高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 6.4 合情推理与演绎推理课件(理).ppt

第四节合情推理与演绎推理 知识梳理 1 合情推理 部分 全部 部分 整体 个别 一般 类似 特征 特征 特征 特殊 特殊 类比 猜想 2 演绎推理 1 定义 从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论 我们把这种推理称为演绎推理 简言之 演绎推理是由一般到 的推理 特殊 2 三段论 是演绎推理的一般模式 包括 大前提 已知的 小前提 所研究的 结论 根据 对特殊情况作出的判断 一般原理 特殊情况 一般原理 特别提醒 合情推理与演绎推理的关系 1 合情推理的结论是猜想 不一定正确 演绎推理在大前提 小前提和推理形式都正确时 得到的结论一定正确 2 合情推理是发现结论的推理 演绎推理是证明结论的推理 小题快练 链接教材练一练1 选修2 2P77练习T1改编 已知数列 an 中 a1 1 n 2时 an an 1 2n 1 依次计算a2 a3 a4后 猜想an的表达式是 A an 3n 1B an 4n 3C an n2D an 3n 1 解析 选C a1 1 a2 4 a3 9 a4 16 猜想an n2 2 选修2 2P77练习T3改编 在平面上 若两个正三角形的边长的比为1 2 则它们的面积比为1 4 类似地 在空间中 若两个正四面体的棱长的比为1 2 则它们的体积比为 解析 由平面图形的面积类比立体图形的体积得出 在空间内 若两个正四面体的棱长的比为1 2 则它们的底面积之比为1 4 对应高之比为1 2 所以体积比为1 8 答案 1 8 感悟考题试一试3 2014 全国卷 甲 乙 丙三位同学被问到是否去过A B C三个城市时 甲说 我去过的城市比乙多 但没去过B城市 乙说 我没去过C城市 丙说 我们三人去过同一城市 由此可判断乙去过的城市为 解析 由丙可知 乙至少去过一个城市 由甲说可知甲去过A C 且比乙多 故乙只去过一个城市 且没有去过C城市 故乙只去过A城市 答案 A 4 2016 邵阳模拟 在平面几何中 ABC的 C内角平分线CE分AB所成线段的比为把这个结论类比到空间 在三棱锥A BCD中 如图 DEC平分二面角A CD B且与AB相交于点E 则得到类比的结论是 解析 由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得答案 考向一类比推理 典例1 1 2016 蚌埠模拟 已知双曲正弦函数shx 和双曲余弦函数chx 与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质 请类比正 余弦函数的和角或差角公式 写出双曲正弦函数或双曲余弦函数的一个类似的正确结论 2 如图 在Rt ABC中 C 90 设a b c分别表示三条边的长度 由勾股定理 得c2 a2 b2 类比平面内直角三角形的勾股定理 试给出空间中四面体性质的猜想 解题导引 1 将双曲正弦函数shx 和双曲余弦函数chx 右端相乘 化简整理 再对比正弦 余弦函数和角 差角公式格式可得结论 2 考虑到直角三角形的两条边互相垂直 我们可以选取有3个面两两垂直的四面体 作为直角三角形的类比对象 规范解答 1 chxchy shxshy ex y ex y e x y e x y ex y ex y e x y e x y 2ex y 2e x y ch x y 答案 ch x y chxchy shxshy 2 如题图所示 在Rt ABC中 C 90 设a b c分别表示3条边的长度 由勾股定理 得c2 a2 b2 类似地 在四面体P DEF中 PDF PDE EDF 90 设S1 S2 S3和S分别表示 PDF PDE EDF和 PEF的面积 相应于直角三角形的2条直角边a b和1条斜边c 图中的四面体有3个 直角面 S1 S2 S3和1个 斜面 S 于是 类比勾股定理的结构 我们猜想S2 S12 S22 S32成立 母题变式 1 把本例 2 条件 由勾股定理 得c2 a2 b2 换成 cos2A cos2B 1 则在空间中 给出四面体性质的猜想 解析 如图 在Rt ABC中 cos2A cos2B 于是把结论类比到四面体P A B C 中 我们猜想 三棱锥P A B C 中 若三个侧面PA B PB C PC A 两两互相垂直 且分别与底面所成的角为 则cos2 cos2 cos2 1 2 本例 2 条件改为 如图 作CD AB于点D 则有 类比该性质 试给出空间中四面体性质的猜想 解析 类比猜想 四面体ABCD中 AB AC AD两两垂直 AE 平面BCD 则如图 连接BE交CD于点F 连接AF 因为AB AC AB AD AC AD A 所以AB 平面ACD 而AF 平面ACD 所以AB AF 在Rt AEF中 AE BF 所以易知在Rt ACD中 AF CD 所以猜想正确 规律方法 1 类比推理的几个角度类比推理是由特殊到特殊的推理 可以从以下几个方面考虑类比 类比定义 类比性质 类比方法 类比结构 2 类比推理的一般步骤 1 找出两类事物之间的相似性或一致性 2 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质 得出一个明确的命题 猜想 变式训练 2016 湖北八校联考 已知 ABC的顶点A B分别是离心率为e的圆锥曲线 1的焦点 顶点C在该曲线上 一同学已正确地推得 当m n 0时有e sinA sinB sinC 