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21.1合情推理学习目标1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发展中的作用知识链接1归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠2由合情推理得到的结论可靠吗？答一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了预习导引1归纳推理(1)定义：从个别事实中推演出一般性的结论的推理称为归纳推理归纳推理的思维过程大致是实验、观察概括、推广猜测一般性结论(2)归纳推理的特点：归纳推理是从特殊到一般的推理；由归纳推理得到的结论不一定正确；归纳推理是一种具有创造性的推理2类比推理(1)类比推理的定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法(2)类比推理的思维过程：3合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程归纳推理和类比推理是数学活动中常用的合情推理要点一归纳推理的应用例1观察如图所示的“三角数阵”1第1行22第2行343第3行4774第4行51114115第5行记第n(n1)行的第2个数为an(n2，nN*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为_、_、_、_、_、_；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出an1与an的关系式解由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数(1)6,16,25,25,16,6(2)a22，a34，a47，a511(3)a3a22，a4a33，a5a44由此归纳：an1ann.规律方法对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解跟踪演练1根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式(1)a13，an12an1；(2)a1a，an1；(3)对一切nN*，an0，且2an1.解(1)由已知可得a13221，a22a112317231，a32a2127115241，a42a31215131251.猜想an2n11，nN*.(2)由已知可得a1a，a2，a3，a4.猜想an(nN*)(3)2an1，2a11，即2a11，a11.又2a21，2a21，a2a230.对一切nN*，an0，a23.同理可求得a35，a47，猜想出an2n1(nN*)要点二类比推理的应用例2如图所示，在ABC中，射影定理可表示为abcosCccosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想解如右图所示，在四面体PABC中，设S1，S2，S3，S分别表示PAB，PBC，PCA，ABC的面积，依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为SS1cos S2cos S3cos .规律方法(1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论(2)平面图形与空间图形的类比：平面图形空间图形点线线面边长面积面积体积线线角二面角三角形四面体跟踪演练2已知P(x0，y0)是抛物线y22px(p0)上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y22px两边同时对x求导，得2yy2p，则y，所以过P的切线的斜率k.类比上述方法求出双曲线x21在P(，)处的切线方程为_答案2xy0解析将双曲线方程化为y22(x21)，类比上述方法两边同时对x求导得2yy4x，则y，即过P的切线的斜率k，由于P(，)，故切线斜率k2，因此切线方程为y2(x)，整理得2xy0.要点三平面图形与空间图形的类比例3三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：三角形四面体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心解三角形四面体三角形的两边之和大于第三边四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边四面体的中截面(以任意三条棱的中点为顶点的三角形)的面积等于第四个面的面积的，且平行于第四个面三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心规律方法将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法跟踪演练3类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是_各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等答案解析由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确.1下列推理中，是归纳推理的有_A，B为定点，动点P满足PAPB2aAB，得P的轨迹为椭圆；由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜出数列的前n项和Sn的表达式；由圆x2y2r2的面积r2，猜想出椭圆1的面积Sab；科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案解析从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn是从特珠到一般的推理2下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色是_答案白色解析由图知：三白二黑周而复始相继排列，3657余1.第36颗珠子的颜色为白色3将全体正整数排成一个三角形数阵：123456789101112131415按照以上排列的规律，第n行(n3)从左向右的第3个数为_答案解析前n1行共有正整数12(n1)个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第3个，即为.4古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n，记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)n2n，正方形数N(n,4)n2，五边形数N(n,5)n2n，六边形数N(n,6)2n2n可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)_.答案1000解析由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)n2n，N(10,24)1001011001001000.1.合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向合情推理的过程概括为：一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明2归纳推理与类比推理都属合情推理：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理.一、基础达标1下面几种推理是合情推理的是_由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180，归纳出所有三角形的内角和是180；某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；三角形内角和是180，四边形内角和是360，五边形内角和是540，由此得出凸n边形内角和是(n2)180.答案2对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“_”，这个类比命题的真假性是_答案夹在两平行平面间的平行线段相等真命题3观察下列等式：11,14(12)，149123,14916(1234)，由此推测第n个等式为_.答案12223242(1)n1n2(1)n1(123n)4如图(1)有面积关系：，则图(2)有体积关系：_.答案解析把平面中三角形的知识类比到空间三棱锥中，得.5观察下列等式：1323(12)2,132333(123)2,13233343(1234)2，根据上述规律，第四个等式为_答案1323334353(12345)2(或152)解析观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第四个等式是：1323334353(12345)2152.6观察下列等式11234934567254567891049照此规律，第n个等式为_答案n(n1)(3n2)(2n1)27在ABC中，若C90，则cos2Acos2B1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想解由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥PABC中，三个侧面PAB，PBC，PCA两两垂直，且与底面所成的角分别为，则cos2cos2cos21”证明设P在平面ABC的射影为O，延长CO交AB于M，记POh，由PCPA，PCPB得PC面PAB，从而PCPM，又PMC，cossinPCO，cos，cos，VPABCPAPBPCh，h1，即cos2cos2cos21.二、能力提升8设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r，类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体SABC的体积为V，则r_.答案解析设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为V四面体ABCD(S1S2S3S4)R，R.9观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是_答案FVE2解析观察F，V，E的变化得FVE2.10观察下列等式：1211222312223261222324210照此规律，第n个等式可为_答案122232(1)n1n2n(n1)解析分n为奇数、偶数两种情况当n为偶数时，分组求和：(1222)(3242)(n1)2n2.当n为奇数时，第n个等式n2.综上，第n个等式：122232(1)n1n2n(n1)11某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin13cos17；sin215cos215sin15cos15；sin218cos212sin18cos12；sin2(18)cos248sin(18)cos48；sin2(25)cos255sin(25)cos55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin15cos151sin301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sincos(30).证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin2(cos30cossin30sin)2sin(cos30cossin30sin)sin2cos2sincossin2sincossin2sin2cos2.12(1)椭圆C：1(ab0)与x轴交于A、B两点，点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：为定值b2a2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线1(a0，b0)与x轴交于A、B两点，点P是双曲线C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)(1)证明设点P(x0，y0)(x0a)，依题意，得A(a,0)，B(a,0)，所以直线PA的方程为y(xa)令x0，得yM，同理得yN，所以yMyN.又点P(x0，y0)在椭圆上，所以1，因此y(a2x)，所以yMyNb2.因为(a，yN)，(a，yM)，所以a2yMyNb2a2.(2)解定值为(a2b2)三、探究与创新13在平面几何中，对于RtABC，设BCa，CAb，ABc，C90.则(1)a2b2c2；(2)cos2Acos2B1；(3)RtABC的外接圆的半径r；(4)SABCab.把上面的结论类比到空间，写出相类似的结论解(1)设三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则SSSS2.(检验：设PA，PB，PC两两互相垂直，PAm，PBn，PCt，PEAB于点E，则S2(m2n2)(t2)SSS)(2)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为，则cos2cos2cos21.(检验：因为S1Scos，S2Scos，S3Scos)(3)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为m、n、t，则这个直四面体的外接球的半径R.(检验：补形为长、宽、高分别为m、n、t的长方体)(4)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为m、n、t，则这个直四面体的体积为Vmnt.
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