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第十一章 11.2.2三角形的外角知识点1：三角形的外角(1)三角形外角的定义:三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图,ACD、BCE都是ABC的外角,且ACD=BCE.所以说一个三角形有六个外角,但我们每个一个顶点处只选一个外角,这样三角形的外角就只有三个了.(2)三角形的外角有三个特征:顶点在三角形的一个顶点上;一条边是三角形的一边;另一边是三角形另一条边的延长线.注意：三角形每个顶点处有两个外角,它们是对顶角,所以三角形共有六个外角,通常每个顶点处取一个外角.因为三角形的每个外角与相邻的内角是邻补角,由三角形的内角和是180,可以推出三角形的三个外角的和是360.知识点2：三角形的外角性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.几何语言表述:如图所示,ACD是ABC的外角,ACD=A+B(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和).归纳整理:(1)三角形的外角性质反映的是外角与它不相邻的内角之间的关系,在应用三角形外角的性质及内角和定理时,一定要注意外角与和它相邻的内角是互补关系.(2)三角形的外角性质的应用:可以用来计算角的大小,也可以用来判断相关角的不等关系.(3)三角形的外角和是360.(4)三角形的外角与相邻的内角之间的关系:当三角形的外角大于与它相邻的内角时,则该三角形可能锐角三角形、直角三角形或钝角三角形;当三角形的外角等于与它相邻的内角时,则该三角形一定是直角三角形;当三角形的外角小于与它相邻的内角时,则该三角形一定是钝角三角形.考点1：三角形外角的应用【例1】已知某零件的形状如图所示,按规定BAC=90,B=18,C=25,检测工人测得BDC=135,就断定此零件不合格.你能说明理由吗?解:如图,连接AD并延长到点E,由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得CDE=C+CAE,BDE=B+BAE.所以BDC=C+B+CAB.若零件合格,则有BDC=90+18+25=133,而量得BDC=135,所以这个零件不合格.点拨:这是一个有关三角形知识在实际问题中的应用的题目,其关键是如何将实际问题转化为相应的有关三角形的角的知识来解决.考点2：三角形内角和外角的综合应用【例2】如图 (1),在ABC中,1=2,CB,E为AD上一点,且EFBC,垂足为F.(1)试探索DEF与B、C的大小关系;(2)如图 (2),当点E在AD的延长线上时,其他条件都不变,你在(1)中探索得到的结论是否还成立?并说明理由.(1) (2)解:(1)1=2,1=BAC.BAC=180-(B+C),1=180-(B+C)=90-(B+C).EDF=B+1=B+90-(B+C)=90+(B-C).又EFBC,EFD=90.DEF=90-EDF=90-=(C-B).(2)当点E在AD的延长线上时,其余条件都不变,(1)中探索所得的结论仍成立,理由同(1).点拨:本题的关键是寻找DEF与B、C之间的联系,由三角形的内角和定理及外角性质,可通过1(或2)、EDF搭桥解决.
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