高考数学一轮复习 第二章 函数 2.3 函数的奇偶性与周期性课件 文 北师大版.ppt

2 3函数的奇偶性与周期性 考纲要求 1 了解函数奇偶性的含义 2 会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性 3 了解函数周期性 最小正周期的含义 会判断 应用简单函数的周期性 1 函数的奇偶性 1 奇函数 图像关于原点对称的函数叫作奇函数 即对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有f x f x 2 偶函数 图像关于y轴对称的函数叫作偶函数 即对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有f x f x 2 奇 偶 函数的性质 1 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反 填 相同 或 相反 2 在公共定义域内 两个奇函数的和函数是奇函数 两个奇函数的积函数是偶函数 两个偶函数的和函数 积函数是偶函数 一个奇函数 一个偶函数的积函数是奇函数 3 若函数f x 是奇函数且在x 0处有定义 则f 0 0 3 周期性 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在非零常数T 对定义域内的任意一个x值 都有f x T f x 就把f x 称为周期函数 称T为这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个最小的正数 那么这个最小正数就叫作f x 的最小正周期 4 函数周期性三个常用结论对f x 定义域内任一自变量的值x 1 若f x a f x 则T 2a 2 3 4 1 5 1 下列结论正确的打 错误的打 1 a b 0 是 函数f x 在区间 a b a b 上具有奇偶性 的必要条件 2 偶函数图像不一定过原点 奇函数的图像一定过原点 3 若函数y f x a 是偶函数 则函数y f x 的图像关于直线x a对称 若函数y f x b 是奇函数 则函数y f x 的图像关于点 b 0 中心对称 4 如果函数f x g x 为定义域相同的偶函数 则F x f x g x 是偶函数 5 已知函数y f x 是定义在R上的偶函数 若在 0 上是减少的 则在 0 上是增加的 6 若T为y f x 的一个周期 则nT n Z 是函数f x 的周期 2 3 4 1 5 2 2015福建 文3 下列函数为奇函数的是 A y B y exC y cosxD y ex e x 答案 解析 2 3 4 1 5 3 已知f x 是奇函数 g x 是偶函数 且f 1 g 1 2 f 1 g 1 4 则g 1 等于 A 4B 3C 2D 1 答案 解析 2 3 4 1 5 4 已知函数f x 是定义在R上的奇函数 当x 0时 f x x 1 x 则x 0时 f x 答案 解析 2 3 4 1 5 5 设f x 是定义在R上的周期为2的函数 当x 1 1 时 则 答案 解析 2 3 4 1 5 自测点评1 判断函数的奇偶性应首先考察函数的定义域是否关于原点对称 如果不对称 则该函数为非奇非偶函数 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件 2 若函数f x 为奇函数 且在x 0处有定义 则有f 0 0 3 根据周期函数的定义 函数的周期应是一个非零常数 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 考点1函数的奇偶性的判断例1 1 设函数f x g x 的定义域都为R 且f x 是奇函数 g x 是偶函数 则下列结论中正确的是 A f x g x 是偶函数B f x g x 是奇函数C f x g x 是奇函数D f x g x 是奇函数 答案 解析 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 2 2015广东 文3 下列函数中 既不是奇函数 也不是偶函数的是 答案 解析 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 思考 判断函数的奇偶性要注意什么 解题心得 判断函数的奇偶性要注意两点 1 定义域关于原点对称 这是函数具有奇偶性的前提 2 判断f x 与f x 是否具有等量关系 在判断奇偶性的运算中 可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式 f x f x 0 奇函数 或f x f x 0 偶函数 是否成立 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 对点训练1 2015北京 文3 下列函数中为偶函数的是 A y x2sinxB y x2cosxC y lnx D y 2 x 答案 解析 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 考点2函数奇偶性的应用例2 1 已知f x 是定义在R上的奇函数 当x 0时 f x x2 3x 则函数g x f x x 3的零点的集合为 A 1 3 B 3 1 1 3 C 2 1 3 D 2 1 3 答案 解析 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 2 若函数f x xln x 为偶函数 则a 答案 解析 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 3 设函数的最大值为M 最小值为m 则M m 答案 解析 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 4 定义在 2 2 上的偶函数g x 当x 0时 g x 单调递减 若g 1 m g m 求m的取值范围 答案 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 