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重点增分专题十四 坐标系与参数方程全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷2018极坐标与直角坐标的互化、曲线方程的求解参数方程与直角坐标方程的互化、参数方程的应用参数方程与普通方程的互化、参数方程的应用2017参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法2016参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用、直线与圆的位置关系参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值(1)坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用(2)全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用 保分考点练后讲评1.(2018全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos 30.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程解：(1)由xcos ，ysin 得C2的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圆心为A(1,0)，半径为2的圆由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以2，故k或k0.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以2，故k0或k.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l2与C2没有公共点综上，所求C1的方程为y|x|2.2.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x)2(y2)24，直线C2的方程为yx，以O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系求曲线C1和直线C2的极坐标方程解：曲线C1的普通方程为(x)2(y2)24，即x2y22x4y30，曲线C1的极坐标方程为22cos 4sin 30.直线C2的方程为yx，直线C2的极坐标方程为(R)3.(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值解：(1)设P的极坐标为(，)(0)，M的极坐标为(1，)(10)由题设知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16，得C2的极坐标方程4cos (0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)，由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB面积S|OA|BsinAOB4cos sin2.当时，S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.解题方略1直角坐标与极坐标方程的互化(1)直角坐标方程化极坐标方程时，可以直接将xcos ，ysin 代入即可(2)极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造2，sin ，cos ，常用的技巧有式子两边同乘以，两角和与差的正弦、余弦展开等2求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用；(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标. 保分考点练后讲评1.在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为sin2cos 0，M.以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系斜率为1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点求曲线C和直线l的参数方程解：由sin2cos 0得2sin2cos ，y2x，故曲线C的直角坐标方程为y2x.故曲线C的参数方程为(t为参数)，由题意，M的直角坐标为(0,1)，则直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)2.(2018全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率解：(1)曲线C的直角坐标方程为1.当cos 0时，l的直角坐标方程为ytan x2tan ，当cos 0时，l的直角坐标方程为x1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1t20.又由得t1t2，故2cos sin 0，于是直线l的斜率ktan 2.解题方略参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法(2)三角恒等式法：利用sin2cos21消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法(3)常见消参数的关系式：t1；224；221. 极坐标与参数方程的综合应用 分点研究题型一直线的参数方程中参数几何意义的应用例1(2019届高三湖北五校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a,1)，其参数方程为(t为参数，aR)以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos24cos 0.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|PA|2|PB|，求实数a的值解(1)曲线C1的参数方程为(t为参数，aR)，曲线C1的普通方程为xya10.曲线C2的极坐标方程为cos24cos 0，2cos24cos 20，又cos x，2x2y2，x24xx2y20，即曲线C2的直角坐标方程为y24x.(2)设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，由得t22t28a0.(2)24(28a)0，即a0，根据参数方程中参数的几何意义可知|PA|t1|，|PB|t2|，由|PA|2|PB|得t12t2或t12t2，当t12t2时，有解得a0，符合题意，当t12t2时，有解得a0，符合题意综上所述，a或a.变式1本例(2)的条件变为|PA|PB|6.求实数a的值解：由本例解析知|PA|PB|t1|t2|t1t2|28a|6，解得a1或.又a0，a1.变式2若本例曲线C1变为过点P(0，1)，其参数方程为(t为参数)，其他条件不变，求|PA|PB|.解：曲线C1的参数方程化为代入曲线C2的方程y24x得t26t20.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t10，t20.|PA|PB|t1|t2|t1t2|6.解题方略利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0；(2)|PM|t0|；(3)|AB|t2t1|；(4)|PA|PB|t1t2|.题型二极坐标方程中极径几何意义的应用例2在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是2sin3，射线OM：与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长解(1)由圆C的参数方程为(为参数)，可得圆C的直角坐标方程为(x1)2y21，即x2y22x0.