（通用版）2019版高考数学二轮复习 第一部分 第二层级 重点增分 专题五 三角恒等变换与解三角形讲义 理（普通生含解析）.doc

重点增分专题五三角恒等变换与解三角形全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷2018正、余弦定理的应用T17二倍角公式及余弦定理T6二倍角公式T4同角三角函数关系及两角和的正弦公式T15三角形的面积公式及余弦定理T92017正、余弦定理、三角形的面积公式及两角和的余弦公式T17余弦定理、三角恒等变换及三角形的面积公式T17余弦定理、三角形的面积公式T172016正、余弦定理、三角形面积公式、两角和的正弦公式T17诱导公式、三角恒等变换、给值求值问题T9同角三角函数的基本关系、二倍角公式T5正弦定理的应用、诱导公式T13利用正、余弦定理解三角形T8(1)高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现(2)若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第49或第1315题位置上(3)若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等 保分考点练后讲评大稳定1.()AB1C. D1解析：选D原式22 2sin 301.故选D.2.(2018全国卷)若sin ，则cos 2()A. B.C D解析：选Bsin ，cos 212sin2122.故选B.3.已知sin ，sin()，均为锐角，则角等于()A. B.C. D.解析：选C0，0，.sin()，sin ，cos()，cos ，cos cos()cos cos()sin sin()，.解题方略三角函数求值的类型及方法给角求值解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形给值求值给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的给值求角实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围 小创新1.已知sin()，sin()，则log 2等于()A2 B3C4 D5解析：选C因为sin()，sin()，所以sin cos cos sin ， sin cos cos sin ，所以sin cos ，cos sin ，所以5，所以log2log524.故选C.2.已知tan 2，函数f(x)sin(x)sin(x)2sin ，且对任意的实数x，不等式f(x)0恒成立，则sin的值为()A BC D解析：选A由tan 2，即，得tan 或tan 3.又f(x)sin(x)sin(x)2sin 2cos xsin 2sin 0恒成立，所以sin 0，tan 3，sin ，cos ，所以sinsin coscos sin，故选A.3.设向量a(cos ，1)，b(2，sin )，若ab，则tan_.解析：a(cos ，1)，b(2，sin )，ab，2cos sin 0，tan 2，tan.答案： 分点研究题型一利用正、余弦定理进行边、角计算例1(2018石家庄质检)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tan Atan B.(1)求角A的大小；(2)设D为AC边上一点，且BD5，DC3，a7，求c.解(1)在ABC中，tan Atan B，即，则tan A，又0A，A.(2)由BD5，DC3，a7，得cosBDC，又0BDC，bc(，2变式2若本例(2)变为：ADBC，且a，求AD的取值范围解：SABCADBCbcsin A，ADbc.由余弦定理得cos A，0bc3(当且仅当bc时等号成立)，0AD，即AD的取值范围为.解题方略正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理注意应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”题型二利用正、余弦定理进行面积计算例2(2018郑州第二次质量预测)已知ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2R(sin2Bsin2A)(bc)sin C，c3.(1)求A；(2)若AD是BC边上的中线，AD，求ABC的面积解(1)对于2R(sin2Bsin2A)(bc)sin C，由正弦定理得，bsin Basin Absin Ccsin C，即b2a2bcc2，所以cos A.因为0A180，所以A60.(2)以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，连接DE，易知A，D，E三点共线在ABE中，ABE120，AE2AD，由余弦定理得AE2AB2BE22ABBEcos 120，即199AC223AC，解得AC2.故SABCbcsinBAC.解题方略三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用含该角的公式(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化题型三正、余弦定理的实际应用例3如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20的方向上，仰角为60；在点B处测得塔顶C在东偏北40的方向上，仰角为30.若A，B两点相距130 m，则塔的高度CD_m.解析设CDh，则AD，BDh.在ADB中，ADB1802040120，则由余弦定理AB2BD2AD22BDADcos 120，可得13023h22h，解得h10，故塔的高度为10 m.答案10解题方略解三角形实际应用问题的步骤多练强化1(2018全国卷)在ABC中，cos，BC1，AC5，则AB()A4B.C. D2解析：选Acos，cos C2cos21221.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos C521225132，AB4.2甲船从位于海岛B正南10海里的A处，以4海里/时的速度向海岛B行驶，同时乙船从海岛B以6海里/时的速度向北偏东60方向行驶，当两船相距最近时，两船行驶的时间为_小时解析：如图，设经过x小时后，甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，则AD4x，BC6x，则BD104x，由余弦定理得，CD2(104x)2(6x)22(104x)6xcos 12028x220x100282.若甲船行驶2.5小时，则甲船到达海岛B，因而若x，因而当两船相距最近时，两船行驶的时间为小时答案：3(2018南宁摸底)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c(1cos B)b(2cos C)(1)求证：2bac；(2)若B，ABC的面积为4，求b.解：(1)证明：c(1cos B)b(2cos C)，由正弦定理可得sin Csin Ccos B2sin Bsin Bcos C，可得sin Ccos Bsin B cos Csin C2sin B，sin(BC)sin C2sin B，sin Asin C2sin B，ac2b.(2)B，ABC的面积Sacsin Bac4，ac16.由余弦定理可得b2a2c22accos Ba2c2ac(ac)23ac.ac2b，b24b2316，解得b4. 解三角形与三角函数的交汇问题 典例如图，在ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，且AC10，BC15.(1)求ABC的面积；(2)已知平面直角坐标系xOy中点D(10,0)，若函数f(x)Msin(x)M0，0，|的图象经过A，C，D三点，且A，D为f(x)的图象与x轴相邻的两个交点，求f(x)的解析式解(1)在ABC中，由角B，A，C成等差数列，得BC2A，又ABC，所以A.设角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理可知a2b2c22bccos ，所以c210c1250，解得cAB55.因为CO10sin 5，所以SABC(55)5(3)(2)因为AO10cos 5，所以函数f(x)的最小正周期T2(105)30，故.因为f(5)Msin0，所以sin0，所以k，kZ.因为|，所以.因为f(0)Msin 5，所以M10，所以f(x)10sin.解题方略解三角形与三角函数交汇问题一般步骤多练强化(2019届高三辽宁五校协作体联考)已知函数f(x)cos2xsin(x)cos(x).(1)求函数f(x)在0，上的单调递减区间；(2)在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)1，a2，bsin Casin A，求ABC的面积解：(1)f(x)cos2xsin xcos xsin 2xsin，由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，又x0，函数f(x)在0，上的单调递减区间为0，和.(2)由(1)知f(x)sin，f(A)sin1，ABC为锐角三角形，0A，2A，2A，即A.又bsin Casin A，bca24，SABCbcsin A.数学建模解三角形的实际应用典例为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100 m，BAC60，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s，在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30.(1)求A，C两地间的距离；(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC.(已知声音的传播速度为340 m/s)解(1)设BCx m，由条件可知ACx340(x40)m.在ABC中，由余弦定理，可得BC2AB2AC22ABACcosBAC，即x21002(x40)22100(x40)，解得x380.所以AC38040420(m)，故A，C两地间的距离为420 m.(2)在RtACH中，AC420，HAC30，所以HCACtan 30420140，故这种仪器的垂直弹射高度为140 m.素养通路数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题本题中把求A，C两地间的距离问题建立数学模型，在ABC中，通过解三角形求AC的长，把求高度HC建立数学模型，在RtACH中，通过解三角形求HC的长考查了数学建模这一核心素养