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课时跟踪检测 (十一) 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程一、选择题1曲线(t为参数)的焦点坐标是()A(1,0)B(0,1)C(1,0) D(0，1)解析：选B将参数方程化为普通方程(y1)24(x1)，该曲线为抛物线y24x向左、向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0,1)2已知抛物线的参数方程为(t为参数，p0)，点A，B在曲线上对应的参数分别为t1和t2，若t1t20，则|AB|等于()A2p(t1t2) B2p(tt)C2p|t1t2| D2p(t1t2)2解析：选C因为x12pt，x22pt，所以x1x22p(tt)2p(t1t2)(t1t2)0，所以|AB|y2y1|，又因为y12pt1，y22pt2，所以|y2y1|2p|t1t2|.故选C.3方程(t为参数)的图形是()A双曲线左支 B双曲线右支C双曲线上支 D双曲线下支解析：选Bx2y2e2t2e2t(e2t2e2t)4.且xetet22.表示双曲线的右支4P为双曲线(为参数)上任意一点，F1，F2为其两个焦点，则F1PF2重心的轨迹方程是()A9x216y216(y0)B9x216y216(y0)C9x216y21(y0)D9x216y21(y0)解析：选A由题意知a4，b3，可得c5，故F1(5,0)，F2(5,0)，设P(4sec ，3tan )，重心M(x，y)，则xsec ，ytan .从而有9x216y216(y0)二、填空题5曲线(t为参数)与x轴的交点坐标是_解析：将曲线的参数方程化为普通方程为(x2)29(y1)，令y0，得x1或x5，故交点坐标为(1,0)，(5,0)答案：(1,0)，(5,0)6双曲线(为参数)的两条渐近线的倾斜角为_解析：将参数方程化为y21，此时a1，b，设渐近线倾斜角为，则tan .30或150.答案：30或1507点P(1,0)到曲线(t为参数)上的点的最短距离为_解析：设点P(1,0)到曲线上的点的距离为d，则dt211.所以点P到曲线上的点的距离的最小值为1.答案：1三、解答题8设P为等轴双曲线x2y21上的一点，F1和F2为两个焦点，证明：|F1P|F2P|OP|2.证明：如图，设双曲线上的动点为P(x，y)，焦点F1(，0)，F2(，0)，双曲线的参数方程为则(|F1P|F2P|)2(sec )2tan2(sec )2tan2(sec2 2sec 2tan2)(sec2 2sec 2tan2)(sec 1)2(sec 1)2(2sec2 1)2.又|OP|2sec2 tan22sec2 1，由此得|F1P|F2P|OP|2.9求点P(0,1)到双曲线x2y24的最小距离解：设双曲线x2y24上任一点坐标为M，则|PM|22(2tan 1)24(1tan2)4tan24tan 18tan24tan 582.则当tan 时，|PM|.所以|PM|min，即点P到双曲线的最小距离为.10.如图，O是直角坐标原点，A，B是抛物线y22px(p0)上异于顶点的两动点，且OAOB，点A，B在什么位置时，AOB的面积最小？最小值是多少？解：根据题意，设点A，B的坐标分别为(2pt，2pt1)，(2pt，2pt2)(t1t2，且t1t20)，则|OA|2p|t1|，|OB|2p|t2|.因为OAOB，所以0，即2pt2pt2pt12pt20，所以t1t21.所以AOB的面积为SAOB|OA|OB|2p|t1|2p|t2|2p2|t1t2|2p22p22p24p2.当且仅当t，即t11，t21时，等号成立所以点A，B的坐标分别为(2p,2p)，(2p，2p)时，AOB的面积最小，最小值为4p2.
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