高考数学大二轮总复习 增分策略 第四篇 第2讲 函数与导数课件.ppt

2 函数与导数 第四篇回归教材 纠错例析 帮你减少高考失分点 要点回扣 易错警示 查缺补漏 栏目索引 要点回扣 1 求函数的定义域 关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式 组 求解 如开偶次方根 被开方数一定是非负数 对数式中的真数是正数 列不等式时 应列出所有的不等式 不应遗漏 对抽象函数 只要对应关系相同 括号里整体的取值范围就完全相同 1 1 1 2 用换元法求解析式时 要注意新元的取值范围 即函数的定义域问题 问题2已知f cosx sin2x 则f x 1 x2 x 1 1 3 分段函数是在其定义域的不同子集上 分别用不同的式子来表示对应关系的函数 它是一个函数 而不是几个函数 4 判断函数的奇偶性 要注意定义域必须关于原点对称 有时还要对函数式化简整理 但必须注意使定义域不受影响 f x f x f x 为奇函数 奇 5 求函数单调区间时 多个单调区间之间不能用符号 和 或 连接 可用 及 连接 或用 隔开 单调区间必须是 区间 而不能用集合或不等式代替 0 0 6 弄清函数奇偶性的性质 1 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性 则其单调性完全相同 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性 则其单调性恰恰相反 2 若f x 为偶函数 则f x f x f x 3 若奇函数f x 的定义域中含有0 则必有f 0 0 f 0 0 是 f x 为奇函数 的既不充分也不必要条件 A 上的减函数B 上的增函数C 1 1 上的减函数D 1 1 上的增函数 解析由题意可知f 0 0 即lg 2 a 0 解得a 1 函数y1 lg 1 x 是增函数 函数y2 lg 1 x 是减函数 故f x y1 y2是增函数 选D 答案D 7 求函数最值 值域 常用的方法 1 单调性法 适合于已知或能判断单调性的函数 2 图象法 适合于已知或易作出图象的函数 3 基本不等式法 特别适合于分式结构或两元的函数 4 导数法 适合于可导函数 5 换元法 特别注意新元的范围 6 分离常数法 适合于一次分式 8 函数图象的几种常见变换 1 平移变换 左右平移 左加右减 注意是针对x而言 上下平移 上加下减 2 翻折变换 f x f x f x f x 3 对称变换 证明函数图象的对称性 即证图象上任意点关于对称中心 轴 的对称点仍在图象上 函数y f x 与y f x 的图象关于原点成中心对称 函数y f x 与y f x 的图象关于直线x 0 y轴 对称 函数y f x 与函数y f x 的图象关于直线y 0 x轴 对称 1 2 10 二次函数问题 1 处理二次函数的问题勿忘数形结合 二次函数在闭区间上必有最值 求最值问题用 两看法 一看开口方向 二看对称轴与所给区间的相对位置关系 2 若原题中没有指出是 二次 方程 函数或不等式 要考虑到二次项系数可能为零的情形 问题10若关于x的方程ax2 x 1 0至少有一个正根 则a的取值范围为 11 1 对数运算性质已知a 0且a 1 b 0且b 1 M 0 N 0 则loga MN logaM logaN logaMn nlogaM 2 指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域 值域 单调性 函数值的变化情况考虑 特别注意底数的取值对有关性质的影响 另外 指数函数y ax的图象恒过定点 0 1 对数函数y logax的图象恒过定点 1 0 问题11函数y log2 x 1 的递增区间是 作图可知正确答案为 0 1 2 0 1 2 12 幂函数y x R 1 若 1 则y x 图象是直线 当 0时 y x0 1 x 0 图象是除点 0 1 外的直线 当01时 在第一象限内 图象是下凸的 2 增减性 当 0时 在区间 0 上 函数y x 是增函数 当 0时 在区间 0 上 函数y x 是减函数 1 13 函数与方程 1 对于函数y f x 使f x 0的实数x叫做函数y f x 的零点 事实上 函数y f x 的零点就是方程f x 0的实数根 2 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是一条连续曲线 且有f a f b 0 那么函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 此时这个c就是方程f x 0的根 反之不成立 问题13已知定义在R上的函数f x x2 3x 2 g x 3x 4 其中函数y g x 的图象是一条连续曲线 则方程f x 0在下面哪个区间内必有实数根 A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 解析f x x 2 x 1 g x 3x 4 f 1 0 3 1 4 10 又函数y g x 的图象是一条连续曲线 函数f x 在区间 1 2 内有零点 因此方程f x 0在 1 2 内必有实数根 B 14 求导数的方法 3 复合函数的导数 yx yu ux 如求f ax b 的导数 令u ax b 则 f ax b f u a 问题14f x e 2x 则f x 2e 2x 15 利用导数判断函数的单调性 设函数y f x 在某个区间内可导 如果f x 0 那么f x 在该区间内为增函数 如果f x 0 那么f x 在该区间内为减函数 如果在某个区间内恒有f x 0 那么f x 在该区间内为常函数 注意 如果已知f x 为减函数求字母取值范围 那么不等式f x 0恒成立 但要验证f x 是否恒等于0 增函数亦如此 问题15函数f x ax3 2x2 x 1在R上是增函数 则a的取值范围是 解析f x ax3 2x2 x 1的导数f x 3ax2 4x 1 16 导数为零的点并不一定是极值点 例如 函数f x x3 有f 0 0 但x 0不是极值点 x 1 17 定积分 易错点1忽视函数定义域 易错警示 例1函数的单调递增区间为 错因分析忽视对函数定义域的要求 漏掉条件x2 5x 6 0 解析由x2 5x 6 0知 x x 3或x 2 令u x2 5x 6 则u x2 5x 6在 2 上是减函数 的单调增区间为 2 答案 2 易错点2分段函数意义理解不准确 A 1B 0C 1D 2 错因分析不理解分段函数的意义 误认为应将x 2016 代入log2 1 x 或者认为得不到f 2016 的值 解析f 2016 f 2015 f 2014 f 2014 f 2013 f 2014 f 2013 f 2010 f 0 0 答案B 错因分析只考虑分段函数各段上函数值变化情况 忽视对定义域的临界点处函数值的要求 易错点3函数零点求解讨论不全面例4函数f x mx2 2x 1有且仅有一个正实数零点 则实数m的取值范围是 A 1 B 0 1 C 0 1 D 1 错因分析解本题易出现的错误有分类讨论不全面 函数零点定理使用不当 如忽视对m 