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1大学物理学(北邮第三版)习题及解答（全）习题一1-1 r与 有无不同? tdr和 有无不同? tdv和 有无不同?其不同在哪里?试举例说明解：（1） 是位移的模， r是位矢的模的增量，即 r12， 12r；（2） tdr是速度的模，即 tdvts.只是速度在径向上的分量.有 r（式中 叫做单位矢） ，则 trtddr式中 td就是速度径向上的分量， tr与不同如题 1-1 图所示. 题 1-1 图(3) tdv表示加速度的模，即 tvad， 是加速度 a在切向上的分量.有 (表轨道节线方向单位矢） ，所以 tvtd式中 dtv就是加速度的切向分量.(r与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)1-2 设质点的运动方程为 x= (t)， y= (t)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出 r2yx，然后根据 v= trd，及 a 2tr而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即v=22tytx及 =22dtytx你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有 jyixr，2jtyitxrav22dd故它们的模即为 2222dtytxattvyxyx而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作 2dtrtrv其二，可能是将 2dtr与误作速度与加速度的模。在 1-1 题中已说明 trd不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样， 2dtr也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分 22dtrta径。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢 r在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢 r及速度 v的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。1-3 一质点在 xOy平面上运动，运动方程为 x=3t+5, y= 21t2+3 -4.式中 t以 s 计， , 以 m 计(1)以时间 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出=1 s 时刻和 t2s 时刻的位置矢量，计算这 1 秒内质点的位移；(3)计算 t0 s 时刻到 4s 时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算 t4 s 时质点的速度；(5)计算 t0s 到 4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算 t4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)解：（1） jtitr)4321()53(m(2)将 t, 2代入上式即有 ji.081r25.43(3) jij167,50 14 sm0rtv (4) 1sm)3(djitrv则 jiv741s3(5) jivjiv73,4024sm1ta(6) djta这说明该点只有 y方向的加速度，且为恒量。1-4 在离水面高 h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸 S 处，如题 1-4 图所示当人以 0v(m 1s)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小图 1-4解： 设人到船之间绳的长度为 l，此时绳与水面成 角，由图可知22sh将上式对时间 t求导，得tstld2题 1-4 图根据速度的定义，并注意到 , 是随 减少的， tsvtlvd,0船绳即 cosd0ls船或 vhlv2/120)(船将 船v再对 t求导，即得船的加速度 32020 020)(ddsvhsl vsltsltva船船1-5 质点沿 x轴运动，其加速度和位置的关系为 a2+6 2x， 的单位为 2sm， x的单位为 m. 质点在 0 处，速度为 10 1m,试求质点在任何坐标处的速度值解： vttvadd4分离变量： xadxd)62(两边积分得 cv321由题知， 0x时， , 50 13sm2x1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a4+3 t2，开始运动时， x5 m， v=0，求该质点在 t10s 时的速度和位置解： ttv4d分离变量，得 )3(积分，得 12ctv由题知， 0t,v, 01c故 234t又因为 dtxv分离变量， tx)234(d积分得 2321ctx由题知 0t, 5x, 2c故 132t所以 st时 m705120s93410 12xv1-7 一质点沿半径为 1 m 的圆周运动，运动方程为 =2+3 3t， 式中以弧度计， t以秒计，求：(1) t2 s 时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成 45角时，其角位移是多少?