高考数学一轮复习 第二章 函数 2.4 二次函数性质的再研究与幂函数课件 文 北师大版.ppt

2 4二次函数性质的再研究与幂函数 考纲要求 1 了解幂函数的概念 2 结合函数y x y x2 y x3 的图像 了解它们的变化情况 3 理解并掌握二次函数的定义 图像及性质 4 能用二次函数 方程 不等式之间的关系解决简单问题 1 二次函数 1 二次函数的定义 形如f x ax2 bx c a 0 的函数叫作二次函数 2 二次函数解析式的三种形式 一般式 f x ax2 bx c a 0 顶点式 f x a x m 2 n a 0 零点式 f x a x x1 x x2 a 0 3 二次函数的图像和性质 2 幂函数 1 幂函数的定义 如果一个函数 底数是自变量x 指数是常量 即y x 这样的函数称为幂函数 2 常见的5种幂函数的图像 3 常见的5种幂函数的性质 2 3 4 1 5 2 3 4 1 5 2 2015广东湛江二模 若关于x的方程x2 mx 0有两个不相等的实数根 则实数m的取值范围是 A 1 1 B 1 1 C 2 2 D 2 2 答案 解析 2 3 4 1 5 3 函数的图像是 答案 解析 2 3 4 1 5 4 已知函数f x m 1 x2 2mx 3为偶函数 则f x 在区间 5 3 上 A 先减后增B 先增后减C 单调递减D 单调递增 答案 解析 2 3 4 1 5 5 已知幂函数y f x 的图像过点 则此函数的解析式为 在区间上递减 答案 解析 2 3 4 1 5 自测点评1 幂函数的图像最多出现在两个象限内 一定会经过第一象限 一定不出现在第四象限 至于是否出现在第二 三象限内 要看函数的奇偶性 如果幂函数图像与坐标轴相交 则交点一定是原点 2 幂函数y x 的系数为1 系数不为1的都不是幂函数 当 0时 在 0 上都是增加的 当 0时 在 0 上都是减少的 而不能说在定义域上是增加的或减少的 3 对于函数y ax2 bx c 要认为它是二次函数 就必须满足a 0 当题目条件中未说明a 0时 就要讨论a 0和a 0两种情况 二次函数的单调性 最值与抛物线的开口方向以及给定区间的范围有关 不能盲目利用配方法得出结论 4 数形结合是讨论二次函数问题的基本方法 特别是涉及二次方程 二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 考点1幂函数的图像与性质例1 1 2015湖北孝感调研 函数f x m2 m 1 xm是幂函数 且在x 0 上是增加的 则实数m的值是 A 1B 2C 3D 1或2 答案 解析 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 2 若 则a b c的大小关系是 A a b cB c a bC b c aD b a c 答案 解析 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 3 已知幂函数f x 的图像经过点 2 且f 2m 1 f m2 m 1 则m的取值范围是 答案 解析 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 思考 幂函数与指数函数有怎样的区别 幂函数有哪些重要的性质 解题心得 1 幂函数中底数是自变量 指数是常数 而指数函数中底数是常数 指数是自变量 2 幂函数的主要性质 1 幂函数在 0 上都有定义 幂函数的图像过定点 1 1 2 当 0时 幂函数的图像都过点 1 1 和 0 0 且在 0 上是增加的 3 当 1时 曲线下凸 当0 1时 曲线上凸 当 0时 曲线下凸 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 对点训练1 1 已知幂函数 n Z 的图像关于y轴对称 且在 0 上是减少的 则n的值为 A 3B 1C 2D 1或2 答案 解析 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 2 2015安徽安庆三模 若 则实数a的取值范围是 答案 解析 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 考点2求二次函数的解析式例2已知二次函数f x 满足f 2 1 f 1 1 且f x 的最大值是8 试确定此二次函数的解析式 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 解法三 利用交点式 由已知f x 1 0两根为x1 2 x2 1 故可设f x 1 a x 2 x 1 即f x ax2 ax 2a 1 又函数有最大值ymax 8 所求函数的解析式为f x 4x2 4x 7 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 思考 求二次函数解析式时如何选取恰当的表达形式 解题心得 根据已知条件确定二次函数解析式 一般用待定系数法 选择规律如下 1 已知三个点坐标 宜选用一般式 2 已知顶点坐标 对称轴 最大 小 值等 宜选用顶点式 3 已知图像与x轴两交点坐标 宜选用交点式 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 对点训练2已知二次函数f x 有两个零点0和 2 且它有最小值 1 则f x 的解析式为f x 答案 解析 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 考点3二次函数的图像与性质 多维探究 类型一二次函数的最值问题例3设函数y x2 2x x 2 a 若函数的最小值为g x 求g x 思考 如何求二次函数在含参数的闭区间上的最值 答案 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 类型二与二次函数有关的存在性问题例4 2015河北衡水模拟 已知函数f x x2 2x g x ax 2 a 0 对任意的x1 1 2 都存在x0 1 2 使得g x1 f x0 则实数a的取值范围是 思考 如何理解本例中对任意的x1 1 2 都存在x0 1 2 使得g x1 f x0 答案 解析 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 类型三二次函数中恒成立问题例5已知a是实数 函数f x 2ax2 2x 3在x 1 1 上恒小于零 则实数a的取值范围为 答案 解析 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 思考 由不等式恒成立求参数取值范围的一般解题思路是什么 解题心得 1 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型 轴定区间定 轴动区间定 轴定区间动 不论哪种类型 解决的关键是考察对称轴与区间的关系 当含有参数时 要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论 当确定了对称轴和区间的关系 就明确了函数的单调性 从而确定函数的最值 2 已知函数f x g x 若对任意的x1 a b 都存在x0 a b 使得g x1 f x0 求g x 中参数的取值范围 说明g x1 在 a b 上的取值范围是f x0 在 a b 上的取值范围的子集 即 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 3 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 1 一般有两个解题思路 一是分离参数 二是不分离参数 2 两种思路都是将问题归结为求函数的最值 至于用哪种方法 关键是看参数是否已分离 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 对点训练3 1 已知函数y x2 2x 3在闭区间 0 m 上有最大值3 最小值2 则m的取值范围为 A 0 1 B 1 2 C 1 2 D 1 2 答案 解析 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 2 已知函数f x x2 2ax 1 a在x 0 1 时有最大值2 则a的值为 答案 解析 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 1 幂函数y x R 的图像的特征 当 0时 图像过原点和点 1 1 在第一象限图像上升 当 0时 图像过点 1 1 但不过原点 在第一象限图像下降 2 求二次函数的解析式时 应根据题目给出的条件 选择恰当的表达式 3 恒成立 与 存在性 问题的求解是 互补 关系 即f x g a 对于x D恒成立 应求f x 的最小值 若存在x D 使得f x g a 成立 应求f x 的最大值 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 1 幂函数的图像一定会出现在第一象限 一定不会出现在第四象限 如果幂函数与坐标轴有交点 则交点一定是原点 2 对于函数y ax2 bx c 若它是二次函数 则必须满足a 0 当题目条件中未说明a 0时 就要分a 0和a 0两种情况讨论