2019高考数学二轮复习 专题六 第十二讲 圆锥曲线及其性质课件 文.ppt

第十二讲圆锥曲线及其性质 总纲目录 2 圆锥曲线的标准方程 1 椭圆的标准方程为 1 其中a b 0 2 双曲线的标准方程为 1 其中a 0 b 0 3 抛物线的标准方程为x2 2py y2 2px 其中p 0 1 2018安徽合肥质量检测 如图 椭圆 1 a 0 的左 右焦点分别为F1 F2 过F1的直线交椭圆于M N两点 交y轴于点H 若F1 H是线段MN的三等分点 则 F2MN的周长为 A 20B 10C 2D 4 2 2018陕西西安八校联考 P是双曲线 1上一点 双曲线的一条渐近线的方程为3x 2y 0 F1 F2分别是双曲线的左 右焦点 若 PF1 6 则 PF2 A 9B 2C 10D 2或10 答案D因为双曲线的一条渐近线的方程为3x 2y 0 即y x 又双曲线的渐近线方程为y x 不妨设a 0 所以可得 所以a 2 于是 由双曲线的定义得 6 PF2 2a 4 解得 PF2 2或 PF2 10 又 PF1 6 a c 2 所以点P可能在双曲线的右支上 也可能在左支上 故所求 PF2 2或 PF2 10均有可能 故选D 3 2018重庆调研 已知点F是抛物线y2 4x的焦点 P是该抛物线上任意一点 M 5 3 则 PF PM 的最小值是 A 6B 5C 4D 3 答案A由题意知 抛物线的准线l的方程为x 1 过点P作PE l于点E 由抛物线的定义 得 PE PF 易知当P E M三点在同一条直线上时 PF PM 取得最小值 即 PF PM min 5 1 6 故选A 方法归纳求解圆锥曲线标准方程的方法是 先定型 后计算 1 定型 就是指定类型 也就是确定圆锥曲线的焦点位置 从而设出标准方程 2 计算 即利用待定系数法求出方程中的a2 b2或p 另外 当焦点位置无法确定时 抛物线方程常设为y2 2ax或x2 2ay a 0 椭圆方程常设为mx2 ny2 1 m 0 n 0 且m n 双曲线方程常设为mx2 ny2 1 mn 0 提能 椭圆和双曲线的定义主要应用于两方面 一是利用定义求它们的标准方程 二是利用定义求弦长 离心率及焦点三角形的周长 面积 或最值 等 1 2018湖北黄冈模拟 如图 已知椭圆C的中心为原点O F 5 0 为C的左焦点 P为C上一点 满足 OP OF 且 PF 6 则椭圆C的方程为 答案C由题意可得c 5 设右焦点为F 连接PF 由 OP OF OF 知 PFF FPO OF P OPF PFF OF P FPO OPF FPO OPF 90 即PF PF 在Rt PFF 中 由勾股定理 得 PF 8 由椭圆的定义 得 PF PF 2a 6 8 14 从而a 7 a2 49 于是b2 a2 c2 49 52 24 椭圆C的方程为 1 故选C 2 2018云南昆明调研 过抛物线C y2 2px p 0 的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l与C交于A B两点 过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M 若 MN AB 则l的斜率为 A vB C D 1 答案B设抛物线的准线为m 分别过点A N B作AA m NN m BB m 垂足分别为A N B 因为直线l过抛物线的焦点 所以 BB BF AA AF 又N是线段AB的中点 MN AB 所以 NN BB AA BF AF AB MN 所以 MNN 60 则直线MN的倾斜角是120 又MN l 所以直线l的倾斜角是30 斜率是 故选B 1 2018课标全国 10 5分 已知双曲线C 1 a 0 b 0 的离心率为 则点 4 0 到C的渐近线的距离为 A B 2C D 2 2 2018河南郑州质量预测 已知椭圆 1 a b 0 的左顶点和上顶点分别为A B 左 右焦点分别是F1 F2 在线段AB上有且只有一个点P满足PF1 PF2 则椭圆的离心率的平方为 A B C D 答案 1 D 2 B 解析 1 e 且a 0 b 0 1 C的渐近线方程为y x 点 4 