高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 6.3 基本不等式课件(理).ppt

第三节基本不等式 知识梳理 1 重要不等式a2 b2 a b R 当且仅当 时等号成立 2ab a b 2 基本不等式 1 基本不等式成立的条件是 2 等号成立的条件是 当且仅当 时取等号 3 其中称为正数a b的 称为正数a b的 a 0 b 0 a b 算术平均数 几何平均数 3 利用基本不等式求最值问题已知x 0 y 0 则 1 如果积xy是定值p 那么当且仅当x y时 x y有 值是2 简记 2 如果和x y是定值p 那么当且仅当x y时 xy有 值是 简记 最小 积定和最小 最大 和定积最大 特别提醒 1 运用基本不等式时的注意点 拆 拼 凑 等技巧 使其满足基本不等式中 正 定 等 的条件 2 常用的几个重要的不等式 1 a2 b2 2ab a b R 2 2 a b同号 3 ab a b R 4 a b R 小题快练 链接教材练一练1 必修5P100习题3 4A组T1 2 改编 设x 0 y 0 且x y 18 则xy的最大值为 A 80B 77C 81D 82 解析 选C xy 81 当且仅当x y 9时等号成立 故选C 2 必修5P100习题3 4A组T2改编 若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地 则矩形场地的最大面积是 解析 设一边长为xm 则另一边长可表示为 10 x m 由题知0 x 10 则面积S x 10 x 25 当且仅当x 10 x 即x 5时等号成立 故当矩形的长与宽相等 都为5时面积取到最大值25m2 答案 25m2 感悟考题试一试3 2015 湖南高考 若实数a b满足则ab的最小值为 解析 选C 因为所以a 0 b 0 由所以ab 2 当且仅当 2 时取等号 所以ab的最小值为2 4 2015 天津高考 已知a 0 b 0 ab 8 则当a的值为时 log2a log2 2b 取得最大值 解析 log2a log2 2b 4 当a 2b时取等号 结合a 0 b 0 ab 8 可得a 4 b 2 答案 4 5 2014 上海高考 若实数x y满足xy 1 则x2 2y2的最小值为 解析 x2 2y2 x2 y 2 2x y 2 所以x2 2y2的最小值为2 答案 2 考向一利用基本不等式求最值 典例1 2016 武汉模拟 已知正数x y满足x 2y xy 0 则x 2y的最小值为 A 8B 4C 2D 0 解题导引 依据题意由基本不等式得x 2y xy 从而求得x 2y的最小值或者化简x 2y xy 0 得 1 然后变换x 2y的形式 利用基本不等式求出x 2y的最小值即可 规范解答 选A 因为x 0 y 0 所以xy 又x 2y xy 所以x 2y 由x 0 y 0 解得x 2y 8 当且仅当x 2y时 等号成立 所以x 2y的最小值为8 一题多解 解答本题 还有以下解法 选A 由x 2y xy 0 得x 2y xy 当且仅当x 2y时取等号 母题变式 1 若把本例的条件改为已知正数x y满足x 2y 1 则的最小值为 解析 因为正数x y满足x 2y 1 当且仅当即x 2y时取等号 答案 8 2 若把本例条件改为 已知x 0 y 0 lg2x lg8y lg2 求的最小值 解析 因为lg2x lg8y lg2 所以lg 2x 8y lg2 所以2x 3y 2 所以x 3y 1 因为x 0 y 0 规律方法 利用基本不等式求最值的方法 1 知和求积的最值 和为定值 积有最大值 但应注意以下两点 具备条件 正数 验证等号成立 2 知积求和的最值 积为定值 和有最小值 直接应用基本不等式求解 但要注意利用基本不等式求最值的条件 3 构造不等式求最值 在求解含有两个变量的代数式的最值问题时 通常采用 变量替换 或 常数1 的替换 构造不等式求解 变式训练 2015 陕西高考 设f x lnx 0pC p rq 解题提示 根据对数的运算性质和不等式的基本性质代入求解即可 解析 选C 由条件可得p ln ab lna lnb r f a f b lna lnb p 加固训练 1 已知a 0 b 0 c 0 且a b c 1 则的最小值为 解析 因为a 0 b 0 c 0 且a b c 1 当且仅当a b c 时 取等号 答案 9 