转动惯量ppt课件

第五章 初等刚体力学 1 本章将介绍一种特殊的质点系 刚体 所遵从的力学规律 它实际上就是质点系的基本原理在刚体上的应用 重点是定轴转动 重要的概念是转动惯量 2 刚体运动概述 刚体 在任何情况下形状和大小都不变的物体 即任意两质点之间的距离保持不变的质点系 理想模型 刚体 一种特殊质点系 5 0节 3 刚体 个自由度 自由度 为确定该力学系统的位置所需要的独立变量的个数 若运动受到约束 自由度将减少 一个自由质点 三个自由度 一个自由刚体 六个自由度 4 刚体的运动形式 刚体运动微分方程式 刚体运动积分方程式 质点A既随质心平动又绕质心转动 5 作用于刚体上的力 施于刚体的力不是自由矢量 力的作用线过质心 平动 力的作用线不过质心 平动加转动 6 施于刚体的力是滑移矢量 作用于刚体的力的三要素 大小 方向和作用线 力沿作用线滑移不改变作用效果 施于刚体的力等效于一作用线过质心的力 平动 和一力偶和 转动 7 1 刚体的定轴转动 刚体中有根确定的直线始终保持不动 整个刚体绕着这根直线转动 该直线称作转轴 5 1定轴转动的角量描述 各质元的线速度 加速度一般不同 但角量 角位移 角速度 角加速度 都相同 描述刚体整体的运动用角量最方便 只有一个转动自由度 5 1节 8 运动学方程 2 定轴转动的角量描述 角坐标 确定刚体的位置 角速度 描述转动的快慢 角加速度 描述角速度变化的快慢 9 角速度是矢量 方向规定为沿轴方向 指向用右手螺旋法则确定 右手四指沿刚体转动方向 伸直的大拇指的指向为角速度的方向 对于刚体定轴转动 角速度的方向只有两个 规定逆时针方向为正 角速度方向可用正负号表示 10 如果 为恒量相应公式 两类基本问题 已知运动方程求角速度和角加速度 已知角加速度求角速度和运动方程 11 刚体上任一P点线量与角量的关系 矢量式 可见 刚体各质元的角量相同 线量一般不同 即 12 5 2转动惯量及其计算 1 转动惯量 反映刚体在转动中的惯性 定义 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和 单位 若质量连续分布 5 2节 13 其中 分别为质量的线密度 面密度和体密度 14 2 转动惯量的计算 1 质点 圆环 圆筒绕中心轴转动 质点的转动惯量为 对于匀质圆环和薄圆筒 因各质元到轴的垂直距离都相同 则有 15 2 圆盘 圆柱绕中心轴转动 对于质量为 半径为 厚为的均匀圆盘取半径为宽为的薄圆环 则有 可见 转动惯量与厚度无关 所以 实心圆柱对其轴的转动惯量与圆盘的相同 16 3 球体绕其直径的转动 将均质球体分割成一系列彼此平行且都与对称轴垂直得圆盘 则有 即 17 轴位于端点A 4 求长为 质量为的均匀细棒绕垂直轴的转动惯量 取一小段 可视为质点 轴位于中心C 18 决定刚体转动惯量的因素 刚体的质量分布 转轴的位置 注意 平行轴定理 若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc 则刚体对与该轴相距为d的平行轴z的转动惯量Jz是 如图所示 19 垂直轴定理 对于薄板刚体 绕垂直于板面的轴Oz的转动惯量 等于位于板面内与Oz轴交于一点的两相互正交轴Ox和Oy的转动惯量之和 例如 薄盘绕直径的转动惯量 20 若力学体系有几个部分组成 整体绕定轴转动的转动惯量 等与各部分对该轴的转动惯量之和 即 组合定理 例如 有质量为 长为的均质细杆和质量为 半径为的匀质球体组成的刚体 对Z轴的转动惯量为 