2019高中数学 第三章 变化率与导数 3.1 变化的快慢与变化率课件 北师大版选修1 -1.ppt

第三章变化率与导数 1变化的快慢与变化率 1 函数y f x 从x1到x2的平均变化率 1 自变量的改变量为x2 x1 记作 x 2 函数值的改变量为f x2 f x1 记作 y 4 平均变化率的意义 刻画函数值在区间 x1 x2 上变化的快慢 名师点拨对函数平均变化率的两点说明 1 函数的平均变化率是通过实际问题中的平均速度 气球的膨胀率 曲线的割线斜率等问题抽象出来的一个数学概念 定义为函数值的改变量 y与自变量的改变量 x的比值 2 平均变化率是曲线陡峭程度的 数量化 或者说 曲线陡峭程度是平均变化率的 视觉化 2 瞬时变化率对于函数y f x 在自变量x从x0变到x1的过程中 1 函数值的改变量与自变量的改变量的比值为平均变化率 记作 2 在x0点的瞬时变化率 当 x趋于0时 平均变化率趋于函数在x0点的瞬时变化率 特别提醒1 平均变化率与瞬时变化率的关系 1 区别 平均变化率不是瞬时变化率 平均变化率刻画函数值在区间 x1 x2 上变化的快慢 瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢 2 联系 当 x趋于0时 平均变化率趋于一个常数 这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率 它是一个固定值 2 对瞬时变化率的两点说明 1 平均变化率随着自变量区间的变化而变化 在某一点处的瞬时变化率是一个固定值 2 用平均变化率估计瞬时变化率不一定是精确值 但在一定精确度的情况下 不影响其取值的严谨性 答案 3gm s 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 自变量的改变量 x是一个较小的量 x可正可负但不能为零 2 瞬时变化率是刻画某函数值在区间 x0 x1 上变化的快慢 3 函数f x x在x 0处的瞬时变化率为0 答案 1 2 3 探究一 探究二 思维辨析 例1 已知函数f x 3x 1和g x 2x2 1 分别计算f x 与g x 在 3到 1之间和在1到1 x之间的平均变化率 探究一 探究二 思维辨析 探究一 探究二 思维辨析 反思感悟求平均变化率可根据定义代入公式直接求解 解题的关键是弄清自变量的增量 x与函数值的增量 y 求平均变化率的主要步骤是 1 计算函数值的改变量 y f x1 f x0 2 计算自变量的改变量 x x1 x0 探究一 探究二 思维辨析 变式训练1已知质点运动规律s t t2 3 则在时间 3 3 t 中 相应的平均速度等于 答案 A 探究一 探究二 思维辨析 例2 柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的 铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成粘稠液体状 如果开始加热后第x小时的沥青温度 单位 为 探究一 探究二 思维辨析 解 0 x 1时 f x 80 x2 20 15分钟 0 25小时 30分钟 0 5小时 沥青温度在15分钟时的瞬时变化率为所以沥青温度在15分钟时的瞬时变化率为40 同理可得 沥青温度在30分钟时的瞬时变化率为80 探究一 探究二 思维辨析 反思感悟估计瞬时变化率的四个步骤第一步 定点 明确求哪个点处的瞬时变化率 第二步 定区间 以此点为端点取一个区间计算平均变化率 第三步 缩区间 逐步缩小区间长度 第四步 估计值 据平均变化率逼近的情况估计瞬时变化率 探究一 探究二 思维辨析 变式训练2若物体做s t 2 1 t 2的直线运动 则其在t 4s时的瞬时速度为 A 12B 12C 4D 4答案 A 探究一 探究二 思维辨析 因不能正确理解平均变化率的概念而致误 典例 函数y 2x 5在 0 2 内的平均变化率为 易错分析 1 误认为平均变化率没有顺序 而导致错误 要注意自变量的改变量为 x x2 x1 函数值的改变量为 y y2 y1 解析 当x 0时 y 5 当x 2时 y 9 函数在 0 2 内的平均变化率为2 答案 2纠错心得正确理解平均变化率的概念对于函数y f x 当自变量由x1变化到x2时 相应的函数值也从y1变化到y2 此时自变量的改变量为 x x2 x1 函数值的改变量为 y y2 y1 探究一 探究二 思维辨析 变式训练函数y x2 2x 1在x 2附近的平均变化率为 A 6B x 6C 2D x 2解析 设y f x x2 2x 1 x 1 2 y f 2 x f 2 2 x 1 2 2 1 2 3 x 2 9 x 2 6 x x 6 函数y x2 2x 1在x 2附近的平均变化率为 x 6 答案 B 1234 5 1 函数y f x 的自变量x由x0改变到x0 x时 函数值的改变量 y等于 A f x0 x B f x0 xC f x0 xD f x0 x f x0 解析 写出自变量x0和x0 x对应的函数值f x0 和f x0 x 两式相减 就得到了函数值的改变量 答案 D 1234 5 2 函数f x x2 1在x0到x0 x之间的平均变化率为 A 2x0 1B 2x0 xC 2x0 x x 2D x 2 x 1答案 B 12345 3 在x 1附近 取 x 0 3 在四个函数 y x y x2 y x3 y 中 平均变化率最大的是 A B C D 解析 的平均变化率为1 的平均变化率为2 3 的平均变化率为3 99 的平均变化率约为 0 77 答案 B 1234 5 答案 x 5 1234 5 5 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示 试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率