2019-2020年人教A版高中数学 选修2-1 3-2-3空间向量与空间角 3-2-4空间向量与空间距离 教案.doc

2019-2020年人教A版高中数学 选修2-1 3-2-3空间向量与空间角 3-2-4空间向量与空间距离 教案（一）教学目标1.知识与技能：掌握空间立体几何中用向量方法求角度问题2.过程与方法：通过分析、推导让学生掌握空间立体几何中用向量方法求角度问题。3.情感、态度与价值观：通过学生对问题的探究思考，广泛参与，提高学习质量，会用空间想像思维解决生活中实际问题。 （二）教学重点与难点重点：掌握空间立体几何中用向量方法求角度问题难点：掌握空间立体几何中用向量方法求角度问题（三）教学过程活动一：创设情景、引入课题 问题1：在空间中，用空间向量解决立体几何的步骤？问题2：空间中的距离有多少种？用空间向量如何解决？今天我们将在前面学习的基础上，进一步学习空间向量来表示并进行解决一些角度的应用 点题：今天我们学习“用空间向量方法求角度问题” 活动二：师生交流、进入新知问题3：回忆立体几何中有那些空间角？求空间角有那些步骤？ 1 异面直线所成的角 范围 090方法 平移法；补形法 2 直线与平面所成的角 范围 090方法 关键是作垂线，找射影 3 二面角方法 定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法 4、空间角的计算步骤 一作、二证、三算问题4：想一想平面向量中两个向量的数量积的定义呢？ab|a|b|cosa,b或cosa,b，可求两个向量的数量积或夹角问题；新课：三种空间角的向量法计算公式：线线角：异面直线所成的角：；线面角：直线与平面(法向量)所成的角：；二面角：锐二面角：，其中为两个面的法向量。活动三：合作学习、探究新知利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。（1）异面直线、所成的角：在空间中任取一点O，过点O分别引，则，所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角。两条异面直线所成角的范围：。求法：把两条异面直线中的一条放入一个平面，另一条与这个平面有交点，过这个交点在平面内作第一条的平行线，则这两条直线所成的角为两条异面直线所成的角。然后解三角形得到。运用向量：在直线上取两点A、B，在直线上取两点C、D，若直线与的夹角为，则。例1、如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，ABDC,ACBD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2,PO=,PBPD.求异面直接PD与BC所成角的余弦值；解法一：平面， ，又，由平面几何知识得：（）过做交于于，连结，则或其补角为异面直线与所成的角，四边形是等腰梯形，又，四边形是平行四边形。，是的中点，且，又，为直角三角形，在中，由余弦定理得故异面直线PD与所成的角的余弦值为解法二： 平面， ，又，由平面几何知识得：以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为，（1）， ， 。若与所成的角为，则。故直线与所成的角的余弦值为（2）直线与平面角：斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影所成的锐角。直线与平面所成角的范围为：。求法：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用三棱锥体积等量来求出斜线上一点到平面的距离。运用向量：设是平面的法向量，A、B是直线上的点，如果直线与平面所成的角为，则。例2：如图，在三棱锥V-ABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中点，且AC=BC=，VDC=。当角变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围；ADBCVxyz解：（）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为，则由得可取，又，于是，又，即直线与平面所成角的取值范围为（3）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的几何图形，叫二面角。二面角的范围为。求二面角大小： 找出二面角的平面角，然后利用解三角形来求出。利用面积射影定理。运用向量：从相交棱上一点（或两点）出发，找与相交棱方向向量垂直的两个向量、，则、这两个向量所成的角的大小等于二面角的大小。ABCDEA1B1C1例3：如图，在直三棱柱中，ABBC，D、E分别为BB1、AC1的中点设AA1ACAB，求二面角A1ADC1的大小解：（）如图，建立直角坐标系Oxyz，其中原点O为AC的中点ABCDEA1B1C1Ozxy设，则，设分的比为，则，而，由，所以，;又，。由， ，知，即二面角A1ADC1的大小为。活动四：归纳整理、提高认识1在空间中，角度有几种情况？2如何用空间向量求各种角度？3.2.4空间向量与空间距离（一）教学目标1.知识与技能：掌握空间立体几何中用向量方法求距离问题。2.过程与方法：通过分析、推导让学生掌握空间立体几何中用向量方法求距离问题。3.情感、态度与价值观：通过学生对问题的探究思考，广泛参与，提高学习质量，会用空间想像思维解决生活中实际问题。（二）教学重点与难点重点：掌握空间立体几何中用向量方法求距离问题难点：掌握空间立体几何中用向量方法求距离问题（三）教学过程活动一：创设情景、引入课题 问题1：在空间中，如何表示一个点？一条直线？一个平面？问题2：如何用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与平面的位置关系？今天我们将在前面学习的基础上，进一步学习空间向量来表示并进行解决一些简单的应用 点题：今天我们学习“用空间向量方法求线段长度” 活动二：师生交流、进入新知问题4：类比平面向量解决平面几何的步骤，说说用空间向量解决立体几何的步骤？1、用向量解决立体几何的三步曲：建立图形空间向量的联系，用空间向量表示问题涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题通过向量运算研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的夹角和距离问题把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。问题5：空间中点、线、面有那些位置关系？2.空间中的距离主要指以下七种 (1)两点之间的距离 (2)点到直线的距离 (3)点到平面的距离 (4)两条平行线间的距离 (5)两条异面直线间的距离 (6)平面的平行直线与平面之间的距离 (7)两个平行平面之间的距离 七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离 七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离 在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点 求点到平面的距离 (1) 直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长 (2) 转移法，转化成求另一点到该平面的距离 (3) 体积法 (4) 向量法 求异面直线的距离 (1)定义法，即求公垂线段的长 (2)转化成求直线与平面的距离 (3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的 2.用向量法求距离的公式：异面直线之间的距离：，其中。直线与平面之间的距离：，其中。是平面的法向量。两平行平面之间的距离：，其中。是平面的法向量。点A到平面的距离：，其中，是平面的法向量。另法：点平面则 点A到直线的距离： ，其中，是直线的方向向量。两平行直线之间的距离：，其中，是的方向向量。活动三：合作学习、探究新知例1：如图四棱柱ABCD-ABCD中以A为顶点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60求对角线AC长和棱长的关系解：设AB=AA1=AD=1，BAD=BAA1=DAA1=60（化为向量问题）根据向量的加法法则： （进行向量运算）（回到图形问题）例2：把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求 (1)EF的长；(2)折起后EOF的大小 解 如图，以O点为原点建立空间直角坐标系Oxyz, 设正方形ABCD边长为a,则A(0，a,0),B(a,0,0),C(0, a,0),D(0,0, a),E(0,a, a),F(a, a,0) EOF=120 活动四：归纳整理、提高认识1在空间中，距离有几种情况？2如何用直线的方向向量与平面的法向量判断求距离？