解： tt18d,9d2(1) s2t时， 2sm3618Ra2229)(n(2)当加速度方向与半径成 45角时，有145tann即 R2 亦即 8)9(25)sin(2coi0tRtvtx则解得 923t于是角位移为rad67.2932t1-8 质点沿半径为 R的圆周按 s 01btv的规律运动，式中 s为质点离圆周上某点的弧长, 0v， b都是常量，求： (1) 时刻质点的加速度；(2) t为何值时，加速度在数值上等于 解：（1） btvts0dRtvan202)(则 2422bt加速度与半径的夹角为 20)(arctnbtv(2)由题意应有 242Rb即 0)(,)(402402 btvtv当 bvt0时， a1-9 半径为 R的轮子，以匀速 0v沿水平线向前滚动：(1)证明轮缘上任意点 B的运动方程为 x )sin(tt， y R)cos1(t，式中 0v/R是轮子滚动的角速度，当B与水平线接触的瞬间开始计时此时 B所在的位置为原点，轮子前进方向为 x轴正方向；(2)求 点速度和加速度的分量表示式解：依题意作出下图，由图可知题 1-9 图(1) )cos1()cos1(2intRy(2)6)sindco1(tRtyvxtvayyxxdcos21-10 以初速度 020 1m抛出一小球，抛出方向与水平面成幔 60的夹角，求：(1)球轨道最高点的曲率半径 R；(2)落地处的曲率半径 2R(提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)解：设小球所作抛物线轨道如题 1-10 图所示题 1-10 图(1)在最高点， o016csvx2mgan又 1 10)60cos2(2nav(2)在落地点， 22v1sm,而 o60cgan 8s1)(2n1-11 飞轮半径为 0.4 m，自静止启动，其角加速度为 =0.2 rad 2s，求 t2s 时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度解：当 s2t时， 4.02.t1srad则 164.0Rv1s 064.).(2Ran 2sm8 222 104. n71-12 如题 1-12 图，物体 A以相对 B的速度 v gy2沿斜面滑动， y为纵坐标，开始时 A在斜面顶端高为 h处， 物体以 u匀速向右运动，求 A物滑到地面时的速度解：当滑至斜面底时， y，则 hv, 物运动过程中又受到 B的牵连运动影响，因此， 对地的速度为 jgiguAA )sin2()cos2( 地题 1-12 图1-13 一船以速率 1v30kmh -1沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率 2v40kmh -1沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?解：(1)大船看小艇，则有 121v，依题意作速度矢量图如题 1-13 图(a)题 1-13 图由图可知 1212 hkm50vv方向北偏西 87.364arctnrt2(2)小船看大船，则有 12，依题意作出速度矢量图如题 1-13 图(b)，同上法，得5012v1hk方向南偏东 o87.361-14 当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后 2 m 的甲板上，篷高 4 m 但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前 3 m ，如雨滴的速度大小为 8 ms-1，求轮船的速率解： 依题意作出矢量图如题 1-14 所示题 1-14 图 船雨雨 船 vv 船雨 船雨 由图中比例关系可知 1sm8雨船习题二82-1 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为 1m的物体，另一边穿在质量为 2m的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度 a下滑，求 1m， 2相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为 1a，其对于 2则为牵连加速度，又知2m对绳子的相对加速度为 ，故 2对地加速度，由图(b)可知，为 1又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力 f在数值上等于绳的张力 T，由牛顿定律，有 11amTg22 联立、式，得 211212)()magTfa讨论 (1)若 0a，则 21表示柱体与绳之间无相对滑动(2)若 g2，则 fT，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时 1m, 2均作自由落体运动题 2-1 图2-2 一个质量为 P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为 ）上以初速度 0v运动， 0的方向与斜面底边的水平线 AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道解: 物体置于斜面上受到重力 mg，斜面支持力 N.建立坐标：取方向为 X轴，平行斜面与 X轴垂直方向为 Y轴.如图 2-2.题 2-2 图X方向： 0xF tvx0 Y方向： yymagsin 0t时 2i1t由、式消去 t，得9220sin1xgvy2-3 质量为 16 kg 的质点在 xO平面内运动，受一恒力作用，力的分量为 xf6 N， yf -7 N，当 t0 时， 0， x-2 ms -1， yv0求当 t2 s 时质点的 (1)位矢；(2)速度解： 2sm8316fax7y(1) 20 1sm87216453dtavyyxx于是质点在 s2时的速度 145ji(2) m874134)167(2)42(1220ji jijtattvryx2-4 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力 kv( 为常数)作用， t=0 时质点的速度为 0v，证明(1) t时刻的速度为 vtke)(0；(2) 由 0 到 t的时间内经过的距离为x( km)1-tmke)(；(3)停止运动前经过的距离为)(；(4)证明当 kmt时速度减至 0v的1，式中 m 为质点的质量答: (1) tvmkad分离变量，得 v即 tk0mktevlnl tk0(2) t tt mkmkeex0 )1(d10(3)质点停止运动时速度为零，即 t，故有 00dkmvtevxk(4)当 t= km时，其速度为 evevkm0100即速度减至 0v的 e1.2-5 升降机内有两物体，质量分别为 1， 2，且 2 1用细绳连接，跨过滑轮,绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速 a 2g 上升时，求：(1) 1m和 2相对升降机的加速度(2)在地面上观察 1m， 2的加速度各为多少?