2019高考数学二轮复习 专题四 第八讲 数列求和及简单应用课件 文.ppt

第八讲数列求和及简单应用 总纲目录 命题角度一 利用an与Sn的关系求通项an 1 2018安徽合肥质量检测 已知数列 an 的前n项和为Sn 若3Sn 2an 3n 则a2018 A 22018 1B 32018 6C D 答案A 3Sn 2an 3n 当n 1时 3S1 3a1 2a1 3 a1 3 当n 2时 3an 3Sn 3Sn 1 2an 3n 2an 1 3n 3 an 2an 1 3 an 1 2 an 1 1 数列 an 1 是以 2为首项 2为公比的等比数列 an 1 2 2 n 1 2 n an 2 n 1 a2018 2 2018 1 22018 1 故选A 2 2018课标全国 理 14 5分 记Sn为数列 an 的前n项和 若Sn 2an 1 则S6 答案 63 解析解法一 由Sn 2an 1 得a1 2a1 1 所以a1 1 当n 2时 an Sn Sn 1 2an 1 2an 1 1 得an 2an 1 an 是首项为 1 公比为2的等比数列 S6 63 解法二 由Sn 2an 1 得S1 2S1 1 所以S1 1 当n 2时 由Sn 2an 1得Sn 2 Sn Sn 1 1 即Sn 2Sn 1 1 Sn 1 2 Sn 1 1 又S1 1 2 Sn 1 是首项为 2 公比为2的等比数列 所以Sn 1 2 2n 1 2n 所以Sn 1 2n S6 1 26 63 方法归纳当已知数列 an 的一个含有an Sn的等式时 往往根据升幂或降幂的方法得到一个新的等式 然后两个等式相减 从而把前n项和转化为数列的通项之间的关系 再根据这个关系求解数列的通项公式 提醒 由含an与Sn的关系式求an 应注意以下三点 1 注意分n 1和n 2两种情况处理 特别要注意使用an Sn Sn 1时需n 2 2 由Sn Sn 1 an n 2 推得an 当n 1时 a1也符合 an式 则需 合写 通项公式 3 由Sn Sn 1 an n 2 推得an 当n 1时 a1不符合 an式 则数列的通项公式应分段表示 即an 命题角度二 利用递推公式求通项an 答案 1 2018安徽合肥模拟 数列 an 满足 a1 且an 1 n N 则数列 an 的前n项和Sn 解析通解 an 1 两边同时取倒数得 整理得 3 所以 3 所以数列是以 3为首项 3为公差的等差数列 所以 3n 所以an 所以数列 an 是常数列 所以Sn 优解 用归纳法求解 a1 根据an 1 可得a2 a3 a4 所以猜想an 经验证 an 1 从而Sn 2 2018辽宁沈阳质量监测 在数列 an 中 a1 1 a2 2 an 1 3an 2an 1 n 2 则an 答案2n 1 n N 解析解法一 因为an 1 3an 2an 1 n 2 所以 2 n 2 所以an 1 an a2 a1 2n 1 2n 1 n 2 又a2 a1 1 所以an an 1 2n 2 an 1 an 2 2n 3 a2 a1 1 累加 得an 2n 1 n N 解法二 因为an 1 3an 2an 1 n 2 所以an 1 2an an 2an 1 得an 1 2an an 2an 1 an 1 2an 2 a2 2a1 0 即an 2an 1 n 2 所以数列 an 是以1为首项 2为公比的等比数列 所以an 2n 1 n N 方法归纳由递推公式求通项公式的三种类型 1 形如an 1 an f n 的数列 常用累加法 即利用an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 求通项公式 2 形如an 1 anf n 常可采用累乘法 即利用恒等式an a1 求通项公式 3 形如an 1 ban d 其中b d为常数 b 0 1 的数列 常用构造法 其基本思路是 构造an 1 x b an x 