2019版高考数学一轮复习 第九章 概率与统计 第6讲 离散型随机变量及其分布列配套课件 理.ppt

第6讲离散型随机变量及其分布列 1 随机变量 1 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 常用字 母X Y 表示 2 所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变 量 3 随机变量可以取某一区间内的一切值 这样的变量就叫 做连续型随机变量 2 条件概率及其性质 1 条件概率的定义 设A B为两个事件 且P A 0 称P B A P AB P A 为事件 A发生的条件下 事件B发生的概率 2 条件概率的求法 求条件概率除了可借助定义中的公式 还可以借助古典概 型概率公式 即P B A n AB n A 3 条件概率的性质 0 1 条件概率具有一般概率的性质 即 P B A 若B和C是两个互斥事件 则P B C A P B A P C A 3 事件的相互独立性 P A P B 1 设A B为两个事件 若P AB 则称事件A与事件B相互独立 2 若事件A与事件B相互独立 则A与B A与B A与B也都相互独立 4 离散型随机变量的分布列 一般地 若离散型随机变量X可能取的不同值为x1 x2 xi xn X取每一个值xi i 1 2 n 的概率P X xi pi 则表 称为离散型随机变量X的概率分布列 简称为X的分布列 有时为了表达简单 也用等式P X xi pi i 1 2 n表示X的分布列 5 离散型随机变量分布列的性质 1 pi 0 i 1 2 n 2 p1 p2 pn 1 6 常见的离散型随机变量的分布列 1 两点分布 如果随机变量X的分布列为 其中0 p 1 称X服从两点分布 而称p P X 1 为成功 概率 2 超几何分布 一般地 在含有M件次品的N件产品中 任取n件 其中恰有X件次品 则随机事件X k发生的概率为P X k M N n M N N 称随机变量X服从超几何分布 其分布列如下表 3 二项分布 一般地 在n次独立重复试验中 设事件A发生的次数为X 在每次试验中事件A发生的概率为p 那么在n次独立重复 k 0 1 2 n 此时称随机变量 X服从二项分布 记作X B n p 并称p为成功概率 其分布列如下表 1 设随机变量X的分布列如下 则p为 A 16 B 13 C 14 D 112 C 2 某射手射击所得环数X的分布列为 C 则此射手 射击一次命中环数大于7 的概率为 A 0 28 B 0 88 C 0 79 D 0 51 解析 P X 7 P X 8 P X 9 P X 10 0 28 0 29 0 22 0 79 恰好投进3个球的概率为 C A 34 B 58 C 516 D 532 4 设某项试验的成功率是失败率的2倍 用随机变量X去 描述1次试验的成功次数 则P X 0 C A 0 B 12 C 13 D 23 解析 由已知 得X的所有可能取值为0 1 且P X 1 考点1 离散型随机变量的分布列 例1 2016年山东济南模拟 某学生参加某高校的自主招生考试 须依次参加A B C D E五项考试 若前四项中有两项不合格或第五项不合格 则该考生就被淘汰 考试即结束 若考生未被淘汰 继续参加后面的考试 已知每一项考试都是相互独立的 该考生参加A B C D四项考试不合格的概率均 1 求该考生被录取的概率 2 设该考生参加考试的项数为X 求X的分布列 解 1 若该考生被录取 则前四项最多有一项不合格 并且第五项必须合格 记 前四项均合格且第五项合格 为事件M 前四项中仅有一项不合格且第五项合格 为事件N 2 该考生参加考试的项数X可以是2 3 4 5 规律方法 离散型随机变量的分布列的求法 写出X的所有可能取值 注意准确理解X的含义 以免失 误 利用概率知识 古典概型或相互独立事件的概率 求出X 取各值的概率 列表并检验 写出分布列 互动探究 1 2014年四川 一款击鼓小游戏的规则如下 每盘游戏都需击鼓三次 每次击鼓要么出现一次音乐 要么不出现音乐 每盘游戏击鼓三次后 出现一次音乐获得10分 出现两次音乐获得20分 出现三次音乐获得100分 没有出现音乐则扣除 次击鼓出现音乐相互独立 1 设每盘游戏获得的分数为X 求X的分布列 2 玩三盘游戏 至少有一盘出现音乐的概率 解 1 X可能的取值为10 20 100 200 根据题意 有 考点2 超几何分布 例2 2017年北京 为了研究一种新药的疗效 选100名患者随机分成两组 每组各50名 一组服药 另一组不服药 一段时间后 记录了两组患者的生理指标x和y的数据 并制成图9 6 1 其中 表示服药者 表示未服药者 图9 6 1 1 从服药的50名患者中随机选出一人 求此人指标y的值小于60的概率 2 从图中A B C D四人中随机选出两人 记 为选出的两人中指标x的值大于1 7的人数 求 的分布列和数学期望E 3 试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小 只需写出结论 解 1 由题图知 在服药的50名患者中 指标的值小于60的有15人 所以从服药的50名患者中随机选出一人 此人指标的值小 于60的概率为 1550 0 3 2 由图知 A B C D四人中 指标的值大于1 7的有2人 A和C 所以 的所有可能取值为0 1 2 所以 的分布列为 3 在这100名患者中 服药者指标y数据的方差大于未服 药者指标y数据的方差 规律方法 对于服从某些特殊分布的随机变量 其分布列可以直接应用公式给出 超几何分布描述的是不放回抽样问题 随机变量为抽到的某类个体的个数 超几何分布是一个重要分布 其理论基础是古典概型 主要应用于抽查产品 摸不同类别的小球等概率模型 互动探究 2 2017年山东 在心理学研究中 常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响 