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2.2.3独立重复试验与二项分布学习目标1.理解n次独立重复试验的模型.2.掌握二项分布公式.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题知识点一独立重复试验思考1要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验其前提是什么？答案条件相同思考2试验结果有哪些？答案正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生思考3各次试验的结果有无影响？答案无，即各次试验相互独立梳理(1)定义：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验(2)基本特征：每次试验是在同样条件下进行每次试验都只有两种结果：发生与不发生各次试验之间相互独立每次试验，某事件发生的概率都是一样的知识点二二项分布在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用Ai(i1,2,3)表示第i次投篮命中这个事件，用Bk表示仅投中k次这个事件思考1用Ai如何表示B1，并求P(B1)答案B1(A12 3)(1A23)(1 2A3)，因为P(A1)P(A2)P(A3)0.8，且A12 3，1A23，1 2A3两两互斥，故P(B1)0.80.220.80.220.80.2230.80.220.096.思考2试求P(B2)和P(B3)答案P(B2)30.20.820.384，P(B3)0.830.512.思考3由以上问题的结果你能得出什么结论？答案P(Bk)C0.8k0.23k(k0,1,2,3)梳理在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率1有放回地抽样试验是独立重复试验()2在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互没有影响()3在n次独立重复试验中，各次试验中事件发生的概率可以不同()4如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.()类型一独立重复试验的概率例1甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响(结果需用分数作答)(1)求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率考点独立重复试验的计算题点n次独立重复试验中恰好发生k次的概率解(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，知射击3次，相当于3次独立重复试验，故P(A1)1P(1)13.(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P(A2)C2，P(B2)C1，由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2).引申探究1在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率解记“甲击中目标1次”为事件A3，“乙击中目标1次”为事件B3，则P(A3)C，P(B3)，所以甲、乙均击中目标1次的概率为P(A3B3).2在本例(2)的条件下，求甲未击中，乙击中2次的概率解记“甲未击中目标”为事件A4，“乙击中2次”为事件B4，则P(A4)C2，P(B4)C2，所以甲未击中、乙击中2次的概率为P(A4B4).反思与感悟独立重复试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆(3)计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算跟踪训练1某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率；(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率考点独立重复试验的计算题点n次独立重复试验中恰好发生k次的概率解(1)记“预报一次准确”为事件A，则P(A)0.8，5次预报相当于5次独立重复试验“恰有2次准确”的概率为PC0.820.230.051 20.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”其概率为PC(0.2)5C0.80.240.006 72.所以所求概率为1P10.006 720.99.所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.类型二二项分布例2已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的(1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的分布列；(2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率考点二项分布的计算及应用题点求二项分布的分布列解(1)由题意，得随机变量X可能取值为0,1,2,3，则XB.即P(X0)C03，P(X1)C12，P(X2)C21，P(X3)C3.所以X的分布列为X0123P(2)第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验又是相互独立的，因此所求概率为PC33.反思与感悟(1)当X服从二项分布时，应弄清XB(n，p)中的试验次数n与成功概率p.(2)解决二项分布问题的两个关注点对于公式P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，必须在满足“独立重复试验”时才能应用，否则不能应用该公式判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次跟踪训练2某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列考点二项分布的计算及应用题点求二项分布的分布列解由题意可知XB，所以P(Xk)Ck3k，k0,1,2,3，即P(X0)C03；P(X1)C2；P(X2)C2；P(X3)C3.所以X的分布列为X0123P类型三二项分布的综合应用例3一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数的分布列；(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率考点二项分布的计算及应用题点二项分布的实际应用解(1)由B，则P(k)Ck5k，k0,1,2,3,4,5.即P(0)C05；P(1)C4；P(2)C23；P(3)C32；P(4)C4；P(5)C5.故的分布列为012345P(2)的分布列为P(k)P(前k个是绿灯，第k1个是红灯)k，k0,1,2,3,4，即P(0)0；P(1)；P(2)2；P(3)3；P(4)4；P(5)P(5个均为绿灯)5.故的分布列为012345P(3)所求概率为P(1)1P(0)15.反思与感悟对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是AB还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别应用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解跟踪训练3一个口袋内有n(n3)个大小相同的球，其中3个红球和(n3)个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p.若6pN，有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球)，在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于，求p与n的值考点二项分布的计算及应用题点二项分布的实际应用解由题设知，Cp2(1p)2.p(1p)0，不等式化为p(1p)，解得p，故26p4.又6pN，6p3，即p.由，得n6.1某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是()A. B. C. D.考点独立重复试验的计算题点n次独立重复试验中恰好发生k次的概率答案B解析播下3粒种子恰有2粒发芽的概率为C2.2某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X3)等于()AC2 BC2C.2 D.2考点独立重复试验的计算题点用独立重复试验的概率公式求概率答案C解析P(X3)2.3在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是()A0.4,1 B(0,0.4C(0,0.6 D0.6,1考点独立重复试验的计算题点n次独立重复试验概率的应用答案A解析由题意知Cp(1p)3Cp2(1p)2，解得p0.4，故选A.4设XB(2，p)，若P(X1)，则p_.