高考数学大一轮复习 第二章 第11节 导数在研究函数中的应用课件 理 新人教A版.ppt

第11节导数在研究函数中的应用 了解函数的单调性与导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 其中多项式函数不超过三次 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求函数的极大值 极小值 其中多项式函数不超过三次 会求闭区间上函数的最大值 最小值 其中多项式函数不超过三次 整合 主干知识 1 函数的单调性与导数 1 函数y f x 在某个区间内可导 若f x 0 则f x 在这个区间内 若f x 0 则f x 在这个区间内 如果在某个区间内恒有f x 0 则f x 为 2 单调性的应用若函数y f x 在区间 a b 上单调 则y f x 在该区间上不变号 单调递增 单调递减 常函数 质疑探究1 若函数f x 在 a b 内单调递增 那么一定有f x 0吗 f x 0是否是f x 在 a b 内单调递增的充要条件 提示 函数f x 在 a b 内单调递增 则f x 0 f x 0是f x 在 a b 内单调递增的充分不必要条件 2 函数的极值与导数 1 函数极小值的概念满足 函数y f x 在点x a处的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值都 f a 在点x a附近的左侧 右侧 则点x a叫做函数y f x 的 f a 叫做函数y f x 的 小 0 f x 0 f x 0 极小值点 极小值 2 函数极大值的概念满足 函数y f x 在点x b处的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值都 f b 0 在点x b附近的左侧 右侧 则点x b叫做函数y f x 的 f b 叫做函数y f x 的 极小值点与极大值点统称为 极小值与极大值统称为 大 f x 0 f x 0 极大值点 极大值 极值点 极值 3 求可导函数极值的步骤 求导数f x 写出导数的定义域 求方程f x 0的根 列表 检验f x 在方程f x 0的根左右两侧的符号 判断y f x 在根左右两侧的单调性 如果左正右负 左增右减 那么f x 在这个根处取得 如果左负右正 左减右增 那么f x 在这个根处取得 如果左右两侧符号一样 那么这个根不是极值点 极大值 极小值 质疑探究2 f x0 0是可导函数f x 在x x0处取极值的什么条件 提示 必要不充分条件 因为当f x0 0且x0左右两端的导数符号变化时 才能说f x 在x x0处取得极值 反过来 如果可导函数f x 在x x0处取极值 则一定有f x0 0 3 函数的最值与导数求函数y f x 在闭区间 a b 上的最大值与最小值的步骤 1 求y f x 在 a b 内的 2 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中 的一个为最大值 的一个为最小值 极值 最大 最小 4 利用导数解决实际生活中的优化问题 1 分析实际问题中各变量之间的关系 建立实际问题的数学模型 写出相应的函数关系式y f x 并确定定义域 2 求导数f x 解方程f x 0 3 判断使f x 0的点是极大值点还是极小值点 4 确定函数的最大值或最小值 还原到实际问题中作答 答案 B 答案 C 3 从边长为10cm 16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形 作成一个无盖的盒子 则盒子容积的最大值为 A 12cm3B 72cm3C 144cm3D 160cm3 答案 C 答案 3 5 给出下列命题 f x 0是f x 为增函数的充要条件 函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的 函数的极大值不一定比极小值大 对可导函数f x f x0 0是x0点为极值点的充要条件 函数的最大值不一定是极大值 函数的最小值也不一定是极小值 其中真命题的是 写出所有真命题的序号 解析 错误 f x 0能推出f x 为增函数 反之不一定 如函数f x x3在 上单调递增 但f x 0 所以f x 0是f x 为增函数的充分条件 但不是必要条件 错误 一个函数在某区间上或定义域内的极大值可以不止一个 正确 一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系 极大值可能比极小值大 也可能比极小值小 错误 对可导函数f x f x0 0只是x0点为极值点的必要条件 如y x3在x 0时f 0 0 而函数在R上为增函数 所以0不是极值点 正确 当函数在区间端点处取得最值时 这时的最值不是极值 答案 聚集 热点题型 典例赏析1 设函数f x x a eax a R 1 求函数f x 的单调区间 2 若函数f x 在区间 4 4 内单调递增 求a的取值范围 利用导数研究函数的单调性 名师讲坛 由函数的单调性求参数的取值范围的题型及求解策略 提醒 含有字母参数的函数的单调性需要根据参数的取值范围进行讨论 变式训练 1 2015 长春模拟 已知函数f x x2 alnx 1 当a 2时 求函数f x 的单调区间 2 若g x f x 在 1 上是单调函数 求实数a的取值范围 利用导数研究函数的极值 名师讲坛 运用导数求可导函数y f x 的极值的步骤 1 先求函数的定义域 再求函数y f x 的导数f x 2 求方程f x 0的根 3 检查f x 在方程根的左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 如果左右符号相同 则此根处不是极值点 提醒 若函数y f x 在区间 a b 