0的讨论 就会错选C 当m 0时 若 0 即m 1时 x 1是函数唯一的零点 若 0 显然x 0不是函数的零点 这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f x mx2 2x 1 0有一个正根一个负根 即mf 0 0 即m 0 故选B 答案B 易错点4混淆 过点 和 切点 例5求过曲线y 3x x3上的点 2 2 的切线方程 错因分析混淆过一点的切线和在一点处切线 错误认为 2 2 一定是切点 解设切点为P x0 y0 则点P处的切线方程是 点A在切线上 又 点P在曲线C上 由 解得x0 2或x0 1 当x0 2时 P点的坐标为 2 2 切线方程是9x y 16 0 当x0 1时 P点的坐标为 1 2 切线方程是y 2 0 综上 过点A的曲线C的切线方程是 9x y 16 0或y 2 0 易错点5极值点条件不清例6已知f x x3 ax2 bx a2在x 1处有极值为10 则a b 错因分析把f x0 0作为x0为极值点的充要条件 没有对a b值进行验证 导致增解 解析f x 3x2 2ax b 由x 1时 函数取得极值10 得 当a 4 b 11时 f x 3x2 8x 11 3x 11 x 1 在x 1两侧的符号相反 符合题意 当a 3 b 3时 f x 3 x 1 2在x 1两侧的符号相同 所以a 3 b 3不符合题意 舍去 综上可知a 4 b 11 a b 7 答案 7 易错点6函数单调性与导数关系理解不准确例7函数f x ax3 x2 x 5在R上是增函数 则a的取值范围是 错因分析误认为f x 0恒成立是f x 在R上是增函数的必要条件 漏掉f x 0的情况 解析f x ax3 x2 x 5的导数f x 3ax2 2x 1 易错点7计算定积分忽视细节 A 2ln2B 2ln2C ln2D ln2 答案D 查缺补漏 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2014 北京 下列函数中 在区间 0 上为增函数的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B项 函数y x 1 2在 1 上为减函数 在 1 上为增函数 故错误 D项 函数y log0 5 x 1 在 1 上为减函数 故错误 答案A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 下列各式中错误的是 A 0 83 0 73B log0 50 4 log0 50 6C 0 75 0 1lg1 4 解析构造相应函数 再利用函数的性质解决 对于A 构造幂函数y x3 为增函数 故A对 对于B D 构造对数函数y log0 5x为减函数 y lgx为增函数 B D都正确 对于C 构造指数函数y 0 75x 为减函数 故C错 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 a是的零点 若0 x0 a 则f x0 的值满足 A f x0 0B f x0 0C f x0 0D f x0 的符号不确定 解析函数在 0 上是单调递增的 这个函数有零点 这个零点是唯一的 根据函数的单调性 知在 0 a 上 这个函数的函数值小于零 即f x0 0 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 2014 天津 函数的单调递增区间是 A 0 B 0 C 2 D 2 解析因为在定义域上是减函数 所以求原函数的单调递增区间 即求函数t x2 4的单调递减区间 结合函数的定义域 可知所求区间为 2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 已知函数f x 的导函数f x 的图象如图所示 那么函数f x 的图象最有可能的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析从导函数图象上可以看出函数f x 的单调递增区间是 2 0 单调递减区间是 2 0 故函数图象最有可能是选项A中的图象 答案A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A f x 是偶函数B f x 是增函数C f x 是周期函数D f x 的值域为 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由图象知只有D正确 答案D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 若函数f x 是定义在R上的偶函数 在 0 上是减函数 且f 2 0 则使得f x 0的x的取值范围是 解析因为f x 是偶函数 所以f x f x f x 因为f x 0 f 2 0 所以f x f 2 又因为f x 在 0 上是减函数 所以f x 在 0 上是增函数 所以 x 2 所以 2 x 2 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析方程f x x a 0的实根也就是函数y f x 与y a x的图象交点的横坐标 如图所示 作出两个函数图象 显然当a 1时 两个函数图象有两个交点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当a 1时 两个函数图象的交点只有一个 所以实数a的取值范围是 1 答案 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 2014 江苏 已知函数f x x2 mx 1 若对于任意x m m 1 都有f x 0成立 则实数m的取值范围是 解析作出二次函数f x 的图象 对于任意x m m 1 都有f x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 判断函数f x 的奇偶性 解当a 0时 f x x2为偶函数 当a 0时 f x 既不是奇函数也不是偶函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 若f x 在区间 2 上是增函数 求实数a的取值范围 解要使f x 在区间 2 上是增函数 只需当x 2时 f x 0恒成立 故当a 16时 f x 在区间 2 上是增函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为x 0且x 1 所以 x 0 故函数 x 的单调递增区间为 0 1 和 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 若f x g x x 1 恒成立 求实数a的取值范围 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为x 1 故h x 0 所以h x 在区间 1 上单调递减 由lna h x max h 1 0 解得a 1 故实数a的取值范围为 1