2017-2018学年高中数学 第二章 几个重要的不等式 2.2 排序不等式训练 北师大版选修4-5.doc

2.2 排序不等式一、选择题1.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且xyz，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且abc.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A.axbycz B.azbycxC.aybzcx D.aybxcz解析法一用特值法进行验证.令x1，y2，z3，a1，b2，c3.A项：axbycz14914；B项：azbycx34310；C项：aybzcx26311；D项：aybxcz22913.故选B.法二由顺序和乱序和反序和.可得azbycx最小.答案B二、填空题2.设a1，a2，a3，an为正数，那么Pa1a2an与Q的大小关系是_.解析假设a1a2a3an，则，并且aaaa，Pa1a2a3an，是反顺和，Q是乱顺和，由排序不等式定理PQ.答案PQ三、解答题3.设a1，a2，an为正数，求证：a1a2an.证明不妨设a1a2an0，则有aaa也有BC，则有abc，由排序原理：顺序和乱序和.aAbBcCaBbCcA；aAbBcCaCbAcB；aAbBcCaAbBcC.上述三式相加得3(aAbBcC)(ABC)(abc)(abc).法二不妨设ABC，则有abc，由排序不等式，即aAbBcC(abc)，.5.设a，b，c为正数，利用排序不等式证明a3b3c33abc.证明不妨设abc0，a2b2c2，由排序原理：顺序和逆序和，得：a3b3a2bb2a，b3c3b2cc2b，c3a3a2cc2a，三式相加得2(a3b3c3)a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2).又a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca.所以2(a3b3c3)6abc，a3b3c33abc.当且仅当abc时，等号成立.6.设a，b，c是正实数，求证：aabbcc(abc).证明不妨设abc0，则lg alg blg c.据排序不等式有：alg ablg bclg cblg aclg balg calg ablg bclg cclg aalg bblg calg ablg bclg calg ablg bclg c上述三式相加得：3(alg ablg bclg c)(abc)(lg alg blg c)，即lg(aabbcc)lg(abc).故aabbcc(abc).7.设xi，yi (i1，2，n)是实数，且x1x2xn，y1y2yn，而z1，z2，zn是y1，y2，yn的一个排列.求证： (xiyi)2 (xizi)2.证明要证 (xiyi)2 (xizi)2只需证y2xiyiz2xizi.因为yz，只需证xizixiyi.而上式左边为乱序和，右边为顺序和.由排序不等式得此不等式成立.故不等式 (xiyi)2 (xizi)2成立.8.已知a，b，c为正数，且两两不等，求证：2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab).证明不妨设abc0.则a2b2c2，abacbc，a2(ab)b2(ac)c2(bc)a2(bc)b2(ac)c2(ab)，即a3c3a2bb2ab2cc2ba2(bc)b2(ac)c2(ab)，又a2b2c2，abc，a2bb2aa3b3，b2cc2bb3c3.即a2bb2ab2cc2ba2(bc)b2(ac)c2(ab).