则 an x 是公比为b的等比数列 利用它可求出an 1 数列 an 的前n项和记为Sn a1 1 an 1 2Sn 1 n 1 n N 则数列 an 的通项公式是 答案an 3n 1 n N 解析解法一 由an 1 2Sn 1可得an 2Sn 1 1 n 2 两式相减得an 1 an 2an 即an 1 3an n 2 又a2 2S1 1 3 a1 1 a2 3a1 故 an 是首项为1 公比为3的等比数列 an 3n 1 解法二 由于an 1 Sn 1 Sn an 1 2Sn 1 所以Sn 1 Sn 2Sn 1 即Sn 1 3Sn 1 所以Sn 1 3 所以数列是首项为S1 公比为3的等比数列 故Sn 3n 1 3n 即Sn 3n 所以 当n 2时 an Sn Sn 1 3n 1 当n 1时 a1 1也适合上式 所以数列 an 的通项公式是an 3n 1 n N 2 已知数列 an 满足an 1 若a1 则a2017 答案 解析因为a1 所以根据题意得a2 a3 a4 a5 所以数列 an 是以4为周期的数列 又2017 504 4 1 所以a2017 a1 3 已知数列 an 中 a1 2 且 4 an 1 an n N 则其前9项和S9 答案1022 解析由已知 得 4anan 1 4 即 4anan 1 4 an 1 2an 2 0 所以an 1 2an 所以数列 an 是首项为2 公比为2的等比数列 故S9 210 2 1022 2 一些特殊数列的前n项和 1 1 2 3 n n n 1 2 1 3 5 2n 1 n2 3 12 22 32 n2 n n 1 2n 1 4 13 23 33 n3 n2 n 1 2 已知数列 an 满足a1 1 an 1 n N 1 求证 数列为等差数列 2 设T2n 求T2n 解析 1 由an 1 得 所以 又a1 1 则 1 所以数列是首项为1 公差为的等差数列 2 设bn 由 1 得 数列是公差为的等差数列 所以 即bn 所以bn 1 bn 又b1 所以数列 bn 是首项为 公差为 的等差数列 所以T2n b1 b2 bn n 2n2 3n 已知数列 an 是等差数列 a2 6 前n项和为Sn 数列 bn 是等比数列 b2 2 a1b3 12 S3 b1 19 1 求 an bn 的通项公式 2 求数列 bncos an 的前n项和Tn 解析 1 数列 an 是等差数列 a2 6 S3 b1 3a2 b1 18 b1 19 b1 1 b2 2 数列 bn 是等比数列 bn 2n 1 b3 4 a1b3 12 a1 3 a2 6 数列 an 是等差数列 an 3n 2 设cn bncos an 由 1 得cn bncos an 1 n2n 1 则cn 1 1 n 12n 2 又c1 1 数列 bncos an 是以 1为首项 2为公比的等比数列 Tn 2 n 1 命题角度二 分组求和分组求和法 将一个数列分成若干个简单数列 如等差数列 等比数列 常数列等 然后分别求和 也可先根据通项公式的特征 将其分解为可以直接求和的一些数列的和 再分组求和 即把一个通项公式拆成几个通项求和的形式 方便求和 已知等差数列 an 的首项为a 公差为d n N 且不等式ax2 3x 2 0的解集为 1 d 1 求数列 an 的通项公式 2 若bn an 1 n N 求数列 bn 的前n项和Tn 方法归纳若一个数列由两个或多个等差 等比数列的和差形式组成 或这个数列可以分解成两个或多个等差 等比数列的和差形式 则可以根据数列的结构对原数列求和式的各部分重新组合 进而使用等差 等比数列的求和公式进行求和 解题的关键是观察结构 巧分组 设等差数列 an 的前n项和为Sn 且a2 8 S4 40 数列 bn 的前n项和为Tn 且Tn 2bn 3 0 n N 1 求数列 an bn 的通项公式 2 设cn 求数列 cn 的前n项和Pn 解析 1 设等差数列 