解: 分别以 , 为研究对象，其受力图如图(b)所示(1)设 2相对滑轮(即升降机)的加速度为 a，则 2对地加速度 2；因绳不可伸长，故 1对滑轮的加速度亦为 ，又 1在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以 1m在水平方向对地加速度亦为 a，由牛顿定律，有 )(22Tgam1题 2-5 图联立，解得 ga方向向下(2) 2m对地加速度为方向向上1在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即 牵相绝 a gga254221arctno6.rt，左偏上2-6 一质量为 m的质点以与地的仰角 =30的初速 0v从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量解: 依题意作出示意图如题 2-6 图11题 2-6 图在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下,而抛物线具有对 y轴对称性，故末速度与 x轴夹角亦为 o30，则动量的增量为vmp由矢量图知，动量增量大小为 0v，方向竖直向下2-7 一质量为 m的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞并在抛出1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒?解: 由题知，小球落地时间为 s5.因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为 gtv5.01，小球上跳速度的大小亦为 gv5.02设向上为 y轴正向，则动量的增量 12mp方向竖直向上，大小 mp)(12碰撞过程中动量不守恒这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒2-8 作用在质量为 10 kg 的物体上的力为 itF)0(N，式中 t的单位是 s，(1)求 4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量(2)为了使这力的冲量为 200 Ns，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度 j6ms-1的物体,回答这两个问题解: (1)若物体原来静止，则 ititFp 10401 smkg56d)21(d,沿 x轴正向， ipIv11s.若物体原来具有 61s初速，则 tt FvmFvmp0000 d)d(,于是 tpp12,同理， 1, 2I这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理(2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即 t ttI020d)(亦即 12解得 s10t，( s2t舍去)122-9 一质量为 m的质点在 xOy平面上运动，其位置矢量为 jtbitarsnco求质点的动量及 t0 到 2t 时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量解: 质点的动量为 )cossi(jttmvp将 t和 2t分别代入上式，得 jb1, iap2,则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为 )(1jbI 2-10 一颗子弹由枪口射出时速率为 0smv，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 F =( bta)N( ,为常数)，其中 t以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量(3)求子弹的质量解: (1)由题意，子弹到枪口时，有 0)(btaF,得 bat(2)子弹所受的冲量 t ttI021d将 bat代入，得 baI2(3)由动量定理可求得子弹的质量 00vm2-11 一炮弹质量为 ，以速率 v飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为 T，且一块的质量为另一块质量的 k倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为 v+k2, v-T证明: 设一块为 1m，则另一块为 2，1m及 21于是得 ,2k又设 1的速度为 1v, 2的速度为 v，则有 2211vTm 联立、解得 12)(kvv13将代入，并整理得 21)(vkmT于是有 将其代入式，有 kTv22又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取 kmv,21证毕2-12 设 N67jiF合(1) 当一质点从原点运动到 1643kjir时，求 F所作的功(2)如果质点到 r处时需 0.6s，试求平均功率(3)如果质点的质量为 1kg，试求动能的变化解: (1)由题知， 合 为恒力， )1643()67(kjijirFA合J5241(2) w.0tP(3)由动能定理， JEk2-13 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内 1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同解: 以木板上界面为坐标原点，向内为 