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2.1.1平面【选题明细表】 知识点、方法题号三种语言的转换1,2,6公理的基本应用3,4,5,9共点、共线、共面问题7,8,10,11,12,13基础巩固1.文字语言叙述:“平面内有一条直线,则这条直线上的点必在这个平面内”改成符号语言是(B)(A)a,AaA(B)a,AaA(C)a,AaA(D)a,AaA解析:直线在平面内用“”,点在直线上和点在平面内用“”,故选B.2.若点A在直线b上,b在平面内,则A,b,之间的关系可以记作(B)(A)Ab,b(B)Ab,b(C)Ab,b(D)Ab,b解析:点与直线是属于关系,直线与平面是包含关系,故选B.3.下列图形中不一定是平面图形的是(D)(A)三角形(B)平行四边形(C)梯形 (D)四边相等的四边形解析:利用公理2可知:三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形,而四边相等的四边形不一定是平面图形,故选D.4.(2018河北衡水校级月考)空间不共线的四点,可以确定平面的个数是(C)(A)0 (B)1(C)1或4(D)无法确定解析:四点可以确定平面的个数为1个;四点不共面,可以确定平面的个数是4,故空间不共线的四点,可以确定平面的个数是1或4个.5.如图平面平面=直线l,点A,B,点C,Cl,直线ABl=D,过A,B,C三点确定平面,则与的交线必过(D)(A)点A (B)点B(C)点C但不过点D(D)点C和点D解析:因为C,D,且C,D,所以与的交线必过点C和D.6.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.(1)A,a;(2)=a,P且P;(3)a,a=A;(4)=a,=c,=b,abc=O.解析:考查识图能力及“图形语言与符号语言”相互转化能力,要注意点线面的表示.习惯上常用大写字母表示点,小写字母表示线,希腊字母表示平面.答案:(1)C(2)D(3)A(4)B7.给出以下命题:和一条直线都相交的两条直线在同一平面内;三条两两相交的直线在同一平面内;有三个不同公共点的两个平面重合;两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确命题的个数是.解析:空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内,故错;若三条直线相交于一点时,不一定在同一平面内,如长方体一角的三条线,故错;若两平面相交时,也可有三个不同的公共点,故错;若三条直线两两平行且在同一平面内,则只有一个平面,故错.答案:08.求证:两两相交且不共点的四条直线a,b,c,d共面.证明:(1)无三线共点情况,如图(1).设ad=M,bd=N,cd=P,ab=Q,ac=R,bc=S.因为ad=M,所以a,d可确定一个平面.因为Nd,Qa,所以N,Q,所以NQ,即b.同理c,所以a,b,c,d共面.(2)有三线共点的情况,如图(2).设b,c,d三线相交于点K,与a分别交于N,P,M且Ka,因为Ka,所以K和a确定一个平面,设为.因为Na,a,所以N.所以NK,即b.同理c,d.所以a,b,c,d共面.由(1),(2)知a,b,c,d共面.能力提升9.长方体的12条棱所能确定的平面个数为(C)(A)8(B)10(C)12(D)14解析:在长方体中由12条棱可构成长方体的6个面和6个对角面,共12个面.10.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是(D)解析:在A图中分别连接PS,QR,易证PSQR,所以P,Q,R,S共面;在C图中分别连接PQ,RS,易证PQRS,所以P,Q,R,S共面;在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形,故四点共面;D图中PS与QR为异面直线,所以四点不共面,故选D.11.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G分别为棱BC,C1C,B1C1的中点,O1,O2分别为四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,则下列各组中的四个点在同一个平面上的是.A,C,O1,D1;D,E,G,F;A,E,F,D1;G,E,O1,O2.解析:O1是AD1的中点,所以O1在平面ACD1内,即A,C,O,D四点共面;因为E,G,F在平面BCC1B1内,D不在平面BCC1B1内,所以D,E,G,F不共面;由已知可得EFAD1,所以A,E,F,D1共面;连接GO2,交A1D1于H,则H为A1D1的中点,连接HO1,则HO1GE,所以G,E,O1,O2四点共面.答案:12.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,M,N分别是棱AA1,AB上的点,且AM=AN=1.(1)证明:M,N,C,D1四点共面;(2)平面MNCD1将此正方体分为两部分,求这两部分的体积之比.(1)证明:连接A1B,在四边形A1BCD1中,A1D1BC且A1D1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1BD1C,在ABA1中,AM=AN=1,AA1=AB=3,所以AMAA1=ANAB,所以MNA1B,所以MND1C,所以M,N,C,D1四点共面.(2)解:记平面MNCD1将正方体分成两部分的下面部分体积为V1,上面部分体积为V2,连接D1A,D1N,DN,则几何体D1-AMN,D1-ADN,D1-CDN均为三棱锥,所以V1=VD1AMN+VD1ADN+VD1CDN=13SAMND1A1+13SADND1D+13SCDND1D=13123+13323+13923=132.从而V2=VABCDA1B1C1D1-VAMNDD1C=27-132=412,所以V1V2=1341,所以平面MNCD1分此正方体的两部分体积的比为1341.探究创新13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为2,M,N,P分别是A1B1, AD,BB1的中点.(1)画出过M,N,P三点的平面与平面ABCD,平面BB1C1C的交线;(2)设过M,N,P三点的平面与BC交于点Q,求PQ的长.解:(1)如图,连接MP并延长交AB的延长线于R,连接NR交BC于点Q,则NQ就是过M,N,P三点的平面与平面ABCD的交线,连接PQ,则过M,N,P三点的平面与平面BB1C1C的交线是PQ.(2)易知RtMPB1RtRPB,所以MB1=RB=1.因为BQAN,所以BQRANR,所以BQAN=RBRA=11+2,可得BQ=13.在RtPBQ中,PQ=BQ2+PB2=132+12=103.
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