21 22 5 3定轴转动的基本方程 5 3 1基本方程 刚体作定轴转动时 一个自由度 确定刚体的位置只需一个独立变量 角坐标 因而需要一个动力学方程 角动量定理 5 3节 23 5 3 2对定轴的转动定理 1 对定轴的角动量 即 2 转动定理 由于刚体的转动惯量为常量 所以有 24 即 当刚体绕固定轴转动时 刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积等于外力对此轴的合力距 定轴转动定律 25 3 沿定轴的角动量守恒定律 当时 对于形变物体 转速与转动惯量成反比 即 26 5 3 3定轴转动的动能定理 由于刚体是质点系 满足质点系的动能定理 即 1 刚体转动动能 质元动能 刚体的转动动能 27 2 内力的功为零 以刚体内两质点为例 讨论一对内力的功 质点1 质点2 28 3 力矩的功 一个外力元功为 如图所示 设为刚体所受的任一个外力 当刚体转过角时 作用点的元位移为 沿轴方向的分力不做功 法向分力不作功 只有切向分力作功 即 29 所有外力的总功为 4 刚体定轴转动的动能定理 刚体在作定轴转动的过程中 其转动动能的增量等于刚体所受的沿定轴方向的合力矩对刚体所作的功 为定轴转动的动能定理 30 5 机械能守恒定律 如果仅有保守力对定轴转动的刚体做功 则其机械能守恒 即转动动能与势能的总和为常量 若质量为m的刚体 仅在重力场中作定轴转动 以yc表示刚体质心的竖直坐标 则机械能守恒方程为 根据柯尼希定理 则 31 1 确定研究对象 2 受力分析 确定做功的力矩 3 确定始末两态的动能 4 列方程求解 6 应用转动动能定理解题方法 理论依据 32 例5 3 1自由摆下的杆有匀质细杆长为l 质量为m 可以绕过端点的水平轴在竖直平面内自由摆动 今使杆自水平位置由静止释放 求 2 杆摆到竖直位置时 轴与杆的相互作用力 1 杆摆到位置时的角速度和角加速度 33 由得 因为 所以 分离变量并积分得 解 1 方法一 利用转动定理求 积分求 34 方法二 利用动能定理求 求导数得 重力矩作功 由动能定理 本题也可用机械能守恒定律计算 35 36 由质心运动定理得 2 当杆摆到竖直位置时 由上两式解得 37 例5 3 2粗糙桌面上绕定抽转动的圆盘 2 圆盘转动几圈后停止 1 从开始到停止所经历的时间 一半径为R的匀质圆盘 以初角速度 0在摩擦系数为 的水平桌面上 绕光滑质心轴转动 若转动过程中盘面与桌面始终紧密接触 求 38 解 1 以圆盘为研究对象 将圆盘分割成无限多个圆环 每个圆环的质量为 每个圆环产生的摩擦力矩为 整个圆盘产生的摩擦力矩为 39 根据转动定律 其中为常量 将上式分离变量并积分 则 40 2 根据动能定理 则转过的角度 则转过的圈数 41 42 根据质心运动定理 根据对支点O的转动定律 则解得 对于匀质细棒 解 43 5 4力学体系绕定轴转动 力学体系 是指由质点 变形质点系 刚体等多个物体组成的整体 如图所示 由人 哑铃 转盘组成的力学体系 整体绕定轴转动 但其中的各个部分有的作平动 有的作转动 解决此类问题的基本方法为 1 隔离分析法 5 4节 44 2 整体分析法 角动量守恒 机械能守恒 若 若 45 例5 4 1研究阿特伍德机的运动 滑轮可看作匀质圆盘 且 求 两物体的加速度 解法一 隔离分析法 取顺时针转动为正方向 由此解得 46 解法二 整体分析法 利用角动量定理 取顺时针转动为正方向 系统角动量为 由于 所以 47 解法三 整体分析法 利用动能定理 