0 到C的渐近线的距离为 2 2 由题意得 A a 0 B 0 b 由在线段AB上有且只有一个点P满足PF1 PF2 得点P是以 点O为圆心 线段F1F2为直径的圆x2 y2 c2与线段AB的切点 连接OP 则OP AB 且OP c 即点O到直线AB的距离为c 又直线AB的 方程为y x b 整理得bx ay ab 0 点O到直线AB的距离d c 两边同时平方整理得 a2b2 c2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 a4 b4 可得b4 a2b2 a4 0 两边同时除以a4 得 1 0 可得 则e2 1 1 故选B 1 2018贵州贵阳模拟 过双曲线C 1 a 0 b 0 的右焦点F作圆x2 y2 a2的切线FM 切点为M 交y轴于点P 若 2 则双曲线的离心率为 A B C D 2 答案B设P 0 3m 由 2 可得点M的坐标为 OM PF 1 m2 c2 M 由 OM 2 MF 2 OF 2 OM a OF c得 a2 c2 即a2 c2 e 故选B 2 2018福建福州模拟 过椭圆C 1 a b 0 的右焦点作x轴的垂线 交C于A B两点 直线l过C的左焦点和上顶点 若以AB为直径的圆与l存在公共点 则C的离心率的取值范围是 A B C D 答案A由题设知 直线l 1 即bx cy bc 0 以AB为直径的圆的圆心为 c 0 根据题意 将x c代入椭圆C的方程 得y 则圆的半径r 又圆与直线l有公共点 所以 化简得2c b 平方整理得a2 5c2 所以e 又0 e 1 所以0 e 故选A 3 2018河北唐山五校联考 过抛物线y2 2px p 0 的焦点F作直线交抛物线于A B两点 若 AF 2 BF 6 则p 答案4 解析解法一 设直线AB的倾斜角为 分别过A B作准线l的垂线AA BB 垂足分别为A B 则 AA 6 BB 3 过点B作AA 的垂线BC 垂足为C 则 AC 3 BC 6 易知 BAC 所以sin 所以 AB 9 解得p 4 解法二 设直线AB的倾斜角为 则 AF BF 则有 2 解得cos 又 AF 6 所以p 4 解法三 由结论 得 解得p 4 考点三直线与圆锥曲线的位置关系 1 判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题的两种常用方法 1 代数法 联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x y的方程组 消去y 或x 得到一个一元二次方程 此方程根的个数即为交点个数 方程组的解即为交点坐标 2 几何法 画出直线与圆锥曲线 根据图形判断公共点个数 2 弦长公式设斜率为k的直线l与圆锥曲线C的两交点为P x1 y1 Q x2 y2 则 PQ x1 x2 或 PQ y1 y2 k 0 3 弦的中点圆锥曲线C f x y 0的弦为PQ 若P x1 y1 Q x2 y2 中点M x0 y0 则x1 x2 2x0 y1 y2 2y0 命题角度一 位置关系的判断与应用 设A B为曲线C y 上两点 A与B的横坐标之和为4 1 求直线AB的斜率 2 设M为曲线C上一点 C在M处的切线与直线AB平行 且AM BM 求直线AB的方程 解析 1 设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2 y1 y2 x1 x2 4 于是直线AB的斜率k 1 2 由y 得y 设M x3 y3 由题设及 1 知 1 解得x3 2 于是M 2 1 设直线AB的方程为y x m 故线段AB的中点为N 2 2 m MN m 1 将y x m代入y 得x2 4x 4m 0 当 16 m 1 0 即m 1时 x1 2 2 2 易知 AB 2 MN 即4 2 m 1 解得m 7 m 1舍去 所以直线AB的方程为x y 7 0 方法归纳直线与圆锥曲线相切 如果直线不与抛物线的对称轴平行 不与双曲线的渐近线平行 那么当直线与圆锥曲线只有一个公共点时 只要把直线方程 圆锥曲线方程联立消元得到关于一个变量的一元二次方程 