内有极值 那么y f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在某区间上单调函数没有极值 2 若f x 为R上的单调函数 则f x 在R上不变号 结合 与条件a 0 知ax2 2ax 1 0在R上恒成立 即 4a2 4a 4a a 1 0 由此并结合a 0 知0 a 1 所以a的取值范围为 a 0 a 1 利用导数研究函数的最值 名师讲坛 求函数f x 在闭区间 a b 上的最值时 首先可判断函数在 a b 上的单调性 若函数在 a b 上单调递增或单调递减 则f a f b 一个为最大值 一个为最小值 若函数在 a b 上不单调 一般先求 a b 上f x 的极值 再与f a f b 比较 最大的即为最大值 最小的即为最小值 提醒 求极值 最值时 要求步骤规范 表格齐全 含参数时 要讨论参数的大小 变式训练 3 2015 郑州模拟 已知函数f x x k ex 1 求f x 的单调区间 2 求f x 在区间 0 1 上的最小值 解 1 由f x x k ex 得f x x k 1 ex 令f x 0 得x k 1 f x 与f x 的变化情况如下 所以 f x 的单调递减区间是 k 1 单调递增区间是 k 1 2 当k 1 0 即k 1时 函数f x 在 0 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 0 k 当0 k 1 1 即1 k 2时 由 1 知f x 在 0 k 1 上单调递减 在 k 1 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f k 1 ek 1 当k 1 1 即k 2时 函数f x 在 0 1 上单调递减 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 1 1 k e 综上可知 当k 1时 f x min k 当1 k 2时 f x min f k 1 ek 1 当k 2时 f x min f 1 1 k e 典例赏析4 2013 重庆高考 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 不计厚度 设该蓄水池的底面半径为r米 高为h米 体积为V立方米 假设建造成本仅与表面积有关 侧面的建造成本为100元 平方米 底面的建造成本为160元 平方米 该蓄水池的总建造成本为12000 元 为圆周率 1 将V表示成r的函数V r 并求该函数的定义域 2 讨论函数V r 的单调性 并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大 利用导数研究生活中的优化问题 名师讲坛 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 1 设自变量 因变量 建立函数关系式y f x 并确定其定义域 2 求函数y f x 的导数f x 解方程f x 0得出定义域内的实根 确定极值点 3 比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小 获得所求的最大 小 值 4 还原到实际问题中作答 变式训练 4 2015 吉林省吉林市二模 某蔬菜基地有一批黄瓜进入市场销售 通过市场调查 预测黄瓜的价格f x 单位 元 kg 与时间x 单位 天 x 0 8 且x N 的数据如下表 1 根据上表数据 从下列函数中选取一个函数描述黄瓜价格f x 与上市时间x的变化关系 f x ax b f x ax2 bx c f x a bx 其中a 0 并求出此函数 解 1 根据表中数据 表述黄瓜价格f x 与上市时间x的变化关系的函数不是单调函数 这与函数f x ax b f x a bx 均具有单调性不符 所以 在a 0的前提下 可选取二次函数f x ax2 bx c进行描述 备课札记 提升 学科素养 利用导数确定函数的单调区间问题 当x 0 2 时 g x ex k 0 y g x 单调递增 故f x 在 0 2 内不存在两个极值点 9分 当k 1时 得x 0 lnk 时 g x 0 函数y g x 单调递增 所以函数y g x 的最小值为g lnk k 1 lnk 10分 函数f x 在 0 2 内存在两个极值点当且仅当 答题模板 用导数法求函数单调区间一般可用以下几步答题 第一步 求函数f x 的定义域 第二步 求函数f x 的导数f x 令f x 0 求出x 第三步 由f x 0 f x 0 解出相应的x的范围 第四步 写出函数f x 的单调区间 第五步 反思回顾 查看关键点 易错点和解题规范 1 一个区别极值与最值的区别极值是指某一点附近函数值的比较 因此 同一函数在某一点的极大 小 值 可以比另一点的极小 大 值小 大 最大 最小值是指闭区间 a b 上所有函数值的比较 因而在一般情况下 两者是有区别的 极大 小 值不一定是最大 小 值 最大 小 值也不一定是极大 小 值 但如果连续函数在开区间 a b 内只有一个极值 那么极大值就是最大值 极小值就是最小值 2 两个注意 1 注意实际问题中函数定义域的确定 2 在实际问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可 不必再与端点的函数值比较 3 三个防范 1 求函数最值时 不可想当然地认为极值点就是最值点 要通过认真比较才能下结论 另外注意函数最值是个 整体 概念 而极值是个 局部 概念 2 f x0 0是y f x 在x x0取极值的既不充分也不必要条件 如 y x 在x 0处取得极小值 但在x 0处不可导 f x x3 f 0 0 但x 0不是f x x3的极值点 3 若y f x 可导 则f x0 0是f x 在x x0处取极值的必要条件