y坐标正向，如题 2-13 图，则铁钉所受阻力为题 2-13 图 kyf第一锤外力的功为 1Assfyf102dd式中 f是铁锤作用于钉上的力， 是木板作用于钉上的力，在 0t时， f设第二锤外力的功为 2，则同理，有 212dykykA由题意，有 )(212mv14即 212ky所以， 于是钉子第二次能进入的深度为 cm41.012y2-14 设已知一质点(质量为 m)在其保守力场中位矢为 r点的势能为 nPrkE/)(, 试求质点所受保守力的大小和方向解: 1d)(nkrEF方向与位矢 r的方向相反，即指向力心2-15 一根劲度系数为 1k的轻弹簧 A的下端，挂一根劲度系数为 2k的轻弹簧 B， 的下端一重物 C， 的质量为 M，如题 2-15 图求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比解: 弹簧 BA、 及重物 受力如题 2-15 图所示平衡时，有题 2-15 图 MgFBA又 1xk2所以静止时两弹簧伸长量之比为 12kx弹性势能之比为 12212kxEp2-16 (1)试计算月球和地球对 m物体的引力相抵消的一点 P，距月球表面的距离是多少?地球质量 5.981024 kg，地球中心到月球中心的距离 3.84108m，月球质量7.351022kg，月球半径 1.74106m(2)如果一个 1kg 的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在 P点的势能为多少 ?解: (1)设在距月球中心为 r处 地 引月 引 F，由万有引力定律，有1522rRmMGr地月经整理，得 r月地 月= 2241035.71098.5.8104.m36则 P点处至月球表面的距离为 m6.).( 7月rh(2)质量为 kg1的物体在 P点的引力势能为rRMGrEP地月 7241721 1083.9506.83.5067. J22-17 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为 1m和2m的滑块组成如题 2-17 图所示装置，弹簧的劲度系数为 k，自然长度等于水平距离 BC，与桌面间的摩擦系数为 ，最初 1m静止于 A点， B C h，绳已拉直，现令滑块落下 1,求它下落到 B处时的速率解: 取 点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有 )(21)(221 lkgvgh式中 l为弹簧在 A点时比原长的伸长量，则 hBCAl )(联立上述两式，得 212112mkgv题 2-17 图2-18 如题 2-18 图所示，一物体质量为 2kg，以初速度 0v3ms -1从斜面 A点处下滑，它与斜面的摩擦力为 8N，到达 B点后压缩弹簧 20cm 后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原16长处为弹性势能零点。则由功能原理，有 37sin21mgvkxsfr 2ikxfr式中 m52.084s， 2.0x，再代入有关数据，解得 -1mN39k题 2-18 图再次运用功能原理，求木块弹回的高度 h2o137sinkxmgfr代入有关数据，得 4.1s,则木块弹回高度 84.0sioh题 2-19 图2-19 质量为 M的大木块具有半径为 R的四分之一弧形槽，如题 2-19 图所示质量为m的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度解: 从 上下滑的过程中，机械能守恒，以 m， M，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有 221VvgR又下滑过程，动量守恒，以 m, 为系统则在 脱离 瞬间，水平方向有0联立，以上两式，得 Mgv22-20 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，试证碰后两小球的运动方向互相垂直证: 两小球碰撞过程中，机械能守恒，有 221201mvv即 17题 2-20 图(a) 题 2-20 图(b)又碰撞过程中，动量守恒，即有 210vmv亦即 由可作出矢量三角形如图(b)，又由式可知三矢量之间满足勾股定理，且以 0v为斜边，故知 1v与 2是互相垂直的2-21 一质量为 m的质点位于 ( 1,yx)处，速度为 jviyx, 质点受到一个沿 x负方向的力 f的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩解: 由题知，质点的位矢为 jir1作用在质点上的力为 f所以，质点对原点的角动量为 vmrL0 )()(1jviiyxyxk作用在质点上的力的力矩为 kfifjifrM110 )(2-22 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆它离太阳最近距离为 r8.7510 10m 时的速率是 1v5.4610 4ms -1，它离太阳最远时的速率是 2v9.0810 2ms-1 这时它离太阳的距离 2r多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。)解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有21mv m106.508.9475221 vr2-23 物体质量为 3kg， t=0 时位于 ir, sji，如一恒力 N5jf作用在物体上,求 3 秒后，(1)物体动量的变化；(2)相对 z轴角动量的变化解: (1) 301skg15djtjfp(2)解(一) 7340tvxjaty 5.2620 即 ir1, ji5.10xv1813560atvy即 ji1, ji2 kmrL7)(41jijiv 5.45.7(22 121sg8k解(二) dtzM tttFrL00d)(d30 12smkg5.8)4(5d53162tktji题 2-24 图2-24 平板中央开一小孔，质量为 m的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为 1M的重物小球作匀速圆周运动，当半径为 0r时重物达到平衡今在 1的下方再挂一质量为2M的物体，如题 2-24 图试问这时小球作匀速圆周运动的角速度 和半径 r为多少?