(通用版)2019版高考数学二轮复习 第一部分 第二层级 重点增分 专题四 三角函数的图象与性质讲义 理(普通生含解析).doc

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重点增分专题四三角函数的图象与性质全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷2018三角函数的最值及导数T16三角函数单调性的应用T10三角函数的零点问题T152017三角函数的图象变换T9三角函数的最值T14余弦函数的图象与性质T62016三角函数的图象变换与对称性T7三角函数的图象变换T14(1)高考命题的热点主要集中于三角函数的定义、图象与性质,主要考查图象的变换,函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值,并常与三角恒等变换交汇命题(2)高考对此部分内容主要以选择题、填空题的形式考查,难度为中等偏下,大多出现在第612或1416题位置上 三角函数的定义、诱导公式及基本关系 大稳定1.在平面直角坐标系中,以x轴的非负半轴为角的始边,角,的终边分别与单位圆交于点和,则sin()()AB.C D.解析:选D因为角,的终边分别与单位圆交于点和,所以sin ,cos ,sin ,cos ,所以sin()sin cos cos sin .2.若tan ,则sin4cos4的值为()A BC. D.解析:选Btan ,sin4cos4(sin2cos2)(sin2cos2)sin2cos2.3.设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)sin x当0x0,当26n49时,an0;当76n99时,an0.2.某一算法程序框图如图所示,则输出的S的值为()A. BC. D0解析:选A由已知程序框图可知,该程序的功能是计算Ssin sin sin sin的值因为sin ,sin sinsin ,sin sin 0,sin sinsin ,sin sinsin ,sin sin 20,而sin sinsin ,sin sinsin ,sin sin(2)sin ,所以函数值呈周期性变化,周期为6,且sin sin sin sin sin sin 0.而2 01763361,所以输出的S3360sin .故选A.3.九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作,其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积(弦矢矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为,半径等于4 m的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是()A6 m2 B9 m2C12 m2 D15 m2解析:选B如图,由题意可得AOB,OA4,在RtAOD中,可得AOD,DAO,ODAO42,于是矢422.由ADAOsin 42,可得弦长AB2AD224.所以弧田面积(弦矢矢2)(4222)429(m2)故选B. 题型一由“图”定“式”例1(1)已知函数f(x)Asin(x)(A0,0,00,0,0)的图象与x轴的一个交点到其相邻的一条对称轴的距离为,若f,则函数f(x)在上的最小值为()A.BC D解析(1)由题图可知,函数图象上两个相邻的最值点分别为最高点,最低点,所以函数的最大值为2,即A2.由图象可得,x,x为相邻的两条对称轴,所以函数的周期T24,故4,解得.所以f(x)2sin.把点代入可得2sin2,即sin1,所以2k(kZ),解得2k(kZ)又0,所以.所以f(x)2sin,故选B.(2)由题意得,函数f(x)的最小正周期T4,解得2.因为点在函数f(x)的图象上,所以Asin0,解得k,kZ,由00,0)中参数的值,关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系,其基本依据就是“五点法”作图(1)最值定A,B:根据给定的函数图象确定最值,设最大值为M,最小值为m,则MAB,mAB,解得B,A.(2)T定:由周期的求解公式T,可得.