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第一节函数及其表示A组基础题组1.已知函数f(x)=x|x|,若f(x0)=4,则x0的值为()A.-2B.2C.-2或2D.2答案B当x0时, f(x)=x2,此时f(x0)=4,即x02=4,解得x0=2(舍负).当x0,x0,1-x20,即x0,x0,-1x1,则x(0,1.原函数的定义域为(0,1.4.已知函数f(x)=log3x,x0,ax+b,x0,且f(0)=2, f(-1)=3,则f(f(-3)=()A.-2B.2C.3D.-3答案Bf(0)=a0+b=1+b=2,解得b=1.f(-1)=a-1+b=a-1+1=3,解得a=12.故f(-3)=12-3+1=9, f(f(-3)=f(9)=log39=2.5.(2016北京西城二模,6)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系式f(x)=C,0A.已知某家庭今年前三个月的煤气使用量和煤气费如下表:月份使用量煤气费一月份4 m34元二月份25 m314元三月份35 m319元若四月份该家庭使用了20 m3的煤气,则煤气费为()A.11.5元B.11元C.10.5元D.10元答案A由题中表格易知4A25,由题意可得C=4,4+B(25-A)=14,4+B(35-A)=19,解得A=5,B=12,C=4,f(x)=4,05.当x=20时, f(20)=4+12(20-5)=11.5.故选A.6.已知实数a0,函数f(x)=2x+a,x0时,1-a1.这时f(1-a)=2(1-a)+a=2-a,f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a.由f(1-a)=f(1+a)得2-a=-1-3a,解得a=-32,不符合,舍去.当a1,1+a1,这时f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a,f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a,由f(1-a)=f(1+a)得-1-a=2+3a,解得a=-34.综合知a的值为-34.7.已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数y=f(x2-2)的值域.解析(1)设f(x)=ax2+bx+c(a0),由题意可知c=0,a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+bx+c+x+1,整理得c=0,ax2+(2a+b)x+a+b+c=ax2+(b+1)x+c+1,2a+b=b+1,a0,a+b+c=c+1,c=0,解得a=12,b=12,c=0.f(x)=12x2+12x.(2)由(1)知,y=f(x2-2)=12(x2-2)2+12(x2-2)=12(x4-3x2+2)=12x2-322-18,当x2=32时,y取最小值-18,无最大值故函数y=f(x2-2)的值域为-18,+.8.(2016北京东城期中,19)如图所示,函数f(x)的定义域为-1,2,f(x)的图象为折线AB,BC.(1)求f(x)的解析式;(2)解不等式f(x)x2.解析(1)由题图可知A(-1,0),B(0,2),C(2,0).故f(x)=2x+2,-1x0,-x+2,0x2.(2)不等式f(x)x2可化为-1x0,2x+2x2或0x2,-x+2x2,解得1-3x0,故函数y=x+4x的定义域是(0,+).因为y=x+4x=x+4x4,当且仅当x=4x,即x=4时,等号成立,故最小值为4.思路分析根据根式及分式有意义的条件可求函数定义域;将原函数解析式化为y=x+4x=x+4x,应用基本不等式可求最小值.方法点拨求函数的值域时可以应用函数的性质,也可以应用基本不等式.10.(2017北京东城一模,14)已知函数f(x)=1,0x12,-1,12x1,0,x0或x1和g(x)=1,0x1,0,x0或x1,则g(2x)=;若m,nZ,且mg(nx)-g(x)=f(x),则m+n=.答案1,0x12,0,x0或x12;4解析由题意可得g(2x)=1,0x12,0,x0或x12.mg(nx)-g(x)=f(x),易知mg(nx)=2,0x12,0,x0或x12=2g(2x),m=n=2,即m+n=4.11.(2018北京西城期末,14)已知函数f(x)=x2+x,-2xc,1x,cx3.若c=0,则f(x)的值域是;若f(x)的值域是-14,2,则实数c的取值范围是.答案-14,+;12,1解析若c=0,则f(x)=x2+x,-2x0,1x,00,c2+c2,1c2,解得12c1,实数c的取值范围是12,1.
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