2 若正数a b满足ab a b 3 则ab的取值范围是 解析 由a b R 由基本不等式得a b 2 则ab a b 3 2 3 即ab 2 3 0 3 1 0 3 所以ab 9 答案 9 3 已知各项均为正数的等比数列 an 满足a7 a6 2a5 若存在两项am an 使得则的最小值为 解析 设公比为q q 0 由a7 a6 2a5 a5q2 a5q 2a5 q2 q 2 0 q 0 q 2 a12m 1 a12n 1 8a12 2m 1 2n 1 8 m n 2 3 m n 5 当且仅当n 2m 时等号成立 答案 4 2015 浙江高考 已知函数f x 则f f 2 f x 的最小值是 解题提示 利用分段函数求值 利用基本不等式求最值 解析 f 2 2 2 4 所以f f 2 f 4 4 6 当x 1时 f x 0 当x 1时 f x 2 6 当x 即x 时取到等号 因为2 6 0 所以函数的最小值为2 6 答案 2 6 考向二不等式的实际应用 典例2 2016 仙桃模拟 某工厂某种产品的年固定成本为250万元 每生产x千件 需另投入成本为C x 当年产量不足80千件时 C x x2 10 x 万元 当年产量不小于80千件时 C x 51x 1450 万元 每件商品售价为0 05万元 通过市场分析 该厂生产的商品能全部售完 1 写出年利润L x 万元 关于年产量x 千件 的函数解析式 2 当年产量为多少千件时 该厂在这一商品的生产中所获利润最大 解题导引 1 根据题意 分段列出函数解析式 2 分段讨论 根据二次函数和基本不等式求解 规范解答 1 因为每件商品售价为0 05万元 则x千件商品销售额为0 05 1000 x万元 依题意得 当0 x 80时 L x 0 05 1000 x x2 10 x 250 x2 40 x 250 当x 80时 L x 0 05 1000 x 51x 1450 250 1200 所以L x 2 当0 x 80时 L x x 60 2 950 此时 当x 60时 L x 取得最大值L 60 950万元 当x 80时 L x 1200 1200 2 1200 200 1000 此时x 即x 100时 L x 取得最大值1000万元 由于950 1000 所以 当年产量为100千件时 该厂在这一商品生产中所获利润最大 最大利润为1000万元 规律方法 利用基本不等式求解实际应用题的注意事项 1 此类型的题目往往较长 解题时需认真阅读 从中提炼出有用信息 建立数学模型 转化为数学问题求解 2 当运用基本不等式求最值时 若等号成立的自变量不在定义域内时 就不能使用基本不等式求解 此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解 变式训练 某化工企业2015年年底投入100万元 购入一套污水处理设备 该设备每年的运转费用是0 5万元 此外每年都要花费一定的维护费 第一年的维护费为2万元 由于设备老化 以后每年的维护费都比上一年增加2万元 设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y 单位 万元 1 用x表示y 2 当该企业的年平均污水处理费用最低时 企业需重新更换新的污水处理设备 则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备 解析 1 由题意得 y 即y x 1 5 x N 2 由基本不等式得 y x 1 5 2 1 5 21 5 当且仅当x 即x 10时取等号 故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备 加固训练 1 某公司租地建仓库 每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比 而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比 如果在距车站10千米处建仓库 这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元 那么要使这两项费用之和最小 仓库应建在离车站千米处 解析 设x为仓库与车站距离 由已知y1 y2 0 8x 费用之和y y1 y2 0 8x 2 8 当且仅当0 8x 即x 5时 成立 答案 5 2 