高考数学一轮复习坐标系与参数方程第二节参数方程课件文.ppt

第二节参数方程 总纲目录 教材研读 1 参数方程的概念 考点突破 2 直线 圆 圆锥曲线的参数方程 考点二参数方程的应用 考点一参数方程与普通方程的互化 考点三极坐标方程与参数方程的综合问题 1 参数方程的概念一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线C上 任意一点P的坐标x y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值 由所确定的点P x y 都在 曲线C上 那么叫做这条曲线的参数方程 变数t叫做参变数 简称 参数 注意 相对于参数方程而言 直接给出点的坐标间关系的方程叫做 普通方程 教材研读 2 直线 圆 圆锥曲线的参数方程 1 过点M0 x0 y0 倾斜角为 的直线l的参数方程为 t为参数 设M是直线l上任一点 则相应的参数t的绝对值等于M到M0的距离 2 圆心在点M0 x0 y0 半径为r的圆的参数方程为 为参数 3 圆锥曲线的参数方程 椭圆 1 a b 0 的参数方程为 为参数 双曲线 1 a 0 b 0 的参数方程为 为参数 抛物线y2 2px的参数方程为 t为参数 1 若直线l t为参数 与曲线C 为参数 相切 则实数m的值为 A 4或6B 6或4C 1或9D 9或1 A 答案A由 t为参数 得直线l 2x y 1 0 由 为参数 得曲线C x2 y m 2 5 因为直线l与曲线C相切 所以圆心到直线的距离等于半径 即 解得m 4或m 6 故选A 2 曲线 为参数 的对称中心 A 在直线y 2x上B 在直线y 2x上C 在直线y x 1上D 在直线y x 1上 B 答案B曲线 为参数 的普通方程为 x 1 2 y 2 2 1 该曲线为圆 圆心 1 2 为曲线的对称中心 且在直线y 2x上 故选B 3 已知两曲线的参数方程分别为 0 和 t R 则它们的交点坐标为 答案1 解析消去参数 得普通方程为 y2 1 0 y 1 表示椭圆的一部分 消去参数t得普通方程为y2 x 表示抛物线 联立两方程 可知两曲线有一个交点 解得交点坐标为1 4 在直角坐标系xOy中 以O为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 已知直线l的极坐标方程为 sin 3cos 0 曲线C的参数方程为 t为参数 l与C相交于A B两点 则 AB 答案2 解析直线l的直角坐标方程为y 3x 0 曲线C的普通方程为y2 x2 4 由得x2 即x 则 AB xA xB 2 5 在平面直角坐标系xOy中 已知直线l的参数方程为 t为参数 椭圆C的参数方程为 为参数 设直线l与椭圆C相交于A B两点 求线段AB的长 解析椭圆C的普通方程为x2 1 将直线l的参数方程代入x2 1 得 1 即7t2 16t 0 解得t1 0 t2 所以AB t1 t2 典例1把下列参数方程化为普通方程 并说明它们各表示什么曲线 1 t为参数 2 t为参数 考点突破 考点一参数方程与普通方程的互化 解析 1 由x 1 t得t 2x 2 y 2 2x 2 x y 2 0 此方程表示直线 2 由 2 2得x2 y2 4 此方程表示双曲线 方法技巧将参数方程化为普通方程的方法 1 将参数方程化为普通方程 需要根据参数方程的结构特征 选取适当的消参方法 常见的消参方法有 代入消参法 加减消参法 平方消参法等 对于含三角函数的参数方程 常利用同角三角函数基本关系式消参 如sin2 cos2 1等 2 将参数方程化为普通方程时 要注意两种方程的等价性 不要增解 1 1将下列参数方程化为普通方程 1 为参数 2 t为参数 解析 1 由 sin cos 2 1 sin2 2 1 sin2 得y2 2 x 又x 1 sin2 0 2 故所求的普通方程为y2 2 x x 0 2 2 由参数方程得et x y e t x y x y x y 1 即x2 y2 1 x 1 1 2求直线 t为参数 与曲线 为参数 的交点的个数 解析将消去参数t得直线x y 1 0 将消去参数 得圆x2 y2 9 又圆心 0 0 到直线x y 1 0的距离d 3 因此直线与圆相交 故直线与曲线有2个交点 1 3在平面直角坐标系xOy中 若直线l t为参数 过椭圆C 为参数 的右顶点 则常数a的值 解析由直线l的参数方程 t为参数 消去参数t得直线l的普通方程 y x a 由椭圆的参数方程可知其右顶点为 3 0 因为直线l过椭圆的右顶点 所以3 a 0 即a 3 典例2 2017课标全国 22 10分 在直角坐标系xOy中 曲线C的参数方程为 为参数 直线l的参数方程为 t为参数 1 若a 1 求C与l的交点坐标 2 若C上的点到l距离的最大值为 求a 考点二参数方程的应用 解析 1 曲线C的普通方程为 y2 1 当a 1时 直线l的普通方程为x 4y 3 0 由解得或从而C与l的交点坐标为 3 0 2 直线l的普通方程为x 4y a 4 0 故C上的点 3cos sin 到l的距离为d 当a 4时 d的最大值为 由题设得 所以a 8 当a 4时 d的最大值为 由题设得 所以a 16 综上 a 8或a 16 规律总结应用参数方程解决问题的方法 1 解决与圆 圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时 要注意普通方程与参数方程的互化公式 主要是通过互化解决圆 圆锥曲线上与动点有关的问题 如最值 范围等 2 根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义 有如下常用结论 过定点M0的直线与圆锥曲线相交 交点为M1 M2 所对应的参数分别为t1 t2 弦长l t1 t2 弦M1M2的中点 t1 t2 0 M0M1 M0M2 t1t2 2 1 2017陕西宝鸡质量检测 一 极坐标系的极点为直角坐标系xOy中的原点 极轴为x轴的正半轴 两种坐标系中的长度单位相同 已知曲线C的极坐标方程为 2 cos sin 1 求C的直角坐标方程 2 直线l t为参数 与曲线C交于A B两点 与y轴交于点E 求 EA EB 解析 1 由 2 cos sin 得 2 2 cos sin 得曲线C的直角坐标方程为x2 y2 2x 2y 即 x 1 2 y 1 2 2 2 将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程 化简得t2 t 1 0 点E对应的参数t 0 设点A B对应的参数分别为t1 t2 则t1 t2 1 t1t2 1 所以 EA EB t1 t2 t1 t2 2 2 2016课标全国 23 10分 在直角坐标系xOy中 曲线C1的参数方程为 为参数 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴 建立极坐标系 曲线C2的极坐标方程为 sin 2 1 写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程 2 设点P在C1上 点Q在C2上 求 PQ 的最小值及此时P的直角坐标 解析 1 C1的普通方程为 y2 1 C2的直角坐标方程为x y 4 0 2 由题意 可设点P的直角坐标为 cos sin 因为C2是直线 所以 PQ 的最小值即为P到C2的距离d 的最小值 d 当且仅当 2k k Z 时 d 取得最小值 最小值为 此时P的直角坐标为 典例3 2017课标全国 22 10分 在直角坐标系xOy中 直线l1的参数方程为 t为参数 直线l2的参数方程为 m为参数 设l1与l2的交点为P 当k变化时 P的轨迹为曲线C 1 写出C的普通方程 2 以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 设l3 cos sin 0 M为l3与C的交点 求M的极径 考点三极坐标方程与参数方程的综合问题 解析 1 消去参数t得l1的普通方程l1 y k x 2 消去参数m得l2的普通方程l2 y x 2 设P x y 由题设得消去k得x2 y2 4 y 0 所以C的普通方程为x2 y2 4 y 0 2 C的极坐标方程为 2 cos2 sin2 4 0 2 联立 规律总结处理极坐标 参数方程综合问题的方法 1 涉及参数方程和极坐标方程的综合问题 求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解 当然 还要结合题目本身特点 确定选择何种方程 2 数形结合的应用 即充分利用参数方程中参数的几何意义 或者利用 和 的几何意义 直接求解 能达到化繁为简的解题目的 3 1 2017河北石家庄质量检测 一 在平面直角坐标系xOy中 直线l的参数方程是 t为参数 以O为极点 x轴的正半轴为极轴 建立极坐标系 曲线C的极坐标方程为 2cos2 2 2sin2 12 且直线l与曲线C交于P Q两点 1 求曲线C的直角坐标方程及直线l恒过的定点A的坐标 2 在 1 的条件下 若 AP AQ 6 求直线l的普通方程 解析 1 y sin x cos 曲线C的直角坐标方程为x2 2y2 12 即 1 由 t为参数 得当t 0时 x 2 y 0 直线l恒过的定点为A 2 0 2 把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得 sin2 1 t2 4tcos 8 0 由t的几何意义知 AP t1 AQ t2 点A在椭圆内 这个方程必有两个实根 t1t2 AP AQ t1t2 6 即 6 sin2 0 sin cos k 直线l的方程为y x 2 或y x 2 3 2 2017福建福州综合质量检测 已知直线l的参数方程为 t为参数 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 椭圆C的极坐标方程为 2cos2 3 2sin2 12 其左焦点F在直线l上 1 若直线l与椭圆C交于A B两点 求 FA FB 的值 2 求椭圆C的内接矩形周长的最大值 解析 1 将曲线C的极坐标方程 2cos2 3 2sin2 12化为直角坐标方程为 1 则其左焦点为 2 0 所以m 2 将直线l的参数方程 与 1联立 整理得t2 2t 2 0 所以 FA FB t1t2 2 2 设曲线C上任意一点P的坐标为 2cos 2sin 为参数 则以P为顶点的内接矩形的周长为4 2cos 2sin 16sin 所以椭圆C的内接矩形周长的最大值为16