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2.2.1 椭圆及其标准方程课时作业A组基础巩固1椭圆1上一点M到焦点F1的距离为2,则M到另一个焦点F2的距离为()A3 B6C8 D以上都不对解析:由椭圆的定义知|MF1|MF2|10,|MF2|1028,故选C.答案:C2(xx高考广东卷)已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4,0),则m()A2 B3C4 D9解析:由左焦点为F1(4,0)知c4,又a5,25m216,解得m3或3,又m0,故m3.答案:B3椭圆1的左、右焦点为F1、F2,一直线过F1交椭圆于A,B两点,则ABF2的周长为()A32 B16C8 D4解析:|AF1|AF2|8,|BF1|BF2|8.又|AF1|BF1|AB|,ABF2的周长为|AB|AF2|BF2|(|AF1|AF2|) (|BF1|BF2|)16.故选B.答案:B4方程1所表示的曲线是()A焦点在x轴上的椭圆B焦点在y轴上的椭圆C焦点在x轴上的双曲线D焦点在y轴上的双曲线解析:20,cos 2|cos 2|,sin 2cos 20,cos 2sin 2sin 2cos 2,故表示焦点在y轴上的椭圆答案:B5已知椭圆y21的焦点为F1、F2,点M在该椭圆上,且0,则点M到x轴的距离为()A. B.C. D.解析:由0,得MF1MF2,可设|m,|n,在F1MF2中,由m2n24c2得(mn)22mn4c2,根据椭圆的定义有mn2a,所以2mn4a24c2,故mn2b2,即mn2,SF1MF2mn1,设点M到x轴的距离为h,则|F1F2|h1,又|F1F2|2,故h,故选C.答案:C6已知椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,2)且a2b,则椭圆的标准方程为_解析:由c2,a2b,a2b2c2,3b212,b24,a216,标准方程为1.答案:17已知椭圆的两焦点为F1(2,0),F2(2,0),P为椭圆上的一点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项该椭圆的方程是_解析:由题意知椭圆焦点在x轴上,c2,|F1F2|4,由于|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,|PF1|PF2|2|F1F2|8,a4,b2a2c2422212,故椭圆的方程为1.答案:18若F1,F2是椭圆1的两个焦点,A为椭圆上一点,且F1AF245,则AF1F2的面积为_解析:如图所示,|F1F2|2,|AF1|AF2|6,由|AF1|AF2|6,得|AF1|2|AF2|22|AF1|AF2|36.又在AF1F2中,|AF1|2|AF2|2|F1F2|22|AF1|AF2|cos 45,362|AF1|AF2|8|AF1|AF2|,|AF1|AF2|14(2)SAF1F2|AF1|AF2|sin 4514(2)7(1)答案:7(1)9已知点P(3,4)是椭圆1(ab0)上一点,F1,F2是椭圆左、右焦点,若PF1PF2,试求:(1)椭圆方程;(2)PF1F2的面积解析:(1)由PF1PF2,可得|OP|c,得c5.设椭圆方程为1,代入P(3,4),得1,解得a245.椭圆方程为1.(2)SPF1F2|F1F2|yP|5420.10已知B,C是两个定点,|BC|8,且ABC的周长等于18,求这个三角形的顶点A的轨迹方程解析:以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy,如图所示由|BC|8,可知点B(4,0),C(4,0),c4.由|AB|AC|BC|18,|BC|8,得|AB|AC|10.因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a10,但点A不在x轴上由a5,c4,得b2a2c225169.所以点A的轨迹方程为1(y0)B组能力提升1已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是()Am2 B1m2Cm1或1m Dm1或1m2解析:由题意得解得m1或1m.故选C.答案:C2椭圆1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的()A7倍 B5倍C4倍 D3倍解析:不妨设F1(3,0),F2(3,0),由条件知P,即|PF2|,由椭圆定义知|PF1|PF2|2a4,则|PF1|,即|PF1|7|PF2|,故选A.答案:A3已知曲线C:1,则“4k5k0,即4k5,故“4kbc,A,C的坐标分别为(1,0),(1,0),求顶点B的轨迹方程解析:由已知得b2,又a,b,c成等差数列,ac2b4,即|AB|BC|4,点B到定点A,C的距离之和为定值4,由椭圆定义知B点的轨迹为椭圆的一部分,其中a2,c1.b23.又abc,顶点B的轨迹方程为1(2x6|C1C2|,由椭圆的定义知C点的轨迹是以C1,C2为焦点,长轴长为6的椭圆,其轨迹方程为1.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则,.由5可得5,所以x15x2,y 15y255y218,由P,Q是椭圆C上的两点,得由、得y23,将y23代入,得y13,将y23代入,得x20,所以x10,所以P(0,3),Q(0,3),|PQ|6.
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