解: 在只挂重物时 1，小球作圆周运动的向心力为 gM1，即201rg挂上 2后，则有221)(rm 重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒即 v022r联立、得 0212132101010)(rMgmrrg2-25 飞轮的质量 60kg，半径 R0.25m，绕其水平中心轴 O转动，转速为900revmin-1现利用一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力 F，可使飞轮19减速已知闸杆的尺寸如题 2-25 图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数 =0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算试求：(1)设 F100 N，问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转 ?(2)如果在 2s 内飞轮转速减少一半，需加多大的力 F?解: (1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b)图中 N、 是正压力， rF、 是摩擦力， x和 y是杆在 A点转轴处所受支承力， R是轮的重力， P是轮在 O轴处所受支承力题 2-25 图（a）题 2-25 图(b)杆处于静止状态，所以对 A点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有 FlNllF121210)( 对飞轮，按转动定律有 IRr/，式中负号表示 与角速度 方向相反 lr12又 ,mRI FlIFr12)(以 N10F等代入上式，得 2srad34050.26)7(4.0由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为 6.69t这段时间内飞轮的角位移为 rad21.53 )49(30214020t可知在这段时间里，飞轮转了 转20(2)10srad629，要求飞轮转速在 2ts内减少一半，可知 200rad152tt用上面式(1)所示的关系，可求出所需的制动力为 NlmRF172)75.0.(4.0216212-26 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴 O转动设大小圆柱体的半径分别为 R和 r，质量分别为 M和 m绕在两柱体上的细绳分别与物体 1m和2m相连， 1和 2则挂在圆柱体的两侧，如题 2-26 图所示设 R0.20m, r0.10m，4 kg， M10 kg， 1 22 kg，且开始时 1， 2离地均为 h2m求：(1)柱体转动时的角加速度；(2)两侧细绳的张力解: 设 1a, 2和 分别为 1, 2和柱体的加速度及角加速度，方向如图 (如图 b)题 2-26(a)图 题 2-26(b)图(1) 1m, 2和柱体的运动方程如下： 22amgT11IrR2式中 aT 1221,而 2MI由上式求得212 22221srad13.6 8.91001.40. grmRI(2)由式 893.622 gmrTN由式 17208911 R2-27 计算题 2-27 图所示系统中物体的加速度设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为 M，半径为 r，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设1m50kg ， 2200 kg,M15 kg, r0.1 m解: 分别以 1, 滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示对 1, 2运用牛顿定律，有aTg221对滑轮运用转动定律，有 )(212Mrr又， a 联立以上 4 个方程，得 221 sm6.721508.9mga题 2-27(a)图 题 2-27(b)图题 2-28 图2-28 如题 2-28 图所示，一匀质细杆质量为 m，长为 l，可绕过一端 O的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下求：(1)初始时刻的角加速度；(2)杆转过 角时的角速度 .解: (1)由转动定律，有22)31(22mlg l (2)由机械能守恒定律，有 2)31(sin2llg l题 2-29 图2-29 如题 2-29 图所示，质量为 M，长为 l的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴 O无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上现有一质量为 m的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度 30处(1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速 0v的值；(2)相撞时小球受到多大的冲量?