某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房 由于地理位置的限制 房子侧面的长度x不得超过5米 房屋正面的造价为400元 平方米 房屋侧面的造价为150元 平方米 屋顶和地面的造价费用合计为5800元 如果墙高为3米 且不计房屋背面的费用 当侧面的长度为多少时 总造价最低 解析 由题意可得 总造价当且仅当x 即x 4时取等号 故当侧面的长度为4米时 总造价最低 考向三基本不等式的综合应用 考情快递 考题例析 命题方向1 求与其他知识交汇的最值问题 典例3 1 2015 四川高考 如果函数f x m 2 x2 n 8 x 1 m 0 n 0 在区间上单调递减 那么mn的最大值为 A 16B 18C 25D 2 2016 兰州模拟 设x y满足约束条件若目标函数z abx y a 0 b 0 的最大值为35 则a b的最小值为 解题导引 1 求出二次函数的对称轴 判断单调区间与对称轴的关系 再利用基本不等式求最值 2 画出可行域 利用基本不等式求解 规范解答 1 选B f x m 2 x n 8 0得x 当m 2时 抛物线的对称轴为x 据题意 2 即2m n 12 因为所以m n 18 由2m n 12且2m n得m 3 n 6 当m 2时 抛物线开口向下 据题意得 即2n m 18 因为所以m n 由2n m 18且2n m得m 9 舍 要使得mn取最大值 应有2n m 18 m8 所以m n 18 2n n 18 2 8 8 16 综上所述最大值为18 2 可行域如图所示 当直线abx y z a 0 b 0 过点B 2 3 时 z取最大值2ab 3 于是有2ab 3 35 ab 16 所以a b 2 2 8 当且仅当a b 4时等号成立 所以 a b min 8 答案 8 命题方向2 求参数的值或取值范围 典例4 2016 太原模拟 正数a b满足 1 若不等式a b x2 4x 18 m对任意实数x恒成立 则实数m的取值范围是 A 3 B 3 C 6 D 6 解题导引 先求出a b的最小值 然后将不等式转化 转化为求二次函数的最值问题 求出m的取值范围 规范解答 选D 因为a 0 b 0 所以由题意 得16 x2 4x 18 m 即x2 4x 2 m对任意实数x恒成立 而x2 4x 2 x 2 2 6 所以x2 4x 2的最小值为 6 所以 6 m 即m 6 技法感悟 1 求与其他知识交汇的最值问题的策略 1 应用基本不等式判断不等式是否成立 对所给不等式 或式子 变形 然后利用基本不等式求解 2 条件不等式的最值问题 通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解 2 求参数的值或取值范围的策略观察题目特点 利用基本不等式确定相关成立条件 从而得参数的值或取值范围 题组通关 1 2016 岳阳模拟 已知向量a 3 2 b x y 1 且a b 若x y均为正数 则的最小值是 解析 选C 因为a b 所以 2x 3 y 1 0 化为2x 3y 3 所以当且仅当2x 3y 时取等号 所以的最小值是8 2 2016 厦门模拟 已知f x 32x k 1 3x 2 当x R时 f x 恒为正值 则k的取值范围是 A 1 B 2 1 C 1 2 1 D 2 1 2 1 解析 选B 由f x 0得32x k 1 3x 2 0 解得k 1 3x 而3x 2 当且仅当3x 即x log3时 等号成立 所以k 1 2 即k 2 1 3 2016 武汉模拟 已知各项为正的等比数列 an 中 a4与a14的等比中项为2 则2a7 a11的最小值为 解析 由已知a4a14 2 2 8 再由等比数列的性质有a4a14 a7a11 8 又因为a7 0 a11 0 所以2a7 a11 8 当且仅当2a7 a11时等号成立 答案 8 加固训练 2016 榆林模拟 已知直线ax by c 1 0 b c 0 经过圆x2 y2 2y 5 0的圆心 则的最小值是 A 9B 8C 4D 2 解析 选A 圆x2 y2 2y 5 0化成标准方程 得x2 y 1 2 6 所以圆x2 y2 2y 5 0的圆心为C 0 1 因为直线ax by c 1 0经过圆心C 所以a 0 b 1 c 1 0 即b c 1 因此 因为b c 0 所以当且仅当时等号成立 由此可得b 2c 且b c 1 即取得最小值9