(3)点坐标定:一般运用代入法求解值,注意在确定值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口,即“峰点”“谷点”与三个“中心点”题型二三角函数的图象变换例2(1)(2019届高三湘东五校联考)将函数f(x)sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,所得图象的一条对称轴的方程可能是()Ax BxCx Dx(2)(2018郑州第一次质量测试)若将函数f(x)3sin(2x)(0)图象上的每一个点都向左平移个单位长度,得到g(x)的图象,若函数g(x)是奇函数,则函数g(x)的单调递增区间为()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)解析(1)依题意知,将函数f(x)sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得函数g(x)sin的图象令xk,kZ,得x2k,kZ,当k0时,所得函数图象的一条对称轴的方程为x,故选D.(2)由题意知g(x)3sin3sin,因为g(x)是奇函数,所以k(kZ),即k(kZ),又00,左移;0,上移;k0,下移伸缩变换由yf(x)变为yf(x)时,点的纵坐标不变,横坐标变为原来的倍由yf(x)变为yAf(x)时,点的横坐标不变,纵坐标变为原来的|A|倍 增分考点讲练冲关典例(1)(2018全国卷)已知函数f(x)2cos2xsin2x2,则()Af(x)的最小正周期为,最大值为3Bf(x)的最小正周期为,最大值为4Cf(x)的最小正周期为2,最大值为3Df(x)的最小正周期为2,最大值为4(2)设函数f(x)cos(x)(0,所以00)的单调区间时,令xz,得yAsin z(或yAcos z),然后由复合函数的单调性求得(2)图象法:画出三角函数的图象,结合图象求其单调区间2判断对称中心与对称轴的方法利用函数yAsin(x)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点这一性质,通过检验f(x0)的值进行判断3求三角函数周期的常用结论(1)yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为,ytan(x)的最小 正周期为.(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期;正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期多练强化1若函数f(x)sin(2x)cos(2x)(0)的图象关于中心对称,则函数f(x)在上的最小值是()A1 BC D解析:选Bf(x)2sin,又图象关于中心对称,所以2k(kZ),所以k(kZ),又0,所以,所以f(x)2sin 2x,因为x,所以2x,f(x),2,所以f(x)的最小值是.2(2018济南模拟)已知函数f(x)sin(x)cos(x)的最小正周期为,且ff(x),则()Af(x)在上单调递减Bf(x)在上单调递增Cf(x)在上单调递增Df(x)在上单调递减解析:选D因为f(x)sin(x)cos(x)2sin的最小正周期为,所以,所以2.因为ff(x),所以直线x是f(x)图象的一条对称轴,所以2k,kZ,所以k,kZ,因为|0)的最小正周期为.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数yg(x)的图象,若yg(x)在0,b(b0)上至少含有10个零点,求b的最小值解(1)f(x)2sin xcos x(2sin2x1)sin 2xcos 2x2sin.由最小正周期为,得1,所以f(x)2sin,由2k2x2k,kZ,得kxk,kZ,所以函数f(x)的单调递增区间是,kZ.(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到y2sin 2x1的图象,所以g(x)2sin 2x1.令g(x)0,得xk或xk(kZ),所以在0,上恰好有两个零点,若yg(x)在0,b上有10个零点,则b不小于第10个零点的横坐标即可所以b的最小值为4.解题方略解决三角函数图象与性质综合问题的思路(1)先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成yAsin(x)B(一角一函数)的形式;(2)把“x”视为一个整体,借助复合函数性质求yAsin(x)B的单调性、奇偶性、最值、对称性等问题多练强化(2017山东高考)设函数f(x)sinsin,其中03.已知f0.(1)求;(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数yg(x)的图象,求g(x)在上的最小值解:(1)因为f(x)sinsin,所以f(x)sin xcos xcos xsin xcos xsin.因为f0,所以k,kZ.故6k2,kZ.又00,|的图象如图所示,为了得到g(x)cos的图象,则只需将f(x)的图象()A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度解析根据函数f(x)sin(x)的部分图象知,T,即,解得2.根据“五点作图法”并结合|0,的部分图象如图所示,则的值为()A B.C D.