由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可得，圆C的极坐标方程为2cos .(2)由得P，由得Q，结合图可得|PQ|OQ|OP|Q|P|312.解题方略极径的几何意义及其应用(1)几何意义：极径表示极坐标平面内点M到极点O的距离(2)应用：一般应用于过极点的直线与曲线相交，所得的弦长问题，需要用极径表示出弦长，结合根与系数的关系解题多练强化1(2019届高三湖北八校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2的距离的最大值，并求此时点P的坐标解：(1)曲线C1的普通方程为y21，由sin，得sin cos 2，得曲线C2的直角坐标方程为xy20.(2)设点P的坐标为(cos ，sin )，则点P到C2的距离为，当sin1，即2k(kZ)，2k(kZ)时，所求距离最大，最大值为2，此时点P的坐标为.2(2018南昌模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C的极坐标方程；(2)若直线l1，l2的极坐标方程分别为1(1R)，2(2R)，设直线l1，l2与曲线C的交点分别为O，M和O，N，求OMN的面积解：(1)由参数方程得普通方程为x2(y2)24，把代入x2(y2)24，得24sin 0.所以曲线C的极坐标方程为4sin .(2)由直线l1：1(1R)与曲线C的交点为O，M，得|OM|4sin2.由直线l2：2(2R)与曲线C的交点为O，N，得|ON|4sin 2.易知MON，所以SOMN|OM|ON|222. 1在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为4cos ，.(1)求半圆C的参数方程；(2)若半圆C与圆D：(x5)2(y)2m(m是常数，m0)相切，试求切点的直角坐标解：(1)半圆C的普通方程为(x2)2y24(0y2)，则半圆C的参数方程为(t为参数，0t)(2)C，D的圆心坐标分别为(2,0)，(5，)，于是直线CD的斜率k.由于切点必在两个圆心的连线上，故切点对应的参数t满足tan t，t，所以切点的直角坐标为，即(2，1)2(2018贵阳摸底考试)曲线C的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos.(1)写出C的普通方程，并用(为直线的倾斜角，t为参数)的形式写出直线l的一个参数方程；(2)l与C是否相交？若相交，求出两交点的距离，若不相交，请说明理由解：(1)C的普通方程为y21，由cos得xy20，则直线l的倾斜角为，又直线l过点(2,0)，得直线l的一个参数方程为(t为参数)(2)将l的参数方程代入C的普通方程得5t24t0，解得t10，t2，显然l与C有两个交点，分别记为A，B，且|AB|t1t2|.3在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos3.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标解：(1)曲线C1的参数方程为(为参数)，普通方程为x21，曲线C2的极坐标方程为cos3，即cos sin 60，直角坐标方程为xy60.(2)设P(cos ，sin )，则|PQ|的最小值为P到xy60距离，即，当且仅当2k(kZ)时，|PQ|取得最小值2，此时P.4(2018贵阳适应性考试)在平面直角坐标系xOy中，曲线C：(为参数)，在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为 cos1.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)过点M(1,0)且与直线l平行的直线l1交曲线C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之和解：(1)曲线C的普通方程为y21，由cos1，得cos sin 2，所以直线l的直角坐标方程为xy20.(2)直线l1的参数方程为(t为参数)，将其代入y21中，化简得2t2t20，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t2，t1t21，所以|MA|MB|t1|t2|t1t2|.5(2018福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，直线C2的方程为yx.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求.解：(1)由曲线C1的参数方程为(为参数)，得曲线C1的普通方程为(x2)2(y2)21，则C1的极坐标方程为24cos 4sin 70，由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为(R)(tan )(2)由得2(22)70，设A，B对应的极径分别为1，2，则1222，127，.6极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线C1的极坐标方程为4cos ，曲线C2的参数方程为(t为参数，0)，射线，与曲线C1交于(不包括极点O)三点A，B，C.(1)求证：|OB|OC|OA|；(2)当时，B，C两点在曲线C2上，求m与的值解：(1)证明：设点A，B，C的极坐标分别为(1，)，因为点A，B，C在曲线C1上，所以14cos ，24cos，34cos，所以|OB|OC|234cos4cos4cos 1，故|OB|OC|OA|.(2)由曲线C2的方程知曲线C2是经过定点(m,0)且倾斜角为的直线当时，B，C两点的极坐标分别为2，2，化为直角坐标为B(1，)，C(3，)，所以tan ，又0，所以.故曲线C2的方程为y(x2)，易知曲线C2恒过点(2,0)，即m2.7在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，其中0，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1：4cos .直线l与曲线C1相切(1)将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，并求的值(2)已知点Q(2,0)，直线l与曲线C2：x21交于A，B两点，求ABQ的面积解：(1)曲线C1：4cos ，即24cos ，化为直角坐标方程为x2y24x，即C1：(x2)2y24，可得圆心(2,0)，半径r2，直线l的参数方程为(t为参数)，其中0，由题意l与C1相切，可得普通方程为yk(x1)，ktan ，0且，因为直线l与曲线C1相切，所以2，所以k，所以.(2)直线l的方程为yx，代入曲线C2：x21，整理可得10x24x50，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以|AB|，Q到直线的距离d2，所以ABQ的面积S2.8已知直线L的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.(1)求直线L的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(2)过曲线C上任意一点P作与直线L夹角为的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值解：(1)由(t为参数)，得L的普通方程为2xy60，令xcos ，ysin ，得直线L的极坐标方程为2cos sin 60，由曲线C的极坐标方程，知232cos24，所以曲线C的直角坐标方程为x21.(2)由(1)，知直线L的普通方程为2xy60，设曲线C上任意一点P(cos ，2sin )，则点P到直线L的距离d.由题意得|PA|，所以当sin1时，|PA|取得最大值，最大值为.
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