三河北“五个一名校联盟”模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:y21,点P(x1,y1),Q(x2,y2)是椭圆C上两个动点,直线OP,OQ的斜率分别为k1,k2,若m,n,mn0.(1)求证:k1k2;(2)试探求POQ的面积S是否为定值,并说明理由解:(1)证明:k1,k2存在,x1x20,mn0,y1y20,k1k2.(2)当直线PQ的斜率不存在,即x1x2,y1y2时,由,得y0,又由P(x1,y1)在椭圆上,得y1,|x1|,|y1|,SPOQ|x1|y1y2|1.当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为ykxb(b0)由得(4k21)x28kbx4b240,64k2b24(4k21)(4b24)16(4k21b2)0,x1x2,x1x2.y1y20,(kx1b)(kx2b)0,得2b24k21,满足0.SPOQ|PQ|b|2|b|1.POQ的面积S为定值3.(2018长春质检)如图,在矩形ABCD中,|AB|4,|AD|2,O为AB的中点,P,Q分别是AD和CD上的点,且满足,直线AQ与BP的交点在椭圆E:1(ab0)上(1)求椭圆E的方程;(2)设R为椭圆E的右顶点,M为椭圆E第一象限部分上一点,作MN垂直于y轴,垂足为N,求梯形ORMN面积的最大值解:(1)设AQ与BP的交点为G(x,y),P(2,y1),Q(x1,2),由题可知,.kAGkAQ,kBGkBP,从而有,整理得y21,即椭圆E的方程为y21.(2)由(1)知R(2,0),设M(x0,y0),则y0,从而梯形ORMN的面积S(2x0)y0,令t2x0,则2t0,u4t3t4单调递增,当t(3,4)时,u0),直线xmy3与E交于A,B两点,且6,其中O为坐标原点(1)求抛物线E的方程;(2)已知点C的坐标为(3,0),记直线CA,CB的斜率分别为k1,k2,证明:2m2为定值解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去x,整理得y22pmy6p0,则y1y22pm,y1y26p,x1x29,由x1x2y1y296p6,解得p,所以y2x.(2)证明:由题意得k1,k2,所以m,m,所以2m2222m22m212m362m212m36.由(1)可知:y1y22pmm,y1y26p3,所以2m212m3624,所以2m2为定值5(2018惠州调研)已知C为圆(x1)2y28的圆心,P是圆上的动点,点Q在圆的半径CP上,且有点A(1,0)和AP上的点M,满足0,2.(1)当点P在圆上运动时,求点Q的轨迹方程;(2)若斜率为k的直线l与圆x2y21相切,与(1)中所求点Q的轨迹交于不同的两点F,H,O是坐标原点,且,求k的取值范围解:(1)由题意知MQ是线段AP的垂直平分线,所以|CP|QC|QP|QC|QA|2|CA|2,所以点Q的轨迹是以点C,A为焦点,焦距为2,长轴长为2的椭圆,所以a,c1,b1,故点Q的轨迹方程是y21.(2)设直线l:ykxt,F(x1,y1),H(x2,y2),直线l与圆x2y21相切1t2k21.联立(12k2)x24ktx2t220,则16k2t24(12k2)(2t22)8(2k2t21)8k20k0,x1x2,x1x2,所以x1x2y1y2(1k2)x1x2kt(x1x2)t2ktt2k21,所以k2|k|,所以k或k.故k的取值范围是.6.如图所示,设椭圆M:1(ab0)的左顶点为A,中心为O,若椭圆M过点P,且APOP.(1)求椭圆M的方程;(2)若APQ的顶点Q也在椭圆M上,试求APQ面积的最大值;(3)过点A作两条斜率分别为k1,k2的直线交椭圆M于D,E两点,且k1k21,求证:直线DE过定点解:(1)由APOP,可知kAPkOP1.又点A的坐标为(a,0),所以1,解得a1.又因为椭圆M过点P,所以1,解得b2,所以椭圆M的方程为x21.(2)由题意易求直线AP的方程为,即xy10.因为点Q在椭圆M上,故可设Q,又|AP|,所以SAPQ cos1 .当2k(kZ),即2k(kZ)时,SAPQ取得最大值.(3)证明:法一:由题意易得,直线AD的方程为yk1(x1),代入x23y21,消去y,得(3k1)x26kx3k10.设D(xD,yD),则(1)xD,即xD,yDk1.设E(xE,yE),同理可得xE,yE.又k1k21且k1k2,可得k2且k11,所以xE,yE,所以kDE,故直线DE的方程为y.令y0,可得x2.故直线DE过定点(2,0)法二:设D(xD,yD),E(xE,yE)若直线DE垂直于y轴,则xExD,yEyD,此时k1k2与题设矛盾,若DE不垂直于y轴,可设直线DE的方程为xtys,将其代入x23y21,消去x,得(t23)y22tsys210,则yDyE,yDyE.又k1k21,可得(t21)yDyEt(s1)(yDyE)(s1)20,所以(t21)t(s1)(s1)20,可得s2或s1.又DE不过点A,即s1,所以s2.所以DE的方程为xty2.故直线DE过定点(2,0)7(2018南昌模拟)如图,已知直线l:ykx1(k0)关于直线yx1对称的直线为l1,直线l,l1与椭圆E:y21分别交于点A,M和A,N,记直线l1的斜率为k1. (1)求kk1的值;(2)当k变化时,试问直线MN是否恒过定点?若恒过定点,求出该定点坐标;若不恒过定点,请说明理由解:(1)设直线l上任意一点P(x,y)关于直线yx1对称的点为P0(x0,y0),直线l与直线l1的交点为(0,1),l:ykx1,l1:yk1x1,k,k1,由1,得yy0xx02,由1,得yy0x0x,由得kk11.(2)由得(4k21)x28kx0,设M(xM,yM),N(xN,yN),xM,yM.同理可得xN,yN.kMN,直线MN:yyMkMN(xxM),即y,即yxx.当k变化时,直线MN过定点.8(2019届高三湘东五校联考)已知椭圆C的中心在原点,离心率等于,它的一个短轴端点恰好是抛物线x28y的焦点(1)求椭圆C的方程;(2)如图,已知P(2,3),Q(2,3)是椭圆上的两点,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值;当A,B运动时,满足APQBPQ,试问直线AB的斜率是否为定值?请说明理由解:(1)设椭圆C的方程为1(ab0),抛物线的焦点为(0,2)b2.由,a2c2b2,得a4,椭圆C的方程为1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)设直线AB的方程为yxt,代入1,得x2txt2120,由0,解得4t4,x1x2t,x1x2t212,|x1x2|.四边形APBQ的面积S6|x1x2|3.当t0时,S取得最大值,且Smax12.若APQBPQ,则直线PA,PB的斜率之和为0,设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为k,直线PA的方程为y3k(x2),由消去y,得(34k2)x28k(32k)x4(32k)2480,x12,将k换成k可得x22,x1x2,x1x2,kAB,直线AB的斜率为定值.
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