类似地 当m 0 n 0时 有 解题提示 把椭圆性质和双曲线性质类比结合解三角形推导结论 解析 当m n 0时 为椭圆 AC BC e sinA sinB sinC 当m 0 n 0时 为双曲线 AC BC e sinA sinB sinC 答案 e sinA sinB sinC 加固训练 1 如图所示 椭圆中心在坐标原点 F为左焦点 当时 其离心率为 此类椭圆被称为 黄金椭圆 类比 黄金椭圆 可推算出 黄金双曲线 的离心率e等于 解题提示 根据 黄金椭圆 的性质是 可以得到 黄金双曲线 也满足这个性质 解析 选A 设 黄金双曲线 方程为则B 0 b F c 0 A a 0 在 黄金双曲线 中 所以b2 ac 而b2 c2 a2 所以c2 a2 ac 在等号两边同除以a2 得e 2 把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形 则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径 以此可求得外接圆半径r 其中a b为直角三角形两直角边长 类比此方法可得三条侧棱长分别为a b c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R 解析 由平面类比到空间 把矩形类比为长方体 从而得出外接球半径为 答案 考向二归纳推理 考情快递 考题例析 命题方向1 与数列 数字 有关的推理 典例2 1 2016 新乡模拟 从1开始的自然数按如图所示的规则排列 现有一个三角形框架在图中上下或左右移动 使每次恰有九个数在此三角形内 则这九个数的和可以为 A 2011B 2012C 2013D 2014 2 2013 湖北高考 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数 如三角形数1 3 6 10 第n个三角形数为记第n个k边形数为N n k k 3 以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式 三角形数N n 3 n2 n 正方形数N n 4 n2 五边形数N n 5 n2 n 六边形数N n 6 2n2 n 可以推测N n k 的表达式 由此计算N 10 24 解题导引 1 设最上层的一个数为a 则第二层的三个数为a 7 a 8 a 9 第三层的五个数为a 14 a 15 a 16 a 17 a 18 根据题意求和验证 2 通过观察 得出N n k 的通项公式 N n k akn2 bkn k 3 然后分别得出 ak 与 bk 的通项公式 便可代入求解 规范解答 1 选B 根据题干图所示的规则排列 设最上层的一个数为a 则第二层的三个数为a 7 a 8 a 9 第三层的五个数为a 14 a 15 a 16 a 17 a 18 这9个数之和为a 3a 24 5a 80 9a 104 由9a 104 2012 得a 212 是自然数 2 三角形数N n 3 正方形数N n 4 n2 五边形数N n 5 六边形数N n 6 2n2 n k边形数N n k 所以N 10 24 1000 答案 1000 命题方向2 与不等式有关的推理 典例3 2016 宝鸡模拟 观察下列不等式 照此规律 第五个不等式为 解题导引 观察不等式两边式子的特点 总结指数 项数 分子 分母之间的数量关系 规范解答 左边的式子的通项是右边式子的分母依次增加1 分子依次增加2 还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系 所以第五个不等式为答案 命题方向3 与图形有关的推理 典例4 2016 成都模拟 某种平面分形图如图所示 一级分形图是由一点出发的三条线段 长度均为1 两两夹角为120 二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段 且这两条线段与原线段两两夹角为120 依此规律得到n级分形图 1 n级分形图中共有条线段 2 n级分形图中所有线段长度之和为 解题导引 1 根据图形找出线段的生发规律 2 由分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段 可得n级分形图中第n级的所有线段的长度为bn 3 n N 规范解答 1 分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段 由题图知 一级分形图有3 3 2 3 条线段 二级分形图有9 3 22 3 条线段 三级分形图中有21 3 23 3 条线段 按此规律n级分形图中的线段条数an 3 2n 3 n N 2 分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段 所以n级分形图中第n级的所有线段的长度为bn 3 n N 所以n级分形图中所有线段长度之和为Sn 答案 1 3 2n 3 n N 2 9 9 技法感悟 归纳推理问题的常见类型及解题策略 1 与 数字 相关问题 主要是观察数字特点 找出等式左右两侧的规律 2 与不等式有关的推理 观察所给几个不等式两边式子的特点 注意纵向看 找出隐含规律 3 与图形有关推理 合理利用特殊图形归纳推理得出结论 题组通关 1 2016 广元模拟 观察 x2 2x x4 4x3 cosx sinx 由归纳推理可得 若定义在R上的函数f x 满足f x f x 记g x 为f x 的导函数 则g x A f x B f x C g x D g