an 的公差为d 由题意 得解得所以an 4n 因为Tn 2bn 3 0 所以当n 1时 b1 3 当n 2时 Tn 1 2bn 1 3 0 两式相减 得bn 2bn 1 n 2 则数列 bn 为等比数列 所以bn 3 2n 1 2 cn 当n为偶数时 Pn a1 a3 an 1 b2 b4 bn 2n 1 n2 2 当n为奇数时 解法一 n 1 n 3 为偶数 Pn Pn 1 cn 2 n 1 1 n 1 2 2 4n 2n n2 2n 1 n 1时符合公式 解法二 Pn a1 a3 an 2 an b2 b4 bn 1 2n n2 2n 1 所以Pn 已知数列 an 满足a1 3 an 1 2an n 1 数列 bn 满足b1 2 bn 1 bn an n n N 1 证明 an n 为等比数列 2 数列 cn 满足cn 求数列 cn 的前n项和Tn 解析 1 证明 因为an 1 2an n 1 所以an 1 n 1 2 an n 又a1 3 所以a1 1 2 所以数列 an n 是以2为首项 2为公比的等比数列 2 由 1 知 an n 2 2n 1 2n 所以bn 1 bn an n bn 2n 即bn 1 bn 2n b2 b1 21 b3 b2 22 b4 b3 23 bn bn 1 2n 1 以上式子相加 得bn 2 2n n 2 当n 1时 b1 2 满足bn 2n 所以bn 2n n N 所以cn 所以Tn 2018广州调研 已知数列 an 满足a1 4a2 42a3 4n 1an n N 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn 求数列 bnbn 1 的前n项和Tn 解析 1 当n 1时 a1 因为a1 4a2 42a3 4n 2an 1 4n 1an 所以a1 4a2 42a3 4n 2an 1 n 2 n N 得4n 1an n 2 n N 所以an n 2 n N 由于a1 也符合上式 故an n N 2 由 1 得bn 所以bnbn 1 故Tn 命题角度四 错位相减法求和错位相减法 已知数列 an 是等差数列 数列 bn 是等比数列 求数列 anbn 的前n项和Sn时 先令Sn乘等比数列 bn 的公比 再错开位置 把两个等式相减 从而求出Sn 已知 an 为等差数列 前n项和为Sn n N bn 是首项为2的等比数列 且公比大于0 b2 b3 12 b3 a4 2a1 S11 11b4 1 求 an 和 bn 的通项公式 2 求数列 a2nb2n 1 n N 的前n项和 解析 1 设等差数列 an 的公差为d 等比数列 bn 的公比为q q 0 因为b2 b3 12 所以b1 q q2 12 又b1 2 所以q q2 6 0 解得q 2 所以bn 2n 由b3 a4 2a1 S11 11b4 可得解得所以an 3n 2 所以数列 an 的通项公式为an 3n 2 数列 bn 的通项公式为bn 2n 2 由 1 知 a2n 6n 2 b2n 1 2 4n 1 所以a2nb2n 1 3n 1 4n 设数列 a2nb2n 1 的前n项和为Tn 故Tn 2 4 5 42 8 43 3n 1 4n 4Tn 2 42 5 43 3n 4 4n 3n 1 4n 1 得 3Tn 2 4 3 42 3 43 3 4n 3n 1 4n 1 4 3n 1 4n 1 3n 2 4n 1 8 所以Tn 4n 1 故数列 a2nb2n 1 的前n项和为 4n 1 方法归纳求解此类题需掌握三个技巧 一是巧分拆 即把数列的通项公式转化为等差数列 等比数列的通项的和 并求出等比数列的公比 二是构差式 求出前n项和的表达式 然后乘等比数列的公比 两式作差 三是得结构 即根据差式的特征进行准确求和 提醒 运用错位相减法求和时应注意三点 一是判断模型 即判断数列 an bn 一个为等差数列 一个为等比数列 二是错开位置 