思考 函数的奇偶性有哪几个方面的应用 解题心得 1 函数奇偶性的应用主要有 利用函数奇偶性求函数解析式 利用函数的奇偶性研究函数的单调性 利用函数的奇偶性解不等式 利用函数的奇偶性求最值等 2 已知函数的奇偶性求函数的解析式 往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式 或充分利用奇偶性产生关于f x 的方程 从而可得f x 的解析式 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 对点训练2 1 已知f x g x 分别是定义在R上的偶函数和奇函数 且f x g x x3 x2 1 则f 1 g 1 等于 A 3B 1C 1D 3 答案 解析 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 2 定义在R上的奇函数f x 在 0 上是增加的 又f 3 0 则不等式xf x 0的解集为 A 3 0 0 3 B 3 3 C 3 0 3 D 3 0 3 答案 解析 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 3 已知偶函数f x 在 0 上是减少的 f 2 0 若f x 1 0 则x的取值范围是 答案 解析 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 4 设a b R 且a 2 若定义在区间 b b 内的函数是奇函数 则a b的取值范围为 答案 解析 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 考点3函数的周期性及其应用例3 1 奇函数f x 的定义域为R 若f x 2 为偶函数 且f 1 1 则f 8 f 9 A 2B 1C 0D 1 答案 解析 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 答案 解析 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 思考 函数的周期性主要的应用是什么 解题心得 利用函数的周期性 可将其他区间上的求值 求零点个数 求解析式等问题 转化为已知区间上的相应问题 进而求解 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 对点训练3已知f x 是R上的奇函数 f 1 2 且对任意x R都有f x 6 f x f 3 成立 则f 3 f 2019 答案 解析 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 考点4函数性质的综合应用例4 1 已知定义在R上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增加的 则 A f 25 f 11 f 80 B f 80 f 11 f 25 C f 11 f 80 f 25 D f 25 f 80 f 11 答案 解析 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 2 若函数的图像如图所示 则m的范围为 A 1 B 1 2 C 0 2 D 1 2 答案 解析 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 思考 解有关函数的单调性 奇偶性 周期性综合问题的策略有哪些 解题心得 函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 1 函数单调性与奇偶性结合 注意函数单调性及奇偶性的定义 以及奇 偶函数图像的对称性 2 周期性与奇偶性结合 此类问题多考查求值问题 常利用奇偶性及周期性进行转换 将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解 3 周期性 奇偶性与单调性结合 解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间 然后利用奇偶性和单调性求解 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 对点训练4 1 2015甘肃天水一模 已知函数f x 是R上的偶函数 g x 是R上的奇函数 且g x f x 1 若f 2 2 则f 2014 的值为 A 2B 0C 2D 2 答案 解析 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 2 已知f x 是定义在R上的奇函数 满足 当x 时 f x ln x2 x 1 则函数f x 在区间 0 6 上的零点个数是 A 3B 5C 7D 9 答案 解析 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 1 正确理解奇函数和偶函数的定义 必须把握好两个问题 1 定义域关于原点对称 是 函数f x 为奇函数或偶函数 的必要不充分条件 2 f x f x 或f x f x 是定义域上的恒等式 2 奇 偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据 为了便于判断函数的奇偶性 有时需要先将函数进行化简 或应用定义的等价形式 3 单调性是函数在其定义域上的局部性质 函数的单调性使得自变量的不等关系和函数值之间的不等关系可以 正逆互推 奇偶性和周期性是函数在定义域上的整体性质 4 函数的奇偶性 对称性 周期性 知二断一 特别注意 奇函数若在x 0处有定义 则一定有f 0 0 偶函数一定有f x f x 在解题中的应用 考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混 1 判断函数的奇偶性不可忽视函数定义域 2 函数f x 是奇函数 必须满足对定义域内的每一个x 都有f x f x 而不能说存在x0 使f x0 f x0 同样偶函数也是如此