使其判别式等于零即可 命题角度二 弦长问题已知椭圆C y2 1 a 1 F1 F2分别是其左 右焦点 以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点 1 求椭圆C的方程 2 设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A B两点 线段AB的垂直平分线与x轴交于点P 点P横坐标的取值范围是 求线段AB长度的取值范围 解析 1 因为以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点 所以b c 1 所以a 所以椭圆C的方程为 y2 1 2 根据题意 过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A B两点 即直线AB的斜率存在且不为0 设直线AB的方程为y k x 1 k 0 与 y2 1联立 得 1 2k2 x2 4k2x 2k2 2 0 设A x1 y1 B x2 y2 线段AB的中点为M 则x1 x2 x1x2 y1 y2 k x1 1 k x2 1 即M 线段AB的垂直平分线的方程为y 令y 0 得xP 因为xP 所以0 k2 AB 因为0 k2 所以 1 2 所以 AB 2 故线段AB长度的取值范围是 方法归纳解决直线与椭圆的位置关系问题 经常利用设而不求的方法 解题要点如下 1 设直线与椭圆的交点为A x1 y1 B x2 y2 2 联立直线的方程与椭圆的方程 3 消元得到关于x或y的一元二次方程 4 利用根与系数的关系设而不求 5 把题干中的条件转化为x1 x2 x1x2或y1 y2 y1y2 进而求解即可 命题角度三 中点弦问题圆锥曲线以P x0 y0 y0 0 为中点的弦所在直线的斜率如下表 其中k x1 x2 x1 y1 x2 y2 为弦的端点坐标 在椭圆x2 4y2 16中 过点M 2 1 且被这一点平分的弦所在的直线方程为 答案x 2y 4 0 解析解法一 如果弦所在的直线的斜率不存在 即直线垂直于x轴 则点M 2 1 显然不可能为这条弦的中点 故可设弦所在的直线方程为y k x 2 1 与x2 4y2 16联立并消去y 得 1 4k2 x2 16k2 8k x 16k2 16k 12 0 16 12k2 4k 3 0恒成立 由 4 解得k 故所求直线方程为y x 2 1 即x 2y 4 0 解法二 设弦的两个端点分别为P x1 y1 Q x2 y2 则x1 x2 4 y1 y2 2 因为P x1 y1 Q x2 y2 在椭圆上 所以 4 16 4 16 两式相减得 x1 x2 x1 x2 4 y1 y2 y1 y2 0 当x1 x2时 直线PQ垂直于x轴 点M 2 1 显然不可能为这条弦的中点 故x1 x2 设所求直线的斜率为k 则有x1 x2 4 y1 y2 0 即4 8k 0 解得k 故所求直线方程为y 1 x 2 即x 2y 4 0 方法归纳对于中点弦问题 常利用 根与系数的关系 或 点差法 求解 在利用根与系数的关系时 要注意使用条件 0 在利用点差法时 要检验直线与圆锥曲线是否相交 2018北京 20 14分 已知椭圆M 1 a b 0 的离心率为 焦距为2 斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A B 1 求椭圆M的方程 2 若k 1 求 AB 的最大值 3 设P 2 0 直线PA与椭圆M的另一个交点为C 直线PB与椭圆M的另一个交点为D 若C D和点Q共线 求k 解析 1 由题意得解得a b 1 所以椭圆M的方程为 y2 1 2 设直线l的方程为y x m A x1 y1 B x2 y2 由得4x2 6mx 3m2 3 0 所以x1 x2 x1x2 所以xC x1 所以xC x1 所以yC xC 2 设D xD yD 同理得xD yD 记直线CQ DQ的斜率分别为kCQ kDQ 则kCQ kDQ 4 y1 y2 x1 x2 因为C D Q三点共线 所以kCQ kDQ 0 故y1 y2 x1 x2 所以直线l的斜率k 1