如本题的 式 先乘公比4 再把前n项和退后一个位置来书写 这样为两式相减避免看错做准备 三是相减时一定要注意 式中的最后一项的符号 学生常在此步出错 一定要小心 2018河北石家庄模拟 设数列 an 的前n项和为Sn 且2Sn 3an 1 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn 求数列 bn 的前n项和Tn 解析 1 由2Sn 3an 1 得2Sn 1 3an 1 1 n 2 得2an 3an 3an 1 3 n 2 又2S1 3a1 1 2S2 3a2 1 a1 1 a2 3 3 an 是首项为1 公比为3的等比数列 an 3n 1 n N 2 由 1 得 bn Tn Tn 得 Tn Tn 考点三数列与函数 不等式的综合问题命题角度一 数列与函数的综合问题 已知数列 an 的前n项和为Sn 点 n Sn 3 n N 在函数y 3 2x的图象上 等比数列 bn 满足bn bn 1 an n N 其前n项和为Tn 则下列结论正确的是 A Sn 2TnB Tn 2bn 1C Tn anD Tn bn 1 答案D因为点 n Sn 3 在函数y 3 2x的图象上 所以Sn 3 3 2n 即Sn 3 2n 3 当n 2时 an Sn Sn 1 3 2n 3 3 2n 1 3 3 2n 1 又当n 1时 a1 S1 3 所以an 3 2n 1 n N 设bn b1qn 1 则b1qn 1 b1qn 3 2n 1 可得b1 1 q 2 所以数列 bn 的通项公式为bn 2n 1 由等比数列前n项和公式可得Tn 2n 1 结合选项可知 只有D正确 方法归纳求解此类题的关键 一是数形结合思想的应用 即由点在函数图象上 把已知点的坐标代入函数表达式 求出数列的前n项和 二是会求数列的通项公式 即通过an 求出数列 an 的通项公式 三是方程思想的应用 即通过设出等比数列的通项公式 代入已知递推关系式 求出等比数列的通项公式 命题角度二 数列与不等式的综合问题已知等差数列 an 的前n项和为Sn n N 且a2 3 S5 25 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足bn 记数列 bn 的前n项和为Tn 证明 Tn 1 解析 1 设等差数列 an 的公差为d 因为a2 3 S5 25 所以解得所以an 2n 1 2 证明 由 1 知 an 2n 1 所以Sn n2 所以bn 所以Tn b1 b2 b3 bn 1 1 方法归纳证明数列不等式的关键 一是会灵活运用等差数列与等比数列的通项公式 前n项和公式以及裂项相消法 二是会利用放缩法证明不等式 1 若等差数列 an 中a3 a2017是函数f x x3 6x2 4x 1的两个不同的极值点 则loa1010的值为 A 2B C 2D 答案B由题易得f x 3x2 12x 4 因为a3 a2017是函数f x x3 6x2 4x 1的两个不同的极值点 所以a3 a2017是方程3x2 12x 4 0的两个不等实数根 所以a3 a2017 4 又数列 an 为等差数列 所以a3 a2017 2a1010 即a1010 2 从而loa1010 lo2 故选B 2 2018河南洛阳第一次统考 已知各项均不为零的数列 an 的前n项和为Sn 且满足a1 4 an 1 3Sn 4 n N 1 求数列 an 的通项公式 2 设数列 bn 满足anbn log2an 数列 bn 的前n项和为Tn 求证 Tn 解析 1 an 1 3Sn 4 an 3Sn 1 4 n 2 两式相减 得an 1 an 3an n 2 即an 1 4an n 2 又a2 3a1 4 16 4a1 数列 an 是首项为4 公比为4的等比数列 an 4n n N 2 证明 anbn log2an log24n 2n bn Tn Tn 两式相减得 Tn 2 2 Tn