取顺时针转动为正方向 对上式求导数 所以 整体分析法更简单 48 1 物体A B运动多长时间C才开始动 2 物体C运动时的速度多大 例5 4 1连结体的定轴转动A B C的质量都是m A和C间用长为l的细绳相连接 A通过一跨过定滑轮的细绳与B相连 定滑轮为半径R 质量m的匀质圆盘 先用手托住B 使A B间的绳子刚好伸长 如图所示 不计绳的伸长和轴处的摩擦 设绳与滑轮间不打滑 求放手后 49 解 1 采用整体分析法 利用角动量定理求解 C动前 视A B 盘为一整体 其角动量为 由于 所以 50 由得 C开始运动的时间为 2 从绳绷紧到C运动的瞬间 A与C作用时间极短 视A B C 盘为一整体 系统所受的外力矩为物体B的重力矩可忽略 因此角动量守恒 则有 其中 51 由以上各式解得 物体C开始运动的速度为 请用其他两种方法求解 52 例5 4 3小球与定轴转动的杆的碰撞长为l 质量为M的匀质细杆AB 可绕过端点A的光滑轴在水平桌面内转动 最初杆静止 今有一质量为m的球沿垂直于杆的方向飞向端点B 与杆发生碰撞 设碰撞的恢复系数为e 杆与桌面的摩擦系数为 问为使杆至少转一周 球的初速度最小应为多大 53 解 1 球与杆的碰撞过程 由于作用时间极短 摩擦阻力矩可忽略 因此角动量守恒 动量不守恒 取逆时针方向为正 则有 2 杆的转动过程 根据动能定理得 3 54 于是 3 式可写为 解得 其中 55 至少转一周的条件为 因此有 由 1 和 2 式消去 解得 于是有 解得 56 例5 4 4质量为M 半径为R的转台 可绕中心轴转动 设质量为m的人站在台的边缘上 初始时人 台都静止 如果人相对于台沿边缘奔跑一周 问 相对于地面而言 人和台各转过了多少角度 解 角动量守恒 57 58 思考5 4 1一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上 双臂伸直水平地举起二哑铃 在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中 人 哑铃与转动平台组成的系统的 A 机械能守恒 角动量守恒 B 机械能守恒 角动量不守恒 C 机械能不守恒 角动量守恒 D 机械能不守恒 角动量不守恒 59 思考5 4 2人造地球卫星 绕地球作椭圆轨道运动 地球在椭圆的一个焦点上 则卫星的 60 5 5刚体的平面平行运动 刚体的平面平行运动 刚体运动时 刚体内每个点的轨迹都是一条平面曲线 各曲线所在平面都某一固定平面平行 5 5节 61 运动的特点 1 刚体的质心始终位于同一个平面上 2 刚体内垂直于固定平面的直线上各点具有完全相同运动状态 3 刚体内平行于固定平面的各平面有相同的运动特征 62 5 5 1运动学简介 1 运动学方程 如图所示 取质心所在的平面为研究对象 任取一点A为基点 一般取质心 则P点的运动方程为 63 2 运动叠加原理 基点A可以任意取 基点A的平动量 因基点而异 绕基点A的转动的角量 都相同 64 举例 直角三角形的平面平行运动 可见 基点不同 平移的位移不同 但转过的角度相同 转向也相同 以A为基点平移 逆转 以C为基点平移 逆转 65 3 刚体上任一点P的速度和加速度 根据伽利略变换式 刚体上任一点P的速度 刚体上任一点P的加速度 为定长旋转矢量 66 4 运动学特例 圆柱体的纯滚动 纯滚动 摩擦力足够大 接触点间无相对滑动 滑滚运动 摩擦力不够大 刚体既滚动又滑动 1 纯滚动的运动学判据 67 2 纯滚运动的速度分布 