解: (1)设小球的初速度为 0v，棒经小球碰撞后得到的初角速度为 ，而小球的速度变为v，按题意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式： mvlIl022211v上两式中231MlI，碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角位移；碰撞后，棒从竖直位置上摆到最大角度 o0，按机械能守恒定律可列式： )30cos1(22lgI由式得 2121)()cs( lgIl由式 mlIv0由式 I202所以2322001)(mvlIv求得 glMlIl312(6)()20(2)相碰时小球受到的冲量为 0dmvtF由式求得 llIvt 310gM6)2(负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反题 2-30 图2-30 一个质量为 M、半径为 R并以角速度 转动着的飞轮(可看作匀质圆盘)，在某一瞬时突然有一片质量为 m的碎片从轮的边缘上飞出，见题 2-30 图假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上(1)问它能升高多少?(2)求余下部分的角速度、角动量和转动动能解: (1)碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度 Rv0设碎片上升高度 h时的速度为 ，则有 gh22令 0v，可求出上升最大高度为 201vH(2)圆盘的转动惯量21MRI，碎片抛出后圆盘的转动惯量21mRMI，碎片脱离前，盘的角动量为 ，碎片刚脱离后，碎片与破盘之间的内力变为零，但内力不影响系统的总角动量，碎片与破盘的总角动量应守恒，即 RmvI0式中 为破盘的角速度于是 R022)1()( 2M得 (角速度不变)圆盘余下部分的角动量为24)21(2mRM转动动能为题 2-31 图 22)1(mRMEk2-31 一质量为 m、半径为 R 的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可绕轴自由转动另一质量为 0的子弹以速度 0v射入轮缘(如题 2-31 图所示方向)(1)开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值?(2)用 , 和 表示系统(包括轮和质点 )最后动能和初始动能之比解: (1)射入的过程对 O轴的角动量守恒 200)(sinRmvR sin(2) 022020sin1)(i)(20 vmEk 2-32 弹簧、定滑轮和物体的连接如题 2-32 图所示，弹簧的劲度系数为 2.0 Nm-1；定滑轮的转动惯量是 0.5kgm2，半径为 0.30m ，问当 6.0 kg 质量的物体落下 0.40m 时，它的速率为多大? 假设开始时物体静止而弹簧无伸长解: 以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，重物下落的过程中，机械能守恒，以最低点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则有 22211khImvgh又 R/故有 I2)(122sm0. 5.03.63.)489.25题 2-32 图 题 2-33 图2-33 空心圆环可绕竖直轴 AC自由转动，如题 2-33 图所示，其转动惯量为 0I，环半径为R，初始角速度为 0质量为 m的小球，原来静置于 A点，由于微小的干扰，小球向下滑动设圆环内壁是光滑的，问小球滑到 B点与 C点时，小球相对于环的速率各为多少 ?解: (1)小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒，当小球滑至 B点时，有)(200RI该系统在转动过程中，机械能守恒，设小球相对于圆环的速率为 v，以 点为重力势能零点，则有 22020 1)(11BmImgI联立、两式，得 20RIvB(2)当小球滑至 C点时， 0Ic c故由机械能守恒，有 21)(cmvg Rc请读者求出上述两种情况下，小球对地速度习题三3-1 惯性系 S相对惯性系 S以速度 u运动当它们的坐标原点 O与 重合时， t= =0，发出一光波，此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观测的波阵面的方程解: 由于时间和空间都是均匀的，根据光速不变原理，光讯号为球面波波阵面方程为： 22)(ctzyx题 3-1 图3-2 设图 3-4 中车厢上观测者测得前后门距离为 2l试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测到同一光信号到达前、后门的时间差26解: 设光讯号到达前门为事件 1，在车厢 )(S系时空坐标为),(,(1cltx，在车站 )(S系：)()(2121 ucllxcut 光信号到达后门为事件 ，则在车厢 )S系坐标为,(ltx，在车站 )(S系：)1(22clct于是 1u或者 lxtt 2,012)()(cc3-3 惯性系 S相对另一惯性系 S沿 x轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时起点在 S 系中测得两事件的时空坐标分别为 1=6104m, 1t=210-4s，以及2x=12104m, 2t=110-4s已知在 S系中测得该两事件同时发生试问：(1)S系相对S 系的速度是多少? (2) 系中测得的两事件的空间间隔是多少?解: 设 )(相对 的速度为 v，(1) )(121xcvt2由题意 01t则 )(122xcvt故 8125.xcv 1sm(2)由洛仑兹变换 )(),(22vtxvt代入数值， 0.412 3-4 长度 0l=1 m 的米尺静止于 S系中，与 x 轴的夹角 =30，S系相对 S 系沿 x轴运动，在 S 系中观测者测得米尺与 轴夹角为 45 试求：(1)S系和 S 系的相对运动速度.(2)S 系中测得的米尺长度解: (1)米尺相对 静止，它在 y,轴上的投影分别为： m86.0cos0Lx， m5.0sin0Ly米尺相对 沿 方向运动，设速度为 v，对 S系中的观察者测得米尺在 x方向收缩，而y方向的长度不变，即 yxc,1227故 21tancvLxyyx把 45及 yxL,代入则得 86.052cv故 1(2)在 S系中测得米尺长度为m7.45sinyL3-5 一门宽为 a，今有一固有长度 0l( a)的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率 u至少为多少?