具体方法如下 将参加试验的志愿者随机分成两组 一组接受甲种心理暗示 另一组接受乙种心理暗示 通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用 现有6名男志愿者A1 A2 A3 A4 A5 A6和4名女志愿者B1 B2 B3 B4 从中随机抽取5人接受甲种心理暗示 另5人接受乙种心理暗示 1 求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的 频率 2 用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数 求X的分 布列与数学期望E X 因此X的分布列为 考点3 二项分布的应用 例3 2014年广东珠海二模 已知甲 乙两名乒乓球运动员进行比赛 根据二人以往比赛资料统计 在一局比赛中 甲甲 乙二人准备进行三局比赛 1 求在三局比赛中甲胜前两局 乙胜第三局的概率 2 用 表示三局比赛中甲获胜的局数 求 的分布列 解 1 设事件A表示 在三局比赛中甲胜前两局 乙胜第 2 方法一 由题意知 的可能取值为0 1 2 3 则 的分布列为 规律方法 1 判断一个随机变量是否服从二项分布 关键有两点 一是对立性 即一次试验中 事件发生与否必居其一 二是重复性 即试验是否独立重复进行了n次 2 二项分布满足的条件 每次试验中 事件发生的概率是相同的 各次试验中的事件是相互独立的 每次试验只有两种结果 事件要么发生 要么不发生 随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数 互动探究 3 2011年大纲 根据以往统计资料 某地车主购买甲种保险的概率为0 5 购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0 3 设各车主购买保险相互独立 1 求该地1位车主至少购买甲 乙两种保险中的1种的概 率 2 X表示该地的100位车主中 甲 乙两种保险都不购买 的车主数 求X的期望 解 记A表示事件 该地的1位车主购买甲种保险 B表示事件 该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种 保险 C表示事件 该地的1位车主至少购买甲 乙两种保险中 的1种 D表示事件 该地的1位车主甲 乙两种保险都不购买 1 P A 0 5 P B 0 3 C A B P C P A B P A P B 0 8 2 D C P D 1 P C 1 0 8 0 2 X B 100 0 2 即X服从二项分布 所以期望E X 100 0 2 20 思想与方法 分类讨论思想与离散型随机变量的结合 例题 2014年福建 为回馈顾客 某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励 规定 每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球 球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额 1 若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元 其 余3个均为10元 求 顾客所获的奖励额为60元的概率 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望 2 商场对奖励总额的预算是60000元 并规定袋中的4个球只能由标有面值为10元和50元的两种球组成 或标有面值为20元和40元的两种球组成 为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡 请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计 并说明理由 解 1 设顾客所获的奖励额为X 依题意 得X的所有可能取值为20 60 即X的分布列为 所以顾客所获的奖励额的期望为E X 20 0 5 60 0 5 40 2 根据商场的预算 每个顾客的平均奖励额为60元 所以先寻找期望为60元的可能方案 对于面值由10元和50元组成的情况 如果选择 10 10 10 50 的方案 因为60元是面值之和的最大值 所以期望不可能为60元 如果选择 50 50 50 10 的方案 因为60元是面值之和的最小值 所以期望也不可能为60元 因此可能的方案是 10 10 50 50 记为方案1 对于面值由20元和40元组成的情况 同理可排除 20 20 20 40 和 40 40 40 20 的方案 所以可能的方案是 20 20 40 40 记为方案2 以下是对两个方案的分析 对于方案1 即方案 10 10 50 50 设顾客所获的奖励额为X1 则X1的分布列为 对于方案2 即方案 20 20 40 40 设顾客所获的奖励额为X2 则X2的分布列为 因为两种方案的奖励额的期望都符合要求 但方案2奖励额的方差比方案1的小 所以应该选择方案2 规律方法 本题主要考查相互独立事件及互斥事件概率的计算 考查分类讨论思想以及运用数学知识解决问题的能力 尤其是运用分类讨论思想解决离散型随机变量分布列问题的时候 可通过检查最后求出的分布列是否符合分布列的两个性质来检查分类讨论是否有所遗漏或重复 互动探究 4 某学校实行自主招生 参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答 至少答对3个才能通过初试 已知甲 乙两人参加初试 在这8个试题中甲能答对6个 乙能答 响 1 求甲通过自主招生初试的概率 2 试通过概率计算 分析甲 乙两人谁通过自主招生初试 的可能性更大 3 记甲答对试题的个数为X 求X的分布列及数学期望