以质心C为基点 最高点D的速度为 接触点A的速度为 任一点E的速度为 可见 代表刚体整体的速度 刚体上的每一点都具有这个平动速度 68 以接触点A为基点 任一点P的速度为 因此有 可见 对于纯滚动 若取接触点A为基点 在某瞬时刚体的平面平行运动 可视为A点的单纯转动 69 作纯滚动的刚体 与平面的接触点就是它的瞬心 确定瞬心的几何方法 1 若已知和 瞬心O在与垂直且相距的地方 2 若已知刚体上A B两点同一时刻速度的方向 则它们垂线的交点即为瞬心 70 刚体作纯滚动时 接触点的速度为零 但加速度不为零 以质心C为基点有 其中 所以 71 5 5 2平面运动动力学 三个自由度 两个平动自由度和一个转动自由度 注 也可以用动能定理或机械能守恒定律求解 72 例5 5 1沿固定斜面的纯滚动一半径为R 质量为m的匀质圆柱体 沿倾角为 的固定斜面无滑动的滚下 若不计滚动摩擦 试求圆柱体质心的加速度 解 方法一利用运动叠加原理 质心的平动加绕质心的转动 动力学方程为 纯滚动条件 解上述四式可得 73 1 根据 实心圆柱体 实心球体 薄圆筒 讨论 2 根据纯滚动的动力学判据 临界角 转动惯量越小加速度越大 74 方法二用机械能守恒定律 由于圆柱体作纯滚动 接触点无相对滑动 静摩擦力不做功 只有重力做功 机械能守恒 对上式求导数得 其中 解得 75 解得 76 例5 5 2沿加速平板表面的纯滚动在水平板上放一半径为R 质量为m的匀质球 设平板具有加速度a 球沿平板作纯滚动 求球质心的加速度和所受静摩擦力的大小 解 以球为研究对象 平板为参考系 非惯性系 则动力学方程为 77 由以上三式解得 因此 球心的加速度为 78 例5 5 3何时开始纯滚动有一缓慢改变倾角的固定斜面 如图所示 一质量为m 半径为R的匀质圆柱体从高h处由静止沿光滑斜面滑下 紧接着沿粗糙水平面运动 已知水平面与圆柱体间的摩擦系数 求 1 圆柱体沿水平面运动多长时间后开始作纯滚动 2 圆柱体达到纯滚动前经历的水平距离 79 解 1 沿光滑斜面 圆柱体仅作滑动 沿水平面达到纯滚动前作滑滚运动 动力学方程为 由以上三式解得 80 达到纯滚动前有 达到纯滚动时有 解得作纯滚动经历的时间 2 达到纯滚动时经历的距离 81 例5 5 4杆的自由倾倒匀质细杆AB长为2l 质量为m 最初使杆斜立于光滑水平面上 其倾角为 0 今释放杆让其自由倾倒 求 1 杆的质心及杆的端点B的运动轨迹 2 杆的角速度与倾角 的关系 82 解 杆在竖直平面内作平面平行运动 1 杆沿水平方向不受力 质心C沿竖直方向作直线运动 沿该直线向上建立y坐标 则端点B的位置坐标为 质消去参量可得端点B的轨迹方程为 83 2 杆倾倒的过程中 只有重力做功 机械能守恒 对于质心C有 由以上各式解得 则有 84 5 6刚体的平衡 刚体的平衡状态 通常指静止状态 刚体平衡的充要条件 刚体所受外力的矢量和等于零 对任一个参考点的外力矩的矢量和等于零 即 85 若刚体受力分布在OXY平面内 则其平衡方程可简化为 z轴垂直于Oxy平面 其他两种形式 O O O 三点不共线 86 注意 若刚体在三个力的作用下处于平衡状态 此三力的作用线共面且必交于一点 如图所示 靠在光滑墙面上的梯子受力情况 87 例5 6 1三力作用下的平衡半径为r的光滑半球形碗 固定在水平面上 一匀质棒斜靠在碗缘 一端在碗内 另一端在碗外 在碗内的长度为C 试证明棒的全长为 88 解 如图所示 三力作用线交于点 平衡方程为 以为基点有 沿棒长方向有 由两式解得 又因 解得 89