解: 门外观测者测得杆长为运动长度，20)(1cul，当 a时，可认为能被拉进门，则 la解得杆的运动速率至少为：20)(1lcu题 3-6 图3-6 两个惯性系中的观察者 O和 以 0.6c(c 表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果O测得两者的初始距离是 20m，则 测得两者经过多少时间相遇 ?解: 测得相遇时间为 tcvLt6.02测得的是固有时 t t21 s089.8，6cv，8.01，或者， O测得长度收缩， vLtLL,.6.102020s189.3.6.88ct283-7 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系 S和 中，甲测得在同一地点发生的两事件的时间间隔为 4s，而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s求：(1) S相对于 的运动速度(2) 乙测得这两个事件发生的地点间的距离解: 甲测得 0,s4xt,乙测得 s5t，坐标差为 12x(1) tcvtxcvt2)(1)(5412t解出 cccv3)(1)(280.sm(2) 0,45,xttx m1938 cv负号表示 012x3-8 一宇航员要到离地球为 5 光年的星球去旅行如果宇航员希望把这路程缩短为 3 光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少?解: 2220 153,13 则ll cv493-9 论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同地点，在有相对运动的其他惯性系中，这两个事件一定不同时证: 设在 S系 BA、 事件在 ba,处同时发生，则 BAabttx,，在 S系中测得)(2cvtttAB0,x， t即不同时发生3-10 试证明：(1) 如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短(2) 如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性关系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短解: (1)如果在 S系中，两事件 BA、 在同一地点发生，则 0x，在 S系中，tt，仅当 0v时，等式成立， t最短(2)若在 S系中同时发生，即 t，则在 S系中， x，仅当 v时等式成立， 系中 x最短3-11 根据天文观测和推算，宇宙正在膨胀，太空中的天体都远离我们而去假定地球上观察到一颗脉冲星(发出周期无线电波的星)的脉冲周期为 0.50s，且这颗星正沿观察方向以29速度 0.8c 离我们而去问这颗星的固有周期为多少?解: 以脉冲星为 S系， 0x，固有周期 0t.地球为 S系，则有运动时 t1，这里 1t不是地球上某点观测到的周期，而是以地球为参考系的两异地钟读数之差还要考虑因飞行远离信号的传递时间， ctv1 ttt1)(cv6.01)8.(12则 ).(5)(0 cvtts16.0836.)1(5.3-12 6000m 的高空大气层中产生了一个 介子以速度 v=0.998c 飞向地球假定该 介子在其自身静止系中的寿命等于其平均寿命 210-6s试分别从下面两个角度，即地球上的观测者和 介子静止系中观测者来判断 介子能否到达地球解: 介子在其自身静止系中的寿命 10260t是固有(本征)时间，对地球观测者，由于时间膨胀效应，其寿命延长了衰变前经历的时间为 s.352cvt这段时间飞行距离为 m9470tvd因 m60d，故该 介子能到达地球或在 介子静止系中， 介子是静止的地球则以速度 v接近介子，在 0t时间内，地球接近的距离为 50t0经洛仑兹收缩后的值为： m379120cvd0d，故 介子能到达地球3-13 设物体相对 S系沿 x轴正向以 0.8c 运动，如果 S系相对 S 系沿 x 轴正向的速度也是 0.8c，问物体相对 S 系的速度是多少?解: 根据速度合成定理， cu8.0,vx. ccxx 98.0.801223-14 飞船 A以 0.8c 的速度相对地球向正东飞行，飞船 B以 0.6c 的速度相对地球向正西方向飞行当两飞船即将相遇时 A飞船在自己的天窗处相隔 2s 发射两颗信号弹在 B飞30船的观测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少?解: 取 B为 S系，地球为 系，自西向东为 x( )轴正向，则 A对 S系的速度cvx8.0， 系对 系的速度为 cu6.0，则 A对 S系( B船)的速度为ccvxx 946.08.12发射弹是从 A的同一点发出，其时间间隔为固有时 s2t，题 3-14 图 B中测得的时间间隔为： s17.694.0122cvttx3-15 (1)火箭 A和 B分别以 0.8c 和 0.6c 的速度相对地球向+ x和- 方向飞行试求由火箭 B测得 的速度 (2)若火箭 A相对地球以 0.8c 的速度向+ y方向运动，火箭 B的速度不变，求 相对 的速度解: (1)如图 a，取地球为 S系， 为 系，则 S相对 的速度 cu6.0，火箭 A相对S的速度 cvx8.0，则 相对 ( )的速度为： cvcuxx 94.)8.0(61.22或者取 A为 S系，则 8.0， B相对 S系的速度 cvx6.，于是 B相对 A的速度为： cvcuxx 94.0).(8.01622 (2)如图 b，取地球为 S系，火箭 为 S系， 系相对 S系沿 x方向运动，速度cu6.0， A对 系的速度为, x, y.,由洛仑兹变换式 A相对 B的速度为：cvcuxx 6.01).(012 cvcuvxyy 64.0)8.(122 A相对 B的速度大小为 cyx.2
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