解析:选B由题意,得,所以T,由T,得2,由图可知A1,所以f(x)sin(2x)又fsin0,所以.3(2019届高三西安八校联考)已知函数f(x)cos(x)(0)在x时取得最小值,则f(x)在0,上的单调递增区间是()A. B.C. D.解析:选A因为0,所以0)在区间上单调递增,则的取值范围为()A. B.C. D.解析:选B法一:因为x,所以x,因为函数f(x)sin(0)在区间上单调递增,所以即又0,所以0,选B.法二:取1,fsinsin 0,fsinsin 1,fsinsin ,不满足题意,排除A、C、D,选B.二、填空题7(2018惠州调研)已知tan ,且,则cos_.解析:法一:cossin ,由知为第三象限角,联立得5sin21,故sin .法二:cossin ,由知为第三象限角,由tan ,可知点(2,1)为终边上一点,由任意角的三角函数公式可得sin .答案:8已知函数f(x)sin(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点为P,在原点右侧与x轴的第一个交点为Q,则f的值为_解析:由题意得,所以T,所以2,将点P代入f(x)sin(2x),得sin1,所以2k(kZ)又|0,0)的最小值为1,其图象相邻两个最高点之间的距离为.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设,f2,求的值解:(1)函数f(x)的最小值为1,A11,即A2.函数f(x)的图象的相邻两个最高点之间的距离为,函数f(x)的最小正周期T,2,故函数f(x)的解析式为f(x)2sin1.(2)f2sin12,sin.0,0),函数f(x)mn,直线xx1,xx2是函数yf(x)的图象的任意两条对称轴,且|x1x2|的最小值为.(1)求的值;(2)求函数f(x)的单调递增区间解:(1)因为向量m(2sin x,sin x),n(cos x,2sin x)(0),所以函数f(x)mn2sin xcos xsin x(2sin x)sin 2x2sin2x sin 2xcos 2x2sin.因为直线xx1,xx2是函数yf(x)的图象的任意两条对称轴,且|x1x2|的最小值为,所以函数f(x)的最小正周期为2,即,得1.(2)由(1)知,f(x)2sin,令2k2x2k(kZ),解得kxk(kZ),所以函数f(x)的单调递增区间为(kZ)2.已知函数f(x)sin 2xcos4xsin4x1(01),若点是函数f(x)图象的一个对称中心(1)求f(x)的解析式,并求距y轴最近的一条对称轴的方程;(2)先列表,再作出函数f(x)在区间,上的图象解:(1)f(x)sin 2x(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)1sin 2xcos 2x12sin1.点是函数f(x)图象的一个对称中心,k,kZ,3k,kZ.01,k0,f(x)2sin1.由xk,kZ,得xk,kZ,令k0,得距y轴最近的一条对称轴方程为x.(2)由(1)知,f(x)2sin1,当x,时,列表如下:x0xf(x)011310则函数f(x)在区间,上的图象如图所示3(2018山东师大附中模拟)已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示(1)求函数yf(x)的解析式;(2)说明函数yf(x)的图象可由函数ysin 2xcos 2x的图象经过怎样的平移变换得到;(3)若方程f(x)m在上有两个不相等的实数根,求m的取值范围解:(1)由题图可知,A2,T4,2,f(x)2sin(2x),f0,sin0,k,kZ,即k,kZ.|,f(x)2sin.(2)ysin 2xcos 2x2sin2sin,故将函数ysin 2xcos 2x的图象向左平移个单位长度就得到函数yf(x)的图象(3)当x0时,2x,故2f(x),若方程f(x)m在上有两个不相等的实数根,则曲线yf(x)与直线ym在上有2个交点,结合图形,易知2m.故m的取值范围为(2,4已知函数f(x)sin(x)图象的相邻两对称轴之间的距离为,且在x时取得最大值1.(1)求函数f(x)的解析式;(2)当x时,若方程f(x)a恰好有三个根,分别为x1,x2,x3,求x1x2x3的取值范围解:(1)由题意,T2,故2,所以sinsin1,所以2k,kZ,所以2k,kZ.因为0,所以,所以f(x)sin.(2)画出该函数的图象如图,当a1时,方程f(x)a恰好有三个根,且点(x1,a)和(x2,a)关于直线x对称,点(x2,a)和(x3,a)关于直线x对称,所以x1x2,x3,所以x1x2x3,故x1x2x3的取值范围为.
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