考点二项分布的计算及应用题点二项分布的实际应用答案解析因为XB(2，p)，所以P(Xk)Cpk(1p)2k，k0,1,2.所以P(X1)1P(X1)1P(X0)1Cp0(1p)21(1p)2.所以1(1p)2，结合0p1，解得p.5甲队有3人参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分假设甲队中每人答对的概率均为，且各人答对正确与否相互之间没有影响用表示甲队的总得分，求随机变量的分布列考点二项分布的计算及应用题点求二项分布的分布列解由题意知，的可能取值为0,1,2,3，且P(0)C3，P(1)C2，P(2)C2，P(3)C3，所以的分布列为0123P1独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验的结果是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生2如果1次试验中某事件发生的概率是p，那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为Pn(k)Cpk(1p)nk.此概率公式恰为(1p)pn展开式的第k1项，故称该公式为二项分布公式一、选择题1若XB(10,0.8)，则P(X8)等于()AC0.880.22 BC0.820.28C0.880.22 D0.820.28考点二项分布的计算及应用题点利用二项分布求概率答案A2某学生通过英语听力测试的概率为，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是()A. B.C. D.考点独立重复试验的计算题点n次独立重复试验中恰好发生k次的概率答案B解析记“恰有1次获得通过”为事件A，则P(A)C2.3一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率是()A. B. C. D.考点独立重复试验的计算题点n次独立重复试验概率的应用答案B解析设此射手的命中概率为x，则不能命中的概率为1x，由题意知4次射击全部没有命中目标的概率为1，有(1x)4，解得x或x(舍去)4甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局比赛都结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以31的比分获胜的概率为()A. B. C. D.考点独立重复试验的计算题点n次独立重复试验中恰好发生k次的概率答案A解析当甲以31的比分获胜时，说明甲乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两局，乙赢了一局，第四局甲赢，所以甲以31的比分获胜的概率为PC23，故选A.5位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是()A.5 BC5CC3 DCC5考点独立重复试验的计算题点n次独立重复试验概率的应用答案B解析如图，由题意可知，质点P必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5次重复试验中向右恰好发生2次的概率，所求概率为PC23C5.故选B.6设随机变量B(2，p)，B(3，p)，若P(1)，则P(2)的值为()A. B. C. D.考点二项分布的计算及应用题点利用二项分布求概率答案C解析易知P(0)C(1p)21，p，则P(2)Cp3Cp2(1p)1.7已知XB，则使P(Xk)最大的k的值是()A2 B3 C2或3 D4考点二项分布的计算及应用题点二项分布的实际应用答案B解析P(Xk)Ck6kC6，当k3时，C6最大8箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为()A.3 B.C. DC3考点独立重复试验的计算题点用独立重复试验的概率公式求概率答案A解析由题意知前3次取出的均为黑球，第4次取得的为白球故其概率为3.二、填空题9从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为_考点独立重复试验的计算题点n次独立重复试验中恰好发生k次的概率答案0.048 6解析PC(0.1)2(10.1)20.048 6.10已知实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是，没有平局若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率为_考点独立重复试验的计算题点n次独立重复试验概率的计算答案解析实验女排要获胜必须赢得两局，故获胜的概率为P2.11在等差数列an中，a42，a74，现从an的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为_考点独立重复试验的计算题点n次独立重复试验概率的应用答案解析由已知可求得通项公式为an102n(n1,2,3，)，其中a1，a2，a3，a4为正数，a50，a6，a7，a8，a9，a10为负数，从中取一个数为正数的概率为，为负数的概率为.取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C21.三、解答题12某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的4棵大树中，(1)至少有1棵成活的概率；(2)两种大树各成活1棵的概率考点独立重复试验的计算题点n次独立重复试验概率的应用解设Ak表示第k棵甲种大树成活，k1,2，Bl表示第l棵乙种大树成活，l1,2，则A1，A2，B1，B2相互独立，且P(A1)P(A2)，P(B1)P(B2).(1)至少有1棵成活的概率为1P(1212)1P(1)P(2)P(1)P(2)122.(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知，所求概率为PCC.13在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题规定每位考生必须且只需在其中选做一题设4名考生选做每一道题的概率均为.(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为，求的分布列考点二项分布的计算及应用题点求二项分布的分布列解(1)设事件A表示“甲选做第21题”，事件B表示“乙选做第21题”，则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“AB ”，且事件A，B相互独立故P(AB )P(A)P(B)P()P().(2)随机变量的可能取值为0,1,2,3,4，且B.则P(k)Ck4kC4(k0,1,2,3,4)即P(0)C4；P(1)C4；P(2)C4；P(3)C4；P(4)C4.故随机变量的分布列为01234P四、探究与拓展14口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列an，an如果Sn为数列an的前n项和，那么S73的概率为()AC25BC22CC25DC25考点独立重复试验的计算题点n次独立重复试验概率的应用答案D解析由S73知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为，摸取白球的概率为，则S73的概率为C25，故选D.15网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物(1)求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；(2)用，分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，令X，求随机变量X的分布列考点二项分布的计算及应用题点二项分布的实际应用解依题意，得这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东商城购物的概率为.设“这4个人中恰有i人去淘宝网购物”为事件Ai(i0,1,2,3,4)，则P(Ai)Ci4i(i0,1,2,3,4)(1)这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率为P(A1)C13.(2)易知X的所有可能取值为0,3,4.P(X0)P(A0)P(A4)C04C40，P(X3)P(A1)P(A3)C13C31，P(X4)P(A2)C22.所以随机变量X的分布列是X034P
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