x 解析 选D 由所给函数及其导数知 偶函数的导函数为奇函数 因此当f x 是偶函数时 其导函数应为奇函数 故g x g x 2 2016 潮州模拟 如图是按一定规律排列的三角形等式表 现将等式从左至右 从上到下依次编上序号 即第一个等式为20 21 3 第二个等式为20 22 5 第三个等式为21 22 6 第四个等式为20 23 9 第五个等式为21 23 10 以此类推 则第99个等式为 20 21 320 22 521 22 620 23 921 23 1022 23 1220 24 1721 24 1822 24 2023 24 24 A 27 213 8320B 27 214 16512C 28 214 16640D 28 213 8448 解析 选B 依题意 用 t s 表示2t 2s 题中的等式的规律为 第一行为3 0 1 第二行为5 0 2 6 1 2 第三行为9 0 3 10 1 3 12 2 3 第四行为17 0 4 18 1 4 20 2 4 24 3 4 又因为99 1 2 3 13 8 因此第99个等式应位于第14行的从左到右的第8个位置 即是27 214 16512 3 2013 陕西高考 观察下列等式 12 1 12 22 3 12 22 32 6 12 22 32 42 10 照此规律 第n个等式可为 解析 12 1 12 22 1 2 12 22 32 1 2 3 12 22 32 42 1 2 3 4 12 22 32 42 1 n 1n2 1 n 1 1 2 n 1 n 1 答案 12 22 32 42 1 n 1n2 1 n 1 加固训练 2016 达州模拟 有一个奇数组成的数阵排列如下 1371321 591523 111725 1927 29 则第30行从左到右第3个数是 解析 观察每一行的第一个数 由归纳推理可得第30行的第1个数是1 4 6 8 10 60 1 929 又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n 第3个数比第2个数大2n 2 所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60 第3个数比第2个数大62 故第30行从左到右第3个数是929 60 62 1051 答案 1051 考向三演绎推理 典例5 2016 保定模拟 数列 an 的前n项和记为Sn 已知a1 1 an 1 Sn n N 证明 1 数列是等比数列 2 Sn 1 4an 解题导引 1 利用an 1 Sn 1 Sn消去an 1 2 根据是等比数列得到Sn 1与Sn 1的关系 再利用an Sn 1证明 规范解答 1 因为an 1 Sn 1 Sn an 1 Sn 所以 n 2 Sn n Sn 1 Sn 即nSn 1 2 n 1 Sn 所以 小前提 故是以1为首项 2为公比的等比数列 结论 大前提是等比数列的定义 这里省略了 2 由 1 可知所以Sn 1 4 n 1 4an n 2 小前提 又a2 3S1 3 S2 a1 a2 1 3 4 4a1 小前提 所以对于任意正整数n 都有Sn 1 4an 结论 误区警示 解答本题会出现以下错误 不知利用an 1 Sn 1 Sn消去an 1 从而导致解题无思路 规律方法 三段论的依据及应用时的注意点 1 三段论推理的依据是 如果集合M的所有元素都具有性质P S是M的子集 那么S中所有元素都具有性质P 2 应用三段论的注意点 解决问题时 首先应该明确什么是大前提 小前提 然后再找结论 变式训练 已知函数f x a 0 且a 1 1 证明 函数y f x 的图象关于点对称 2 求f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 的值 解析 1 函数f x 的定义域为全体实数 任取一点 x y 它关于点对称的点的坐标为 1 x 1 y 所以 1 y f 1 x 即函数y f x 的图象关于点对称 2 由 1 知 1 f x f 1 x 即f x f 1 x 1 所以f 2 f 3 1 f 1 f 2 1 f 0 f 1 1 则f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 3 加固训练 1 因为对数函数y logax是增函数 大前提 而y 是对数函数 小前提 所以y 是增函数 结论 以上推理错误的原因是 A 大前提错误导致结论错误B 小前提错误导致结论错误C 推理形式错误导致结论错误D 大前提和小前提错误导致结论错误 解析 选A 当a 1时 函数y logax是增函数 当0 a 1时 函数y logax是减函数 故大前提错误导致结论错误 2 2016 惠州模拟 我们将具有下列性质的所有函数组成集合M 函数y f x x D 对任意x y D均满足当且仅当x y时等号成立 1 若定义在 0 上的函数f x M 试比较f 3 f 5 与2f 4 的大小 2 设函数g x x2 求证 g x M 解析 1 对于 f x f y 令x 3 y 5得f 3 f 5 2f 4 2 g x1 g x2 所以 g x1 g x2 所以g x M 3 已知函数y f x 满足 对任意a b R a b 都有af a bf b af b bf a 试证明 f x 为R上的单调增函数 证明 设x1 x2 R 取x1x1f x2 x2f x1 所以x1 f x1 f x2 x2 f x2 f x1 0 f x2 f x1 x2 x1 0 因为x10 f x2 f x1 所以y f x 为R上的单调增函数